高中数学选修2-2-定积分的简单应用

1、精选优质文档-倾情为你奉上学习目标1.理解定积分的几何意义，会通过定积分求由两条或多条曲线围成的图形的面积.2.掌握利用定积分求曲边梯形面积的几种常见题型及方法.3.通过具体实例了解定积分在物理中的应用，会求变速直线运动的路程和变力做功的问题.知识点一定积分在求几何图形面积方面的应用1.求由一条曲线yf(x)和直线xa，xb(ab)及y0所围成的平面图形的面积S.(1)如图，f(x)0，f(x)dx0，所以Sf(x)dx.(2)如图，f(x)0，f(x)dx0，所以Sf(x)dx.(3)如图，当axc时，f(x)0，f(x)dx0；当cxb时，f(x)0，f(x)dx0.所以Sf(x)dxf(

2、x)dxf(x)dx.2.求由两条曲线f(x)和g(x)(f(x)g(x)，直线xa，xb(ab)所围成平面图形的面积S.(1)如图，当f(x)g(x)0时，Sf(x)g(x)dx.(2)如图，当f(x)0，g(x)0时，Sf(x)dxf(x)g(x)dx.3.当g(x)f(x)0时，同理得Sf(x)g(x)dx.思考(1)怎样利用定积分求不分割型图形的面积？(2)当f(x)<0时，f(x)与x轴所围图形的面积怎样表示？答案(1)求由曲线围成的面积，要根据图形，确定积分上下限，用定积分来表示面积，然后计算定积分即可.(2)如图，因为曲边梯形上边界函数为g(x)0，下边界函数为f(x)，所

3、以S(0f(x)dxf(x)dx.4.利用定积分求平面图形面积的步骤：(1)画出图形：在平面直角坐标系中画出曲线或直线的大致图象；(2)确定图形范围，通过解方程组求出交点的横坐标(或纵坐标)，确定积分上、下限；(3)确定被积函数；(4)写出平面图形面积的定积分表达式；(5)利用微积分基本定理计算定积分，求出平面图形的面积，写出答案.知识点二定积分在物理中的应用1.在变速直线运动中求路程、位移路程是位移的绝对值之和，从时刻ta到时刻tb所经过的路程s和位移s分别为：(1)若v(t)0，则sv(t)dt，sv(t)dt.(2)若v(t)0，则sv(t)dt，sv(t)dt.(3)若在区间a，c上v

4、(t)0，在区间c，b上v(t)<0，则sv(t)dtv(t)dt，sv(t)dt.2.定积分在物理中的应用(1)做变速直线运动的物体所经过的路程s，等于其速度函数vv(t)(v(t)0)在时间区间a，b上的定积分，即sv(t)dt.(2)一物体在恒力F(单位：N)的作用下做直线运动，如果物体沿着与F相同的方向移动了s(单位：m)，则力F所做的功为WFs；而若是变力所做的功W，等于其力函数F(x)在位移区间a，b上的定积分，即WF(x)dx.思考下列判断正确的是 .(1)路程是标量，位移是矢量，路程和位移是两个不同的概念；(2)利用定积分求变速直线运动的路程和位移是同一个式子v(t)dt

5、；(3)利用定积分求变速直线运动的路程和位移不是同一个式子v(t)dt.答案(1)(3)解析(1)显然正确.对于(2)(3)两个判断，由于当v(t)0时，求某一时间段内的路程和位移均用v(t)dt求解；当v(t)<0时，求某一时间段内的位移用v(t)dt求解，这一时段的路程是位移的相反数，即路程为v(t)dt.所以(2)错(3)正确.题型一利用定积分求平面图形的面积问题例1求由抛物线y2，y2x1所围成图形的面积.解在同一个平面直角坐标系上画出两个抛物线的大致图形，如图.方法一以x为积分变量.由得两个抛物线的两个交点坐标分别为A，B.设点P(1,0)，则所求面积S22.方法二以y为积分变

6、量.由可得两个抛物线的两个交点坐标分别为A，B.设点P(1,0)，则所求面积S2 (y215y2)dy2.反思与感悟若以x为积分变量，则被积函数的原函数不易确定，而且计算也比较麻烦；若以y为积分变量，则可以避免这种情况.选取积分变量有时对解题很关键.跟踪训练1在曲线yx2(x0)上的某一点A处作一切线，使之与曲线以及x轴所围成图形的面积为.试求：切点A的坐标和过切点A的切线方程.解如图所示，设切点A(x0，y0)，由y2x得过A点的切线方程为yy02x0(xx0)，即y2x0xx.令y0，得x即C.设由曲线和过A点的切线及x轴所围成图形的面积为S，则SS曲边AOBSABC.S曲边AOBx2dx

7、x3x，SABC|BC|·|AB|·xx，即Sxxx，所以x01.从而切点为A(1,1)，切线方程为y2x1题型二运用定积分求解物理问题例2一点在直线上从时刻t0(s)开始以速度vt24t3(m/s)运动，求：(1)此点在t4 s时的位置；(2)此点在t4 s时运动的路程.解因为位置决定于位移，所以它是v(t)在0,4上的定积分，而路程是位移的绝对值之和，所以需要判断在0,4上哪些时间段的位移为负.(1)在t4 s时，该点的位移为(t24t3)dt(m).即在t4 s时该点在距出发点 m处.(2)v(t)t24t3(t1)(t3)，在区间0,1及3,4上，v(t)0，在区间

8、1,3上，v(t)0，该点在t4 s时的路程为S(t24t3)dt(t24t3)dt(t24t3)dt(t24t3)dt(t24t3)dt4(m).反思与感悟解决此类问题的一般步骤：(1)求出每一时间段上的速度函数；(2)根据定积分的物理意义，求出对应时间段上的定积分.跟踪训练2有一辆汽车以每小时36 km的速度沿平直的公路行驶，在B处需要减速停车.设汽车以2 m/s2的加速度刹车，问：从开始刹车到停车，汽车行驶了多远？解设从开始刹车到停车，汽车经过了t s.v036 km/h10 m/s，v(t)v0at102t.令v(t)0，解得t5.所以从开始刹车到停车，汽车行驶的路程为s(102t)d

9、t(10tt2)25(m).故从开始刹车到停车，汽车行驶了25 m.题型三用定积分解决变力做功问题例3设有一个长为25 cm的弹簧，若加以100 N的力，则弹簧伸长到30 cm，求使弹簧由25 cm伸长到40 cm所做的功.解设x表示弹簧伸长的长度，f(x)表示加在弹簧上的力，则f(x)kx(其中常数k为比例系数).因为当f(x)100时，x5，所以k20.所以f(x)20x.弹簧由25 cm伸长到40 cm时，弹簧伸长的长度x从0 cm变化到15 cm，故所做的功W20xdx10x22 250(N·cm)22.5(J).反思与感悟(1)根据物理学知识，求出变力f(x)的表达式；(2

10、)由功的物理意义知，物体在变力f(x)的作用下，沿力的方向做直线运动，使物体由一个位置移到另一个位置，因此，求功之前应先求出位移的起始位置和终止位置；(3)根据变力做功的公式Wf(x)dx求出变力所做的功.跟踪训练3如图所示，设气缸内活塞一侧存在一定量气体，气体做等温膨胀时推动活塞向右移动一段距离，若气体体积由V1变为V2，求气体压力所做的功.解由物理学知识知，气体膨胀为等温过程，所以气体压强为P(V表示气体体积，C为常数)，而活塞上的压力为FPQ(Q表示截面积，L表示活塞移动的距离，VLQ).记L1，L2分别表示活塞的初始位置和终止位置，于是有WF(L)dLdLCdVC(ln V)C(ln

11、V2ln V1).所以气体体积由V1变为V2，气体压力所做的功为C(ln V2ln V1).用定积分求平面图形面积时，因对图形分割不当致误例4求由抛物线y28x(y0)与直线xy60及y0所围成图形的面积.错解由题意，作出图形如图由得所以抛物线y28x(y0)与直线xy60的交点坐标为(2,4)，所以所求面积为S(6x)dx248×16.错因分析S(6x)dx(6x)dxdx.(6x)dx表示由直线y6x与直线x0，直线x4，直线y0围成的图形的面积，dx表示由抛物线y28x(y0)与直线x0，直线x4，直线y0围成的图形的面积.上述S显然不是所求图形的面积.正解Sdx(6x)dx8

12、.防范措施合理划分积分上、下限及正确选择积分变量，最好结合图形进行处理.1.在下面所给图形的面积S及相应表达式中，正确的有()Sf(x)g(x)dxS(22x8)dxSf(x)dxf(x)dxSg(x)f(x)dxf(x)g(x)dxA. B. C. D.答案D解析应是Sf(x)g(x)dx，应是S2dx(2x8)dx，和正确.故选D.2.曲线ycos x(0x)与坐标轴所围图形的面积是()A.2 B.3 C. D.4答案B解析Scos xdxcos xdxsin x- sin x sin sin 0 sin sin 10113.3.一列车沿直线轨道前进，刹车后列车速度v(t)270.9t，则

13、列车刹车后前进多少米才能停车()A.405 B.540 C.810 D.945答案A解析停车时v(t)0，由270.9t0，得t30，sv(t)dt (270.9t)dt(27t0.45t2)405.4.由曲线yx24与直线y5x，x0，x4所围成平面图形的面积是 .答案解析由图形可得S(x245x)dx(5xx24)dx4×42×434×44.5.一个弹簧压缩x cm可产生4x N的力，把它从自然长度压缩到比自然长度短5 cm，求弹簧克服弹力所做的功.解设F(x)kx，弹簧压缩x cm可产生4x N的力，k4.弹簧克服弹力所做的功为W4xdx4×50(

14、N·cm)0.5(J).1.利用定积分求平面图形面积的一般步骤：(1)在平面直角坐标系中画出图形；(2)通过解方程求出交点坐标；(3)写出平面图形面积的定积分表达式，当被求平面区域较复杂时，可分割求和；(4)运用微积分基本定理计算定积分，求出平面图形的面积.2.路程问题.(1)用定积分解决变速直线运动的位移和路程问题时，将物理问题转化为数学问题是关键.(2)路程是位移的绝对值之和，因此在求路程时，要先判断速度在区间内是否恒正，若符号不定，应求出使速度恒正或恒负的区间，然后分别计算.3.变力做功问题.(1)变力做功问题，首先要将变力用其方向上的位移表示出来，这是关键一步.(2)根据变力

15、做功的公式，将其转化为求定积分的问题.一、选择题1.用S表示图中阴影部分的面积，则S的值是()A. f(x)dxB.C. f(x)dxf(x)dxD.f(x)dxf(x)dx答案D解析xa，b时，f(x)<0，xb，c时，f(x)>0，阴影部分的面积Sf(x)dxf(x)dx.2.一物体沿直线以v2t1 (t的单位：s，v的单位：m/s)的速度运动，则该物体在12 s间行进的路程为()A.1 m B.2 m C.3 m D.4 m答案D解析s4(m).3.一物体从A处向B处运动，速度为1.4t m/s(t为运动的时间)，到B处时的速度为35 m/s，则AB间的距离为()A.120

16、m B.437.5 mC.360 m D.480 m答案B解析从A处到B处所用时间为25 s.所以|AB|1.4tdt0.7t2437.5 (m).4.若yf(x)与yg(x)是a，b上的两条光滑曲线的方程，则这两条曲线及直线xa，xb所围成的平面区域的面积为()A.f(x)g(x)dxB.g(x)f(x)dxC.|f(x)g(x)|dxD.答案C解析当f(x)g(x)时，所求面积为f(x)g(x)dx；当f(x)g(x)时，所求面积为g(x)f(x)dx.综上，所求面积为|f(x)g(x)|dx. 5.以初速度40 m/s竖直向上抛一物体，t s时速度v4010t2，则此物体达到最高时的高度

17、为()A. m B. mC. m D. m答案A解析v0时物体达到最高，此时4010t20，则t2 s.又v040 m/s，t00 s.h(4010t2)dt(m).6.如果1 N的力使弹簧伸长1 cm，在弹性限度内，为了将弹簧拉长10 cm，拉力所做的功为()A.0.5 J B.1 J C.50 J D.100 J答案A解析由于弹簧所受的拉力F(x)与伸长量x成正比，依题意，得F(x)x，为了将弹簧拉长10 cm，拉力所做的功为WF(x)dxxdx50 (N·cm)0.5 (J).二、填空题7.由曲线y与yx3所围成的图形的面积可用定积分表示为 .答案(x3)dx解析画出y和yx3

18、的草图，所求面积为如图所示阴影部分的面积，解方程组得交点的横坐标为x0及x1.因此，所求图形的面积为S(x3)dx.8.有一横截面的面积为4 cm2的水管控制往外流水，打开水管后t秒末的流速为v(t)6tt2(单位：cm/s)(0t6).则t0到t6这段时间内流出的水量为 cm3.答案144 解析由题意可得t0到t6这段时间内流出的水量V4(6tt2)dt4144 (cm3).故t0到t6这段时间内流出的水量为144 cm3.9.如图所示，将一弹簧从平衡位置拉到离平衡位置l m处，则克服弹簧力所做的功为 J.答案kl2解析在弹性限度内，拉伸(压缩)弹簧所需的力与弹簧拉伸(压缩)的长度成正比，即F(x)kx，其中k为比例系数.由变力做功公式得Wkl2(J).10.由两条曲线yx2，yx2与直线y1围成平面区域的面积是 .答案解析如图，y1与yx2交点A(1,1)，y1与y交点B(2,1)，由对称性可知面积S2.三、解答题11.求抛物线yx24x3与其在点A(1,0)和点B(3,0)处的切线所围成图形的面积.解由y2x4得在点A、B处切线的斜率分别为2和2，则两直线