《鸽巢原理》教学设计李琳

1、鸽巢原理教学设计晓 泉 小 学 李 琳鸽 巢 原 理【教学内容】义务教育课程标准实验教科书·数学六年级下册第70页。【教学目标】1.经历“鸽巢原理”的探究过程，初步了解“鸽巢原理”，会用“鸽巢原理”解决简单的实际问题。2.通过操作发展学生的类推能力，形成比较抽象的数学思维。3.通过“鸽巢原理”的灵活应用感受数学的魅力。【教学重点】经历“鸽巢原理”的探究过程，初步了解“鸽巢原理”。【教学难点】理解“鸽巢原理”，并对一些简单实际问题加以“模型化”。【教具、学具准备】每组都有相应数量的小棒、纸杯、板凳。【教学过程】 一、激趣导入1 、 在开课之前老师特别想和同学们做个游戏，谁愿意参加？师：

2、1、2、3、4、5，请你们五位到这儿来，这儿有四把椅子，听好要求，当老师说：“开始”你们五个同学都要坐在椅子上，好吗？（生说：好）师背对学生，说：“准备，开始。”生坐在椅子上。师：呦！大家得帮帮忙，他们都坐上了吗？生：坐上了。师：那老师不用看，就知道一定有一把椅子上至少坐了两位同学，是这样吗？生：是。师转头，说：我们来看看，果真如此，这一个座位上坐了两位同学，好，起立。师：那假如说，我们请这五位同学反复再坐，不管怎么坐，我还肯定总有一把椅子上至少坐了两位同学，你们相信吗？生：相信。师：好了，谢谢你们，请回。其实呀，这里面蕴藏着一个有趣的数学原理，想不想研究呢？生：想。二、探究新知师：那我们今天

3、呢，就用小棒和杯子来研究这个原理，板书：小棒、杯子。现在呢，要把3根小棒放进2个杯子中，边说边板书3，2，可以怎么放？有几种不同的放法？那么请大家就先摆摆看，看看有什么发现，好吗？生：好师：现在开始。生小组操作摆一摆，并上台汇报。师：大部分同学都摆完了，谁能说说，你们是怎么摆的？来，请你们，能不能到前面边摆边给大家说，这样，我们一起帮他记录好吗？生：好。生讲解：我们认为有两种摆法，（此时，师在黑板上画三个小棒即：111），第一种摆法是：把3根小棒放进一个杯子里，另一个杯子是空的。【此时，师板书111（111，0）】,第二种摆法是将两根小棒放进一个杯子里，另外一个杯子里放1根小棒怎么记呀？【师板

4、书111 （111，0；11，1）】师：大家是这样摆的吗？生：是师：那么还有不同的摆法吗？噢，没有了。那么同学们来观察这所有的摆法【边说边指黑板111（111，0；11，1）】，想一想，5个人坐4把椅子，不管怎么坐，总有一把椅子上至少坐了2个同学。那么，3根小棒放到2个杯子里，不管怎么做，你有什么发现？师：请这位同学说。生1：不管怎么放，总会有一个杯子里面有2根小棒。师：有不同意见吗？有2根小棒，那同学们来看，这样摆，师指黑板上111（111，0），你来说。生2：不管怎么放，每个杯子里至少有2根或2 根以上的小棒。师：2根或2根以上，我们可以说什么呀？生：至少。师：哎，我听到有同学用的词非常的

5、好，再说一遍。生：至少。师：至少2根，行不行？是每个杯子里都至少2根吗？生：不是。师：什么啊？生：一个。师：噢，总有一个杯子里至少有2根小棒。哪个同学再来说一说，来，你说。生1：不管怎么放，在一个杯子里总是至少有2根小棒。师：不管怎么放，总有一个杯子里到少有2根小棒，谁能再说说，来，你来说。生2：不管怎么放，总有一个杯子里，至少有2根小棒。师：好，说得真好。说得既清楚，又简洁，谁还想再说说。你来说。生3：不管怎么放，总有一个杯子里有2根小棒。师：大家看，是这样吗？（指黑板）生：是师：老师把同学们的发现记录下来，板书：总有一个杯子里至少有2（边板书边说总有一个杯子里至少有2 个小棒），那依次推想

6、下去，把4根小棒放到3个杯子里（边说边板书：4，3），又可以怎么放呢？大家再来摆摆看，看看有什么发现？生动手操作，师说：好，注意，边摆边把各种情况记录下来。师：好，哪个小组愿意来展示下下，你们是怎么摆的？请你们。生1：我们是分四种方法来摆的，首先，就是在其中一个杯子里放上4根小棒，然后其余2个杯子是空的。（师板书：1111）师：怎么记？【师板书：111（1111，0，0）】生1：（4，0，0）其它同学一起说。生1：我们第二种方法就是在其中的两个杯子里各放1根，然后在另一个杯子里放2根，（师板书：1111（11，1，1）生：（1，1，2）我们的第三种方法是在其中的一个杯子里放3根，第2 个杯子里

7、放1根，最后一个杯子空着，（师板书1111（11，11，0）师：噢，我们配合得非常好，还有不同的摆法吗？好，请你回，那么同学们再来观察，把4根小棒放到3个杯子中（边说边指板书），不管怎么放，你有什么发现？好，你来说。生1：不管怎么放，总有一个杯子里至少有2根小棒。师：请坐下，谁还有这样的发现，再来说说，你来说。生2：不管怎么说放，总有一个杯子里至少有2根小棒。师：说得真清楚，你来说。生3：不管怎么放，只有一个杯子里至少有2根小棒。师：只有一个杯子里至少有2根小棒？生3纠正：总有一个杯子里至少有2根小棒。师：请坐下，那“总有”是什么意思呢？不管怎么放，总有一个杯子里，来，那位女同学。生1：我觉得

8、就是一定的意思。师：一定有，同意吗？生：同意。师：不管怎么放，一定会有这种情况（师边说边指板书1111）至少呢？来。这位女同学。生1：“至少”的意思是“最少”，不管怎么放，总有一个杯子里最少有2根小棒。师：同意不同意？生：同意。师：刚才，同学们呀把所有的摆放方法一一列举出来了，得到了这样的结论，边说边板书：（2），那我再往下想，6根小棒放到5个杯子里，边说边板书：（6，5），你感觉会有什么结果？好，你来说。生1：就是，不管怎么放，总有一个杯子里也是至少有2根小棒。师：呦！他是这样想的，还有谁想说？你来说。生2：不管怎么放，总有一个杯子里至少有2根小棒。师：说得这么完整，还有谁想说？你来说。生3

9、：不管怎么放，总有一个杯子里至少有2根小棒。师：我的感觉也和大家是一样的，可是我们想得对不对呢？得需要干什么呀？生：实验。师：对，实验去验证，去证明我们的想法，可是我们还用像刚才一一把所有的摆法列举出来吗？生：不用。师：你们能不能想出一种更简便的方法，直接就能证明这个结论对还是不对呢？能行吗？（生：能），那咱就试试看，同位小组里面咱先交流，开始。生互相交流，师指导（所以说，总有一个杯子里至少有2根小棒，那还有其它的方法吗？为什么只摆这一种就行了呢？）师：好，大家摆完了，那谁能给大家说一说你们想出什么办法来了？好，这个小组，能不能给大家边摆边说。（师帮忙摆杯子）生1：这里一共放了5个杯子，我手里

10、有6根小棒。我们现在假设一下，如果5个杯子里面，每个杯子里面都放1根的话，但是我手里还有1 根，所以说，这个小棒无论放到哪一个杯子里面，那个杯子里面都有2根，或者说至少有2根，所以说，我们就证明了，如果这样放的话，无论怎么放，总有一个杯子里面超过（自改至少有）2根小棒。师：有2根小棒是这样的吗？（是）谁和他分的方法是一样的？（生举手）那么多小组都选择了这种方法，刚才他这样分，是怎么分的呀？你来说。生1：他刚才这样分的方法用的是平均分。师：平均分的，对于这种平均分的方法，同学们有没有问题呀？（生：没有），那我有问题能不能请教大家呀？（生：可以）为什么只有“平均分”这一种方法，就能证明这个结论呢？

11、看来，你们得需要商量商量，是这样吗？（生：是）好，商量商量。生小组商量，师指导。师：好了，谁能说一说，为什么呢？能不能帮我解开这个疑问？来，你来说。生1：因为平均分是一个数最小平均值，所以平均数最能代表这个数的至少能放几个。师：谁听明白了？那还要给大家讲清楚，不但自己理解，还要给大家讲清楚，你请坐。我们再来试试，你说。生2：就是，我觉得在平均分之后，就是可以使剩余的全放到一个杯子里，这样就可以证明这个结论。师：噢，请坐。你来说。生3：我觉得这5个杯子里，我们打最坏的结果，第三个杯子里都放1个，假如有一个杯子里空的，该放到这个杯子里的小棒就会放到别的杯子里，所说，另一个杯子的小棒数就会增加，我们

12、打最坏的结果，每个杯子里都要放1个小棒，而余下的那1根小棒会放到另一个杯子里面，所以说，无论这1根小棒怎么摆，都会在一个杯子里是2根以上。（生说师摆）师：大家听明白了吗？（生：听明白了）听清楚了是不是，噢，我也明白了，要想保证这个杯子里小棒的数量最少（拿起有2根小棒的杯子第2个），就要干什么呀？（生：平均分）要让每个杯子里都有小棒，那如果这些杯子空着（把后三个杯子中的小棒拿出放到第2个杯子中），它还能保证这个杯子里面的小棒最少？（生：不能）师将小棒拿出放回原位。所以，同学们想到了这样一种平均分的方法证明了这个结论，那如果用算式，怎么表示？你来说。生1：6÷5=11（生说师板书：6&#

13、247;5=11）师：剩余的这一根要怎么办呢？生1：放入任意一个杯子里。师：这样就保证了这个杯子里一定有2根小棒。（板书：2）很好，同学们真不简单，这么快，就想到了这样一种方法来证明这个结论，那么我们再来一起看一看，刚才同学们分的过程。师边演示边讲解：剩余的这一根，放这里行不行，放这里行不行，放这里行不行？（行）不管放在哪里，一定有一个杯子里面有2根小棒。师：那么应用这种方法，7根小棒放到6个杯子里，会怎么 样？那位女同学说。生1：不管怎么分，总有一个杯子里至少有2根小棒。师：理由是什么？生1：也是利用平均分的原理，可以用7÷6=11这样就使每一个杯子里至少有1根小棒，另一根余下的小

14、棒放入任意一个杯子里，所以说，一个杯子里至少有2根小棒。师：总有一个杯子里至少有2根小棒。谁还想再说一说。生2：不管怎么分，总有一个杯子里有2根小棒。师：总有一个杯子里，至少有2根小棒，谁还想再说说。生2：不管怎么分，总有一个杯子里有2根小棒。（生自改：至少有2根小棒。）师：能不能说说为什么呀？生2：因为我也是利用平均分的方法，我列的算式是7÷6=11，然后 这样的话，那一根小棒就可以随意放入1个杯子里，因此，总有一个杯子里至少有2根小棒。师：同意吗？（同意）那10根小棒放入9个杯子里，会怎么样呢？生1：我认为结果还是相同的。师：能不能把结果说清楚一点。生1：也就是用10÷

15、9，每个杯子里摆1根，剩余的1根摆在任何一个杯子里都可以的，然后就得出一个结论，就是把10根小棒摆在9个杯子里，总有一个杯子里至少有2根小棒。师：无论怎么摆，总有一个杯子里至少有2根小棒。那100根小棒放到99个杯子里（边说边板书：100，99）会有什么结果呢？生1：100根小棒放到99个杯子里面也和其它的状况一样，总有一个杯子里至少有2根小 。（生说，师板书：2）师：其他同学同意吗？生：同意。师：这么大的数字，同学们这么快就得到了结论，你们是不是发现了其中的规律呀？（边说边指黑板）这样，先跟你的同位说一说，你发现了什么？生互说，师巡视。师：好了，谁想说说，你发现了什么？生1：我们讨论的结果是

16、只要小棒的个数比杯子的个数多1，就总有一个杯子里至少有2根小棒。师：是这样吗？同学们看看。（指黑板）（生：是）谁还想再说说。或者是你还有别的发现。生2：我们可以用字母来表示，假设杯子是n个的话，小棒就是（n+1）个，在这种情况下，无论余下那根小棒放到哪个杯子里，那个杯子总是有2根以上的小棒。师：至少有2根小棒。这位同学还善于用字母来表示，更加简洁，更加清楚了。生3：我的理解是，小棒的根数总比杯子的个数多1，这样，用小棒的根数除以杯子的个数，至少大于1，而余下的那1根可以任意放在哪个杯子里，所以总有1个杯子里至少有2根小棒。师：好了，请坐下，看来大家的发现是一样的，那我们刚才研究的都是小棒的数量

17、（指黑板）比杯子的数量（指黑板）多1（出手），那你有没有想过，如果小棒的数量比杯子的数量多2，多3（出手）多4，是不是也会出现这样的结果呢？（指黑板“2”的一列）（生：是）那咱试试行吗？（行）5根小棒放到3个杯子里（板书：5.3），会怎么样？生1：无论怎么摆放，总有一个杯子里至少有2 根小棒。将5根小棒平均分到3个杯子中，5÷3=12，剩下的2根小棒，无论放在哪个杯子里，总有一个杯子里至少有2根小棒。师：哪位同学有意见。生2：我不同意他的观点，因为正如他所说的，假如余下的那2根小棒都放入同一个杯子里的话，那其中一个杯了里就会有3根小棒，而不是2 根小棒，我觉得应该是余下的3根小棒分别

18、放不同的杯子里，才会总有一个杯了里至少有2根小棒。师：你也同意总有一个杯子里至少有2根小棒，是吗？还有谁有意见？生3：话中明明说了至少有2根小棒，至少并不是指非要是2。（师：你同意谁的观点？）我同意“至少有2根小棒”这个观点是对的。师：其他同学有什么意见？生4：只要小棒的数量比杯子多，那么总有一个杯子里，至少有2根小棒。师：不管多几，总有一个杯子里，至少有2根小棒。其他同学同意不同意？（生：同意）生5：我不同意他的观点，如果杯子的数量设为几个的话，若小棒的数量是2n +1话，那么这个结论就应该改变，总有一个杯子里至少有3根小棒。还要考虑他们俩之间的关系，小棒比杯子多的个数不能超过杯子本身的个数

19、。师：听清楚了吗？（生：听清楚了）师：好了，那么5根小棒放到3个杯子里，究竟总有一个杯子里，至少有几根呢？|（生：2根）咱确定一下，大家再来摆摆看。生操作，师巡视并指导。师：好了，谁能上来给大家摆摆看，我们看看究竟是怎么样的？生1：我们把5根小棒平均放到3个杯子里，还余下2根小棒，这2根小棒必须平均放到3个杯子里，还余下2根小棒，这2根小棒必须平均放到2个杯子里，这样就是两个杯子里至少有2个小棒。师：是两个杯子里至少有吗？生2：应该是总有一个杯子里至少有2个小棒。师：你能再说一遍吗？生1：总有一个杯子里，至少有2根小棒。师：是这样摆的吗？（生：是）好的，请回，谢谢。那算式怎么列？生1：5

20、47;3=12（师板书）师：总有一个杯子里至少有（生：2根小棒）板书：2）师：那7根小棒放到4个杯子里呢？同学们已经有想法了。生1：跟前面的结论是一样的，就是不管怎么放，总有一个杯子里至少有2根小棒。师：为什么？生1：因为7÷4=13（师板书），而3没有超过杯子的数量，所以总有一个杯子里至少有2根小棒。（师板书：2）师：好了，同学们同意吗？（生：同意），真聪明，那么是9根小棒子放到4个杯子里，（师板书：9、4）,15根小棒也放到4个杯子里（师板书：15、4），分别又会有什么样的结果呢？想知道吗？（生：想），那就赶快商量商量。 生交流，师指导。（还用再摆吗？）师：大家这么快就已经商量完

21、了，谁能说一说？9根小棒子放到4个杯子里，怎么样呢？生1：9根小棒放在4个杯子里，总有1个杯子里放有3根小棒。师： 不管怎么放吗？（生：是）那什么理由呢？生1：我也是用平均分的方法。如果每个杯子里放2根小棒的话，才用了8根，还剩下1根，那1根可以随便的放，（生说：师板书9÷4=21）我列的算式是9÷4=21。师： 结果是什么？把它说完整。生1：结果是不管怎样放，总有1个杯子里至少放着3根小棒。师：同意吗？ 生：同意。师板书：3师： 这个呢?(指15根小棒放到4个杯子里)生1：我们的观点是不管怎么放，总有1个杯子里至少有4根小棒。师： 也是不管怎么放吗？生1：对，因为先把15

22、根小棒平均分，放到4个杯子里面，（师板书：15÷4= ），那么每个杯子里就会有3根小棒（师板书：3），还剩下3根小棒（师板书：3），再把这3根平均分，所以不管怎么分，总有1个杯子里至少有3根小棒。师： 和你们的想法一样吗？ 生：一样，师：总有一个杯子里至少有4根小棒（师板书：4）师： 同学们，我们研究到这儿了，看一看，有什么规律呀？（师指黑板）把你的想法先说给同位听。开始，生交流。师： 好了，谁想说给大家听一听，分享一下经验。生1：用小棒的根数除以杯子的个数的商，假如还有余数的话，就加1，没有余数的话，就是商，就是每个杯子至少（师：每一个杯子？）总有一个杯子里至少有小棒的数。师： 谁

23、听懂他是怎么说的了？谁能再说说。生2：商十余数，就是平均分以后的最少有的小棒。师： 总有一个杯子里至少有几根小棒，结论我听明白了，好像提前我没听清楚，你能不能再完整地说一说。生2：用小棒的个数除以杯子的个数，所得的商加上余数，就得这个平均分了以后，总有一个杯子最少有多少根小棒，师：他说“商+余数”。（边说边板书），就能得到总有一个杯子里最少有几根，呦！这么多有意见的，谁能说说。生1：如果7÷4=13，1+3总有一个杯子里至少有2根小棒了。师： 是这样吗？生:是。师：那到底怎么回事呢？不是“商+余数”，那是什么？ 生1：我觉得应该是商+1，而不应该是“商+余数”。师： 他认为是商+1（

24、板书：“商+1”），还有疑问？生2：我觉得不对，如果它要是没有余数的话，商就不用加了，如果是有余数的话，就用商+1。师： 你看人家考虑得周到不周到？对，你能不能再把你刚才的话完整地说一说，让同学们都听清楚。生1：我觉得是当有余数的情况下。师： 什么时候有余数？生1：当小棒的个数除以杯子的个数（生说师指所在的列的数字），有余数的话，就用“商+1”就得到总有一个杯子里至少有的小棒，如果没有余数的话，那它的商就是总有一个杯子里至少有的小棒数。师：同意吗？ 生：同意。师：那我现在该把谁擦掉了。 生：商+余数。师：噢，看来，并不是“商+余数”（擦掉），而是“商+1”（边说边指商）很好，同学们，知道吗？我

25、们今天研究的这个原理就是数学当中有名的鸽巢原理。（板书课题：鸽巢原理）师：我们今天所用的小棒，就被看作是鸽子，谁作鸽巢呀？（生：杯子）对，有关鸽巢原理的知识请同学们来了解一下。（CAI播放：鸽巢原理）师读。也叫什么呢？（鸽巢原理） 师生同念。 师：那么应用我们今天所学过的“鸽巢原理”，你能不能解决一些实际问题呀？（生：能）有没有信心？（生：有）我们来试试。 三、巩固新知师：（CAI播放问题，做一做【71页】）谁来读一读？对，就是呀，为什么呀？ 生1：因为8÷322，这样它的商是2,2+1=3，这样就是3只鸽子，用平均分的方法验证了这个原理。师：听清楚了，那个商是表示什么啊？商2表示每

26、只鸽子笼里面飞进了2只，而还剩2只呢？（再平均分成2份），噢，我们看看是这样吗？（CAI播放动画）和你们想得一样吗？（一样）师：那15个苹果放到4个盘子里，总有一个盘子里至少有几个苹果？生1：把15个苹果放到4个盘子里，总有一个盘子里至少有4个苹果。师：为什么？生1：因为15÷4=33,3+1=4，不管怎么放，总有一个盘子里至少有4个苹果。师：说的真好。你说得再加上1个数，是加几啊？生1：加1、师：是不是这样吗？ 生：是。师：好，和大家想的一样吗？（生:一样）师：那大家玩过扑克牌吗？ （生：玩过）一共有多少张？（生：54张）那如果抽出2张牌呢？（生：52）CAI：演示。再从这52张中

27、任意抽出5张，猜一猜，会有什么结果？生1：至少有2张花色是一样的。 师： 为什么？生1：因为总有4种花色，抽出了35张牌用5÷4=11，利用鸽巢原理再用1+1=2，至少有2张牌花色是重复的。师：请坐下，你同位两个再说一说是怎么玩的?师：好了，交流完了吗？噢，原来扑克牌当中也能运用我们今天所学的鸽巢原理来解决问题，是不是这样？四、总结提升师：好，这节课，啊，同学们你们有什么收获？生1：我学会了鸽巢原理的相关知识。师：鸽巢原理的相关知识是什么，你能不能具体说一说。生1：我们以小棒和杯子为例，不管怎么放，总有一个杯子里至少有“商+1”根小棒。师： 这是这位同学的收获，你还想说一说。生2：我

28、学会了鸽巢原理，可以用鸽巢原理解决一些实际的问题。师：比如像我们刚才那样解决鸽笼问题或者是解决扑克牌问题。是不是，老师对你们今后利用鸽巢原理解决实际问题充满了信心。五、板书设计 鸽 巢 原 理小棒（物体数） 杯子（鸽巢数） 总有一个杯子里至少有“商+1”（有余数） “商”（没有余数）3 2     24       3       26         &#

29、160; ÷          5=11             2100        ÷         99