关于一类一阶非线性常微分方程解空间的显易结构

1、第19卷增刊1999年4月数学研究与评论JOURNALOFMATHEMATICALRESEARCHANDEXPOSITION.19SuppVolApr.1999关于一类一阶非线性常微分方程解空间的显易结构张玉明(辽宁商业高等专科学校企管系,锦州121013)摘要:文章以定理111为基础,引入标准可积方程的概念,进而根据已知方程w=ai(z)wi(z)的n+i=0n1个系数,给出了该方程解空间具有显易结构的判别准则.一方面,根据该准则,可以对该类非线性常微分方程解空间结构作出显易结构的判定,从而可以对其解空间进行定性解析分析;另一方面,该准则可以作为判定该类非线性常微分方程在复域上能否变量分离之

2、准则.关键词:解空间,标准可积方程,显易结构.分类号:AMS(1991)34B15CLCO175.14文献标识码:A文章编号:10002341X(1999)增刊202822051引言及主要定理对于非线性常微分方程nw=a(z)wii=0i(z),(111)其中ai(z)C(D);ZD,an(z)0,D是复平面上某一连通开集.当n2时,一般不能用初等方法求解.然而,类似于线性常微分方程,它们的解空间也是由若干不同的特解非线性地生成.文1,3给出了方程(111)解空间具有显易结构的条件.1(D)上的解析函数定理111方程(111)解空间具有显易结构的充要条件是存在Df(z)与g(z),f(z)0,

3、zD,使得经线性变换w=f(z)+g(z),方程(111)可以化为nnn-1(z)(=(z)(z)-+c1+cn),i=i=1(112)其中.i(i=1,2,n)为n个复数定理112方程(111)解空间具有第一类显易结构的充要条件是存在n个非零的常数i及n个互不相同的特解wi(z),它们满足以下n-1个等式:n3wii=1ji(z)=0(j=0,1,2,n-2).(113)收稿日期:1996204225;修订日期:1998206212作者简介:张玉明(19632),男,河南玉田县人,硕士,现为辽宁商业高等专科学校副教授.282 1995-2005 Tsinghua Tongfang Optic

4、al Disc Co., Ltd. All rights reserved.在定理111中,如何实现这个变换,以及能否直接根据已知方程(111)的n+1个系数,对方程(111)解空间显易结构的存在性作出判别,是未知的.然而我们通过对方程(111)与方程(112)系数的研究得到了下述主要结果.已给方程(111),定义函数:g(z)=-,nan(z)iFi(z)=cj=0i-jn-ji-jian-j(z)g(z)-n-1i(z)(i=1,2,n),-ngf(z)(114)ii其中:n.-1,n为Kronecker记号,函数f(z)待定研究函数列F1(z),F2(z),Fn-2(z),Fn(z).(

5、i)如果此函数列在D上不全为零函数,则可设Fk(z)为此函数列中下标号最小的非零函数(显然k2),定义f(z)=an(z)k,(115)(116)3(z)=an(z)fn-1(z),0,j=1,2,k-1,(1.7)s3j=,j=k,k+1,n;jan(z)f(z)(ii)如果此函数列在D上均为零函数,取g(z)=-,f(z)为D上任何无零点的nan(z)解析函数,则方程(111)在线性变换w=f(z)+g(z)下,化为Bernoulli方程:(1.8)=an(z)fn-1(z)n+Fn-1(z).由此得到下面的主要定理:定理113当n3时,方程(111)解空间具有显易结构的充要条件是:或者s

6、3j(z)(j=k,k+1,n)均为常数(情况i);或者F1(z),F2(z),Fn-2(z),Fn(z)在D上均为零函数(情况ii)为了证明这个定理,需要如下引理.2基本引理设方程=(z)(n+s1n-1+s2n-2+sn-1+sn),(2.1)其中s1,s2,sn均为常数.定义如果方程(211)具有如下性质:或者s1=s2=sk-1=0,sk=1(k2,且kn-1);或者si=0(i=1,2,n-2,n),则称方程(211)为标准可积方程.为了证明定理113,引入如下引理:引理211任意一形如(112)的方程都可以经过线性变换化为标准可积方程.(D)上的解析函数引理212方程(111)的解

7、空间具有显易结构的充要条件是:存在D,使得经线性变换w=f(z)+g(z),方程(111)化为标准可积f(z)与g(z),f(z)0,zD283 1995-2005 Tsinghua Tongfang Optical Disc Co., Ltd. All rights reserved.方程.引理213在情况(i)下,如果方程(111)解空间具有显易结构,则存在唯一一个线性变换,把方程(111)化为标准可积方程.3引理及定理的证明引理211的证明定义b=-iii-1i-1,则或者si=cnb+c1cn-1b+ci0(i=1,2,n-2,niii-1i-1n)(情况1);或者si=cnb+c1c

8、n-1b+ci=0(i=1,2,n-2,n)(情况2).设线性变换=a+b(a0,b为常数),情况1时只要取a=cnb+c1cn-1biii-1i-1+ci,b=-n引理212的证明由定理111及引理211便可以得到引理212的结论.引理213的证明存在性由引理212可知,唯一性的证明见5.最后证明定理113.先证明必要性:设线性变换w=f(z)+g(z).把变换(311)代入到方程(111)中得:n-1n-233=3(z)n+s3+s3+sn1(z)2(z)-1(z)+sn(z),(3.1)(312)(3.3)(3.4)其中3n-1(z),(z)=an(z)f3(j=1,2,n).sj=ja

9、n(z)f(z)由引理212得:或者情况(i),则有f(z)=an(z)k,g(z)=-,nan(z)且F1(z)=F2(z)=Fk-1(z)=0,而0,j=1,2,k-1;sj(z)=3,j=k,k+1,n,jan(z)f(z)在已知条件下,s3.j(z)必全为常数若不然,由引理213知,不存在其它的变换把方程(111)化为标准可积方程,即方程(111)的解空间不具有显易结构,这与已知条件相矛盾,因此s3.j(z)必全为常数或者情况(ii),则g(z)=-下面证明充分性:284 1995-2005 Tsinghua Tongfang Optical Disc Co., Ltd. All ri

10、ghts reserved.,f(z)为D上任何无零点的解析函数,且F1(z)=nan(z)F2(z)=Fn-2(z)=Fn(z)=0.必要性证毕.情况(i),线性变换w=an(z)k-3,把方程(111)化为nan(z)3k+133=3(z)(n+skk+sk+sn+1-1+sn),3其中sj(z)=(3.5)(j=k,k+1,n)均为常数.由代数方程的基本定理,方程(315)可以jan(z)f(z)n化为如下形式:=(z)(z)-j,j=13(3.6)其中1,2,n为代数方程+sk+sk+1nk33k+133+sn-1+sn=0(3.7)的n个复根.当诸i均不相同时,方程(111)有第一类

11、显易结构的通解:nG(z)(z)-i=1iiConst,(3.8)其中G(z)=exp-(z)dz,(i=1,2,n)均为常数.3isz当诸i有相同者时,方程(111)有第二类显易结构的通解:G(z)expR(z)(z)-i=13iiConst,(3.9)其中G(z)=exp-z3.i(i=1,2,s)均为常数(z)dz,R(z)为有理函数,情况(ii)g(z)=-,f(z)为D上任意无零点的解析函数,则在该线性变换下,方nan(z)程(111)化为Bernoulli方程:=an(z)fn-1(z)n+Fn-1(z),(3110)(3.12)z而Bernoulli方程有第一类显易结构的通解:1

12、-nn-1n-12G(z)(z)-1(z)Const,其中权为1-n,1,1而(z)dz(n-1)a(z)f(z)exp(n-1)FF(z)exp(n-1)FdzdzG(z)=(n-1)a(z)f1(z)=expzzn-1nn-1n-1(z)dzdzn-1znn-1zn-1(3.14)综上所述,证明了无论是情况i,还是情况ii,方程(111)解空间都具有显易结构.感谢导师管克英教授给予的热情指导和帮助.参考文献1GuanKeying.OnstrucureofsolutionspacesofsomenonlinearordinarydifferentialequationsC.Proc,of32

13、rdSeminarOnDifferentialEquations,(1990).Poznan.2秦元勋.常微分方程定义的积分曲面M.西安:西北大学出版社,1985.n3李美生.非线性常微分方程y=a(z)yii=0i(z)解空间的显易结构J.北京航空航天大学学报,285 1995-2005 Tsinghua Tongfang Optical Disc Co., Ltd. All rights reserved.1989,4:81-87.4GuanKeying.Onrepresentingthegeneralsolutionwiththespecialsolutionsforthediffere

14、ntialequtionsn=ya(z)yii=0i(z)J.JouralofMathematicalReserchandExposition,1983,3(1):115-116.n5张玉明,管克英.非线性常微分方程w=a(z)wii=0i(z)的显化问题C.常微分方程复定性理论学术会议论文集,19911OnExplicitStructureofSolutionSpaceofaClassoftheFirstOrderNonlinearOrdinaryDifferentialEquationZhangYuming(LiaoningCommercialCollege)AbstractInthisp

15、aper,theconceptofthecanonicalintegrableequationisintroduced.Acriterionn=isgiveninvolvingthen+1coefficientofagivenequationwa(z)wii=0i(z)thatthesolu2tionspaceoftheequationhasanexplicitstructure.Accordingtothiscriterion,itcanbejudgedthatthesolutionspaceofthisclassofnonlineardifferentialequiationhasanexplicitorimplicitstrctrure,therefore,ananalyticqualitativeanalyesecanbemadeonit.More2over,thiscriterioncanbeusedtodeterminewhetherth