分析模型层合板复合材料连杆机构非线性动态

1、分析模型层合板复合材料连杆机构非线性动态摘要: 以层合板连杆机构为研究实例，考虑层合板构件大变形导致的非线性因素影响，用拉格朗日方法建立此类机构的模型，得到机构的非线性有限元动态方程。所建模型体现了非线性因素对机构动态性能的影响，为提高层合板机构动力学模型的精度，以改善机构的设计和动态性能，提供了一定理论依据；并为进一步研究该类机构的内共振、主共振，以及各种组合共振、多重共振等特性，打下了一定基础。关键词：; ; 一 引言激烈的市场竞争促使现代机械向高速高效和轻量化的方向发展，这使得比强度高、质量轻的成为现代制造业的新宠。为此，研究新型在机械中的应用，便成为当今机械学的一个重要课题。从20世纪

2、八十年代起，人们开始研究在机构中应用层合板的问题。在建立该类机构的动力学分析模型时，通常的做法是沿用传统金属材料机构的动态分析有限元模型，而将金属材料的密度和弹性模量改为各层的平均密度和平均弹性模量。该方法虽有一定误差，但简便易行，适用于要求不高的一般工程近似计算中。文献1以对称叠层四连杆机构为研究对象，考虑了这种材料各向异性的实际物理关系，建立了机构的线性动态分析模型。然而目前对于层合板机构的动力学研究多限于小变形的研究范围，通常采用线性化的模型。对于精度要求较高的现代轻型机构而言，这种理想化的模型还难以达到满意的精度，基于理想线性模型的研究也难以获得此类机构诸多动态行为的圆满解释。当此类机

3、构中层合板构件产生较大变形时，会使机构的非线性行为加剧。此时若仍按线性化的模型来描述机构的动态特性而忽略非线性因素的影响，将可能产生较大的误差。目前对于层合板机构的非线性动态特性的研究工作开展的还很不够，文献寥寥，尚处于学科前沿。开展对此类机构非线性动力学问题深入研究工作的要求，显得尤为迫切。本文仍以文献1中的对称叠层连杆机构为例进行研究，将在其已建线性模型的基础上，考虑层合板构件的大变形引起的非线性因素影响，建立此类机构的非线性有限元动态分析模型。对推导过程中与线性模型相同的部分本文将不再赘述，只引用文献1中的结论。二 构件梁单元非线性动态方程（一） 单元位移模式图1 叠层梁单元图1所示为一

4、等截面对称叠层梁单元。它有两个节点A、B，长度为L，梁单元局部坐标系的原点设在A点，则梁单元中面上任一点的位移和各横截面的转角通过型函数和节点位移表示为： （1）式中， 、 为杆件中面纵向与横向位移， 为截面转角， 为梁单元局部坐标系坐标， 、 为结点处纵向位移， 、 为结点处横向位移， 、 为结点处轴线转角， 、 为结点处轴线曲率， 、 为结点处截面转角。则其节点位移广义坐标列阵为 。式中型函数：(2)式中 , 为梁单元的长度。根据经典层合梁理论假设，考虑轴力、弯矩和剪力作用，层合板杆件任意点的位移分量可认为1： （3)（二）单元动能与质量矩阵单元质量矩阵应为两部分之和，即： （4）式中，

5、表示平动部分， 表示转动部分。质量矩阵 为1： （5）式中， 为横截面面积， ， 为第k层材料平均密度， 为第k层厚度，h为梁单元总厚度； , 和 为第k层纤维和基体密度， 、 为第k层纤维和基体体积百分比， 为层合板层数。质量矩阵 为1： （6）式中， 为横截面的转动惯量。考虑转动惯量，单元总动能 为平动动能 和转动动能 之和： （7）式中: （8） （9）忽略刚弹耦合项，上式中绝对速度列阵 为： （10）式中， 为刚体速度列阵， 为弹性速度列阵。（三）单元势能与刚度矩阵层合梁单元中第 层的应变能可表示为2: (11)式中， 为梁单元中第k层的体积。 、 为第 层在单层纤维材料主方向的应变和

6、应力向量，考虑四个相关分量， 和 的形式为： (12)对称叠层梁单元中第k层在其材料主轴方向的本构关系为： (13)其中 是弹性矩阵，表示为3： (14)式中， ; ; ; ; 。 、 分别为单向板纤维方向、垂直于纤维方向的弹性模量； 、 为单向板剪切模量； 、 为泊松比。设为x轴与1轴夹角（纤维铺设角），则在梁单元坐标系与纤维坐标系中应变分量转换关系为4： (15)式中： （16）这里 ， ， 为在梁单元坐标系下的应变，且： （17）考虑到此类机构中较长杆件的中点附近位置更容易产生较大的挠度，横向位移较大。故突破小变形的研究范围，计入大变形情况下横向位移对拉应变的影响，根据弹性力学知识，得到

7、层合梁单元任意一点处拉应变与位移关系为5,6： (18)将式（1）、(2)代入式(18)，得任意点应变与结点位移的关系： (19)式中： (20)（21） （22） （23） （24） （25） （26） （27）将式（13）至式（16）以及式（19）代入式（11），得到层和梁单元第k层应变能为：（28）令: （29） （30） （31）单元总的应变能可表示为：(32)这里单元刚度矩阵 为： 。（四）单元运动微分方程拉格朗日方程用于对称叠层梁单元时可写为： (33)式中， 为单元广义力列阵； 为与该单元相临的其它单元给予该单元的作用力列阵。忽略刚弹耦合项，绝对加速度列阵 为： （34）式中，

8、为刚体加速度列阵， 为弹性加速度列阵。将单元动能表达式（7）至（9）和式（4），单元应变能表达式（32）与式（34）代入式（33）中，经整理后得到层和梁单元运动微分方程为：(35)三 层合板机构非线性动态方程以对称叠层弹性曲柄摇杆机构为研究对象，用有限元法进行分析。机构中的杆件均为对称叠层构件。（1）曲柄（2）连杆（3）摇杆图2 层合板连杆机构有限元分析示意图简单而不失一般性，在对该机构进行有限元分析时，将曲柄作为1个梁单元，将摇杆和连杆各分为2个梁单元，以1、2、表示节点编号，以、表示单元编号，以、表示活动构件编号，以 、 、 、 、 、 、 、 表示弹性位移，以单箭头的 、 、 、 、 、

9、 、 表示轴线转角，以双箭头的 、 、 、 表示轴线曲率，以三箭头的 、 、 、 、 、 、 表示截面转角。节点3为连杆的中点，节点5为摇杆的中点，如图2所示。这样该四杆机构的广义坐标列阵可表示为：设广义力列阵为F，刚体惯性力列阵为Q，并采用粘滞阻尼理论来近似地估计阻尼的影响7，计入阻尼项 ，经单元整体坐标变换与符号协调，得到机构的非线性动态方程可表示为：（36）式中， ， ，C为阻尼矩阵，Ne为单元数。上式含有动态响应的平方和立方非线性项，体现了非线性因素对机构动态性能的影响。四 结论非线性因素对现代轻型机构的动态性能具有不容忽视的的影响。在对此类机构进行动力学分析时，理想的线性模型不能体现

10、非线性因素对机构动态性能的影响，难以达到满意的精度。以往不考虑非线性的传统设计方法有必要改进。本文以对称叠层弹性连杆机构为研究对象，考虑因构件的大变形而导致的非线性因素影响，用拉格朗日方法建立了层合板机构的模型，推导出机构的非线性有限元动态方程。本文所建立的模型体现了非线性因素对机构动态响应的影响，为提高层合板机构动力学模型的精度，以改善机构的设计和动态性能，提供了一定的理论依据，具有一定工程意义。本文的工作为进一步研究该类机构的内共振、主共振，以及各种次共振、组合共振、多重共振等特性，打下了一定基础。参考文献1 常平平. 电动机弹性连杆机构系统动力学建模与仿真D. 广西大学图书馆. 广西大学

11、. 2006.2 Suong V H, WEI Feng. Hybrid finite element method for stress analysis of laminated compositesM. Norwell, Massachusetts: Kluwer Academic Publishers. 1998.3 张少实, 庄茁. 与粘弹性力学M. 北京: 机械工业出版社. 2005.4 Nicolaie D D, Eduard M C, Mechanics of elastic compositesM. Boca Raton, Florida: CHAPMAN& HALL/CRC. 2004.5 张策, 黄永强, 王子良等. 弹性连杆机构的分析与设计M. 北京: 机械工业出版社. 1997.6 Matthews F L, Davies G A. Hitch