全程快速非线性跟踪_微分器

1、第20卷第6期2003年12月控制理论与应用ControlTheory&ApplicationsDec.2003文章编号:1000-8152(2003)06-0875-04全程快速非线性跟踪-微分器王新华,陈增强,袁著祉(南开大学自动化系,天津300071)摘要:设计一种快速收敛的非线性跟踪-微分器,收敛,并采用线性与非线性组合的连续函数形式,而不需要切换函数,.关键词:收敛;非线性跟踪-微分器;平衡点;切换函数;抖振中图分类号:TP13;O231.2文献标识码:ANonlineartracking-diffeeedinwholecoursehua,qiang,YUANZhu-zhi(

2、of,NankaiUniversity,Tianjin300071,China)differentiatorwasdesigned.Itcouldguaranteethatthestateconvergesautomati2callytothepointwithhighspeedundertheconditionthatthestatewasfarawayfromtheequilibriumpointorneartoit.Thecombinationoflinearityandnonlinearitywasadopted,insteadoftheswitchingcontrolbyswitch

3、functions.Asaresult,thisnonlineartracking-differentiatorpreventedthechatteringofthesystem.Keywords:converge;nonlineartracking-differentiator;equilibriumpoint;switchfunction;chattering1引言(Introduction)设坐标原点为平衡点.系统设计是使得状态首先沿着直线部分向平衡点移动,当接近平衡点时,再沿曲线部分向平衡点移动,如图中实线部分的线路收稿日期:2002-09-23;收修改稿日期:2003-02-17.基

4、金项目:国家自然科学基金项目(60174021,60374037).运动过程.系统状态迅速收敛到平衡点,避免了抖振现象发生.图1系统状态收敛示意图Fig.1Convergentsketchmapofstatevariable2快速非线性跟踪-微分器设计(Designofhigh-speednonlineartracking-differentiator)先给出如下引理.引理如下所示系统z1=z2,󰂻m/nm/nz2=-a0z1-a1z1󰂻-b0z2-b1z2.(1)如果a0,a1,b0,b1>0,m,n均为大于0的奇数,且876控制理论与应用第20卷m&l

5、t;n,那么系统(1)在(0,0)点是渐近稳定的,即满证对输入信号v(t)分两种情况进行讨论:a)当v(t)为常数时,即v(t)=c(c为常数),足limz1=0,limz2=0.t+t+证选取如下形式的Lyapunov函数V(z1,z2)=式(6)变形为z2m+nz1m/n+2a0z1+,(2)()-1=Rx2(t),dRt(-1()=-a0(x1(t)-c)-a1(x1(t)-c)dRtb0(R-1m/n则(z1,z2)=2a1z1V󰂻a1z1m/nz2+2a0z1z2+2z2(-a0z1-m/n-.m/n-b0z2-b1z2)=x2(t)1(R-1x2(t)m/n-2b0

6、z2-2b1z2(m+n)/n0.(3)(8)(z1,z2)0时,由式(3)得z20,󰂻如果V󰂻z2令Rt,h)=1(c,2(h)=R-1x2(t),),所以对于任意时0R+0.代入式(1)中,得z1=0,󰂻z1=0.所以,只有在平衡点(0,0)处,Lyapunov函数的导数才为0.知上述系统(1)只有在(0,0).足limz1=0,limz2t+t+上述系统.1)当|z|时m<n,有|z|>|zm/n|.R+|x(t)-c|dt=|z(Rt)|d(Rt)lim=limt0t0+T1Rt0+RTRt1R所以,系统状态在远离平衡点时|z

7、|µ|zm/n|,系统(1)中起主导作用的形式如下z1=z2,󰂻z2=-a0z1-b0z2.󰂻(4)R+limRtRt0+RT|z1(h)|dhR.(9)由文6中的引理的证明,可以看出系统(4)仍然是渐近稳定的,且保持快速的收敛速度,其收敛速度与z1,z2值的绝对值成正比.2)当|z|<1时,由于m<n,有|z|<|zm/n|.|z(h)|dh有界时,上式左端为0;当|z(h)|dh+时,由罗毕塔法则,得lim|x(t)-c|dt=当Rt0Rt0+RT1Rt0+RTRt01t0+TR+当系统状态接近于平衡点时,|z|zm/n|成立,系

8、统(1)中起主导作用的形式如下z1=z2,󰂻z2=-a1z1󰂻m/nt01R+lim(|z1(Rt0+RT)|(t0+T)-|z1(Rt0)|t0).(10)-b1z2m/n.(5)由引理中limz1(h)=0,所以h+R+同样,由文6中的引理的证明,系统(5)也是稳定的,并且保持快速收敛性.下面设计快速收敛的非线性跟踪-微分器,并给出如下定理.定理如下所示的系统x1=x2,󰂻x2=R(-a0(x1-v(t)-a1(x1-󰂻m/nlim|t0t0+Tx1(t)-c|dt=0.(11)由以上分析可知,当v(t)为常数、R+时,x1(

9、t)弱收敛于v(t);而x2(t)跟踪v(t)的微分信号.)时,任给>0,存在一b)当v(t)L0,+个阶梯函数M(t)(不需要文1中收敛于输入信号),(6)v(t)m/n-b0-b1R的连续函数列的条件,而是可以直接找到收敛于输入信号的阶梯函数M(t)满足y=x1(t).如果R,a0,a1,b0,b1>0,m,n均为大于0的奇数,且m<n,那么对于任意输入信号v(t)0,+B(0<B<+),满足Rt0m1t0+T|v(t)-M(t)|dt<.2(12)令I=t0,t0+T,M(t)在每一个Ii(I=Ii,且IiIj0(ij),i,j=1,m1)中均i=1l

10、imx1(t)=v(t).(7)为常数.所以由式(11)知,对式(12)中任给的>第6期王新华等:全程快速非线性跟踪-微分器8770,存在R0,使得当R>R0时,满足Ii|x1(t)-M(t)|dt<,i=1,2,m1,2m1(13)1-limTT+所以T+lim|t0mi=1t0+Tx1(t)-v(t)|dtv(t)edt|x(t)edt1+limv(t)edt|v(t)e|-jt)|=|G(jT1-jtT-jtT+T-jt,00dt|(22)Ii|x1(t)-M(t)|dt+t0t0+T|v(t)-M(t)|dt<,(14)可得limG(j=从而R+T+T+lim|

11、t0t0+Tv(t)eT1()-jtdt=1.-jtdt(23)x1(t)-v(t)|dt=0.(),t即R+时,当v(t)L0,+于v(t);而x2(t)跟踪vt.),(15),取t0=0,当v(t)+,>0,存在R0,使得当及任意T(0,R>R0满足,在系统(6)中,状态变量x1(t)在R+时逐点收敛于信号v(t),即式(7)得证.3仿真(Simulation)1)系统(4)状态变量的仿真曲线z1=z2,󰂻z2=-z1-z2,󰂻z1(0)=1,z2(0)=-1,T.|x1(t)-v(t)|dt(16)由|ejt|=1,得T|x1(t)e-jt-v

12、(t)e-jt,|dt(17)所以0|系统状态曲线如图2(a)所示.2)系统(5)状态变量的仿真曲线.z1=z2,󰂻m/nm/nz2=-z1-1.14z2,󰂻TTx1(t)e-jt-jtdt-jtTTv(t)e-jtdt|<(18)z1(0)=1,z2(0)=-1,T|x1(t)e-v(t)e|dt.从而,得-|系统状态曲线如图2(b)所示.3)系统(1)状态变量的仿真曲线.z1=z2,󰂻m/nm/nz2=-z1-z1-z2-1.14z2,󰂻x1(t)e-jtdt|-|v(t)e-jtdt|.(19)z1(0)=1,z2(0

13、)=-1,若Tv(t)e-jtdt=0,由系统(6)中y(t)=x1(t),T则输出Y(j)=X1(j)=limT+系统状态曲线如图2(c)所示.4)全程快速非线性跟踪-微分器仿真曲线.x1=x2,󰂻2x2=100-(x1-v(t)-(x1-v(t)󰂻m/nx1(t)e-jtdt.(20)-)任意性,得由式(19)及T(0,+-|Y(j)|=|X1(j)|=T+100-1.(21)y=x1,m/nlim|T,v(t)=exp(-0.1t)sin(0.5t),x1(t)e-jtdt|,所以可得lim|Y(j)|=0,即系统稳定.R+若Tv(t)e-jtdt0,则|

14、Tv(t)e-jtdt|0(等于0时的证明过程类似),则式(19)两边同时除以|Tv(t)e-jtdt|,且使得T+,所以仿真曲线如图2(d)所示.在上述各仿真曲线中,对于图(a)(c),各实曲线分别为相应系统状态z1(t),各虚曲线分别为相应系统状态z2(t).对于图(d),实曲线为状态x1(t),即输出y,虚曲线为状态x2(t),即输出信号y的微分.878控制理论与应用第20卷图2各系统仿真曲线Fig.2Curvesofsystems4结论(Conclusion)通过以上分析及仿真研究,可以看出改进后的非线性跟踪-微分器跟踪速度快,并且没有抖振现象,是一种十分有效的跟踪-微分器.参考文献(

15、References):1韩京清,王伟.非线性跟踪-微分器J.系统科学与数学,1994,1995,24(5):356-364.(HANJingqing.ImprovedPIDcontrollerbythenonlinearityJ.InformationandControl,1995,24(5):356-364.)5韩京清.非线性PID控制器J.自动化学报,1994,20(4):487-489.(HANJingqing.NonlinearPIDcontrollerJ.ActaAutomaticaSinica,1994,20(4):487-489.)6王新华,陈增强.一种新型的非线性跟踪-微分器

16、的设计及其稳定性分析A.第21届中国控制会议C.杭州:浙江大学出版社,2002:64-68.(WANGXinhua,CHENZengqiang.Designandstabilityanalysisforanewnonlineartracking-differentiatorA.The21thChineseCon2trolConfC.Hangzhou:ZhejiangUniversityPress,2002:64-68.)14(2):177-183.(HANJingqing,WANGWei.Nonlineartracking-differentiatorJ.JSystemScience&MathematicalSciences,1994,14(2):177-183.)2韩京清.一种新型控制器NLPIDJ.控制与决策,1994,9(6):401-407.(HANJingqing.Anewtypeofcontroller:NLPIDJ.ControlandDecision,1994,9(6):401-407.)3陈昶,王朝珠,韩京清.一种估计机动目标运动参数的方法J.作者简介:),男,南开大学博士生,主要研究方向非线性王新华(1975自适应控制.E-mali:wang-xinhua;),男,南开大学教授,博士生导师,主要从事陈增强(1964宇航学报,1995,16(1):