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文档简介

1、不等式问题的处理策略与技巧（1）转化法对于比较复杂的不等式问题，不仅要用到重要的定理和性质，而且需要多种方法和技巧的灵活运用。一、将非条件不等式转化为条件不等式1.（2003年美国奥林匹克竞赛试题第5题）设 证明：【证法一】分析：不妨设，则原不等式变形为：由此联想到构造函数故【点评】这里“不妨设“利用了该不等式的齐次性。因为假设，其中是任意正实数，则。令，即，则于是原问题可转化为：已知，求证：一般地，具有齐次性的不等式，通常可以增加条件等使得原不等式变得简单；【证法二】【利用切线不等式】证明: 令 ，；则将中分式上下同除以,化简得,易得在点的切线为.下证 ，,化简即证 .令,易得在单调递减，在

2、单调递增； 得证 得证当且仅当，即时取等总结: 对于形如“已知，且，求证”的不等式问题均可以采用构造后累加2（日本奥林匹克数学竞赛试题）【切线不等式】已知 ，求证：【证明】令，,易得且 （先猜想原不等式分式中上下同除以得,即证 ,易得在点的切线为.下证 （）x、y.化简即证明: 令 （）. 得证.得证，当且仅当，即时取等3 （2005年塞尔维亚数学奥林匹克竞赛题）已知，求证：【证明】 令 ， ，；则. 易得 在点的切线为下证，令；，； 令，得在上单调递增，由,得当时，单调递增；当时，单调递减；得证.当且仅当，即时取等定理（推广）: 若，且则（证明略，方法同上）（二）、化条件不等式为非条件不等式

3、对非条件不等式，通常可以通过代入法转化为条件不等式，条件不等式也可以通过一些特殊的代换转化为非条件不等式，为进一步解题带来方便1. 设证明：【分析】令（）于是只需证明： (这里可有舒尔不等式证明)再令则故（1）式等价于证明中至多有一个为负数。若仅有一个负数，则上式显然成立；若全为正数，则有均值不等式易证；2.设证明：【分析】讲条件代入，转化为由易证得上式；3、设且 ,试证:.【证法一】应用柯西不等式推论由,得 ,从而原不等式等价于 ,.【证法二】 （平均值不等式的推论）由,有 ,得 .同理 ,三式相加得 三、将条件不等式转化为新的条件不等式1、已知 ,且求证: .【证法一】由已知得 ，令,则 ,由 , ,得, 从而 ,得 .【证法二】切线不等式2、设为正数，且满足证明：对所有的,都有【分析】

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