2017年度年新人教A版本高中数学必修四（平面向量的数量积）学案

1、湖南省隆回县万和实验学校高中数学平面向量的数量积学案 新人教A版必修4【学习目标】1.掌握平面向量的数量积及其几何意义；2.掌握平面向量数量积的重要性质及运算律。【学习重点】平面向量数量积的定义，用平面向量的数量积表示向量的模、夹角。【学习难点】平面向量数量积的定义及运算律的理解，平面向量数量积的应用。【自主学习】一.情景设置在物理学中学过功的概念，一个物体在力F的作用下产生位移S，那么力F所作的功W = |×|cosq，q是与的夹角.思考：W是什么量？F和S是什么量？它们之间有什么关系？ W是标量（实数），F和S是矢量（向量）这个式子建立了实数和向量之间的关系，是实数和向量互相转化

2、的桥梁。我们学过的向量运算结果都是向量。因此定义一个新的运算，不仅是物理学的需要，也是数学建立起实数和向量两个不同领域关系的需要。二阅读课本P103，回答下列问题：1两个非零向量夹角的概念：_（1）当0时，与 _（2）当时，与 _（3）当/2时，与_ ,记；（4）注意在两向量的夹角定义中，两向量必须是_,的范围 _2平面向量数量积（内积）的定义：_规定：与任何向量的数量积都为_思考： 定义中涉及哪些量？运算结果还是向量吗？ 两个向量的数量积与向量同实数积的区别是什么？ 3“投影”的概念是什么？向量的数量积的几何意义是什么？“投影”的概念：作图 定义：_叫做向量在方向上的投影思考：投影是一个数量

3、还是一个向量？投影的正负与什么有关？×的几何意义：_4.非零向量的数量积是一个数量，那么它何时为正，何时为0 ,何时为负？【合作探究】1由向量数量积的定义，探讨它们的性质：（1）两个非零向量与， Û × =_（此性质可以解决几何中的垂直问题）；（2）两个非零向量与，当与同向时，× =_；当与反向时， × =_ （此性质可以解决直线的平行、点共线、向量的共线问题）； （3）cosq =_（此性质可以解决向量的夹角问题）；（4）× = |2，（此性质可以解决长度问题即向量的模的问题）；（5）|×| |（此性质要注意和绝对值的性质

4、区别，可以解决不等式的有关问题）；2对一种运算自然会涉及运算律，回忆过去研究过的运算律，向量的数量积应有怎样的运算律？下列运算律是否成立？ ； 【合作讨论】判断正误，并简要说明理由.（1）若 = ，则对任一向量，有× = 0 ( )（2）若 ¹ ，则对任一非零向量，有× ¹ 0 ( )（3）若 ¹ ，× = 0，则 = ( )（4）若× = 0，则 、至少有一个为零 ( )（5）若 ¹ ，× = ×，则 = ( )（6）若× = ×，则 = 当且仅当 ¹ 时成立 (

5、 )（7）对任意向量、，有(×)× ¹ ×(×) ( )（8）对任意向量，有2 = |2 ( )【精讲点拨】例1：我们知道，对任意的aR,bR，恒有（a+b）2=a2+2ab+b2,(a+b)(a-b)= a2- b2. 对于任意向量，是否也有下面类似的结论？（1）（+）2=2 +2+2；（2）（+）（-）=2 -2 例2：已知=6，=4，向量与夹角是600，求(1)（+2）.（-3）；(2) 例3: 已知=3，=4， 且与不共线，k为何值时，向量+k与-k互相垂直?【知识梳理】（1）实数的运算性质与向量的运算性质不完全一致，应用时不要似是非. （2）利用向量的数量积可以解决有关平行、垂直、夹角、距离等问题，它是一个工具性知识点，具有很强的功能作用. 【巩固拓展训练】1下列命题中正确的是（ ）A若，则或 B若，则C若，则a在b上的投影为 D若，则2已知两个大小相等的共点力，当它们的夹角为时，合力大小为20 N，则当它们的夹角为时，合力大小为（ ） A40 N B N C N D N3在等边ABC中，求与的夹角； 与的夹角；与的夹角； 与的夹角4、设= 12，= 9，· = -54，求与的夹角。5 、已知 ABC中，AB = ,AC = ,当