11集合及其表示

1、1.1集合及其表示（一）集合的有关概念：由一些数、一些点、一些图形、一些整式、一些物体、一些人组成的.我们说，每一组对象的全体形成一个集合，或者说，某些指定的对象集在一起就成为一个集合，也简称集.集合中的每个对象叫做这个集合的元素.定义：一般地，某些指定的对象集在一起就成为一个集合1、集合的概念（1）集合：某些指定的对象集在一起就形成一个集合（简称集）（2）元素：集合中每个对象叫做这个集合的元素（3）元素对于集合的隶属关系（4）集合中元素的特性确定性：按照明确的判断标准给定一个元素或者在这个集合里，或者不在，不能模棱两可在时称属于，即a是集合A的元素，就说a属于A，记作aA集合通常用大写的拉丁

2、字母表示，如A、B、C、P、Q元素通常用小写的拉丁字母表示，如a、b、c、p、q“”的开口方向，不能把aA颠倒过来写不在时称，不属于：如果a不是集合A的元素，就说a不属于A，记作互异性：集合中的元素没有重复无序性：集合中的元素没有一定的顺序（通常用正常的顺序写出） 2、集合的表示方法：（1）列举法：在大括号内将集合中的元素一个个列举出来，元素之间用逗号隔开，具体又分以下三种情况：元素个数少且有限时，全部列举；如1，2，3元素个数多且有限时，可以列举部分，中间用省略号表示，列举几个元素，取决于能否普遍看出其规律，称中间省略列举。如“所有从1到10000的自然数全体”可以表示为1，2，3，1000

3、0；三是当元素个数无限但有规律时，也可以用类似的省略号列举，如：自然数构成的集合，可以表示为0，1，2，3，4，称端省略列举。描述法它又可细分为文字描述及属性描述法两类：前者是在大括号内用文字写出集合的属性，由于括号本身含有了“所有”、“全部”的意义，故类似的量词要去掉，如：全体自然数构成的集合写成自然数而不写成全体自然数：特征描述法是集合中最广泛、最抽象的一种表示方法，其格式一般为元素的一般形式|元素的特征，如：(x,y)|y=x2,xR=抛物线y=x2上的点，而y|y=x2,xR表示函y=x2的y的取值范围；方程x2-1=0的解集为x|x2-1=0=-1,1,不是x2-1=0（它仅仅是用列

4、举法表示的一个集合，这个集合中只有一个元素，就是方程x2-1=0,不是它解的集合。（3）图示法一是一维数轴表示，如初中阶段所学的不等式解集表示方法，其原理是数轴的定义与数轴上的点与实数一一对应；二是直角坐标表示，如（x,y）|y=x2 ;三是Venn图，即画个圆圈表示集合（有的书上称文氏兔、文斯图）；（4）符号表示法分为简记符号法及区间表示法：常用数集及记法非负整数集（自然数集）：全体非负整数的集合记作N，正整数集：非负整数集内排除0的集记作N*或N+ 整数集：全体整数的集合记作Z , 有理数集：全体有理数的集合记作Q , 实数集：全体实数的集合记作R不含任何元素的集合称空集，符号为注：（1）

5、自然数集与非负整数集是相同的，也就是说，自然数集包括数0 （2）非负整数集内排除0的集记作N*或N+ Q、Z、R等其它数集内排除0的集，也是这样表示，例如，整数集内排除0的集，表示成Z*3，集合的分类： 按元素的个数分作4集合的有关概念：确定性，互异性，无序性5集合的表示其实，在符号表示法中还有一种方法区间表示法集合区间 读法 x|a<x<b (a,b)开区间a到b x|a<xb  半开半闭区间a到b x|axb a,b闭区间a到b x|x<a (-，a) 开区间负无穷到a x|ax<b  半开半闭区间a到bx|xb  半闭半开区间b

6、到正无穷 2，同一集合不同的表示方法是相同的，具体解题时，这些表示方法中，将难于看出元素是什么的转化为能够看出的，这样有：数学解题的关键也是这“四化”【当堂训练】1、下列各组对象能确定一个集合吗？（1）所有很大的实数（2）好心的人 （3）1，2，2，3，4，5 2、设a,b是非零实数，那么可能取的值组成集合的元素是 3、由实数x,x,x,所组成的集合，最多含（ ） （A）2个元素 （B）3个元素 （C）4个元素 （D）5个元素4、设集合G中的元素是所有形如ab（aZ, bZ）的数，求证： (1) 当xN时, xG; (2) 若xG，yG，则xyG，而不一定属于集合G5、已知集合A=a-2,2a

7、2+5a,10,且-3A,求a6、已知集合1,a,b=a,a2,ab,求实数a,b7、m,m+d,m+2d=m,mq,mq2,求q 8、已知集合A=x|(a2-1)x2+(a+1)x+1=0,xR中仅有一个元素，求实数a的值9、已知S是满足下列两个条件的实数构成的集合：1S;若aS，则S. 请回答下列问题若2S,求证S必有另外两个数；求证，若aS，则1-S； S中元素能否只有一个？说明理由；求证：S中至少有三个不同的元素【家庭作业】1、用列举法表示下列集合:(1)小于5的正奇数组成的集合;(2)能被3整除且大于4小于15的自然数组成的集合;(3)方程x2-9=0的解组成的集合;(4)15以内的

8、质数;(5)x|Z,xZ.2. 用列举法表示下列集合:(1)x2-4的一次因式组成的集合;(2)y|y=-x2-2x+3,xR,yN;(3)方程x2+6x+9=0的解集;(4)20以内的质数;(5)(x,y)|x2+y2=1,xZ,yZ;(6)大于0小于3的整数;(7)xR|x2+5x-14=0;(8)(x,y)|xN且1x<4,y-2x=0;(9)(x,y)|x+y=6,xN,yN.3. (1)集合中的元素是点,它是坐标平面内的点,集合元素代表符号用有序实数对(x,y)来表示,其特征是满足y=x2;(2)集合中元素是点,而数轴上的点可以用其坐标表示,其坐标是一个实数,集合元素代表符号用

9、x来表示,其特征是对应的实数绝对值大于6;(3)集合中的元素是实数,集合元素代表符号用x来表示,把不等式化为x<a的形式,则这些实数的特征是满足x<a.4. 用描述法表示下列集合:(1)方程2x+y=5的解集;(2)小于10的所有非负整数的集合;(3)方程ax+by=0(ab0)的解;(4)数轴上离开原点的距离大于3的点的集合;(5)平面直角坐标系中第、象限点的集合;(6)方程组的解的集合;(7)1,3,5,7,;(8)x轴上所有点的集合;(9)非负偶数;(10)能被3整除的整数.5. 下列集合表示法正确的是（）A.，B.全体实数C.有理数D.不等式的解集为6.用列举法表示下列集合

10、是的约数_;_;_;数字和为的两位数_; _;7.用列举法和描述法分别表示方程5的解集8.集合用列举法表示.9.用“”或者“”填空 10.用适当的方法表示下列集合：(1)大于0且不超过6的全体奇数组成的集合；(2)被3除余1的自然数全体组成的结合；(3)方程组的解集；(4)直角坐标系内第一象限的点组成的集合.11.元素与集合的关系用符号表示：属于集合_；不属于集合_.12.常用数集记法：字母表示_；用_表示正整数集；表示_；用_表示有理数集；表示_.13.空集是不含任何_的集合，记作_.14.集合常用的表示方法有 和 .【好题精选】1.列举法表示下列集合：(1)10以内的质数组成的集合.(2)

11、2.已知为所有大于且小于的实数组成的集合，则下列关系式正确的是（ ）A. B. C. D. 3.下列写法正确的是（ ）A.; B.; C.; D. .4.在平面直角坐标系中画出集合内的点所在的区域.5.用适当的方法表示下列集合：(1)关于的方程的解集;(2)两直线和的交点组成的集合.6.方程的解集含有_个元素.7.已知方程的解集是空集，则实数的取值范围是_.8.已知集合，且，求实数的值.9.已知集合含有三个元素，且，求实数的值.10.(1)已知方程的解集是，且，求实数的值；(2)已知方程的解集是，求实数的值.1.1集合及其表示参考答案【当堂训练】1（1）（不确定） （2）（不确定） （3）（有

12、重复）2. -2,0,23. A4. 证明(1)：在ab（aZ, bZ）中，令a=xN,b=0,则x= x0*= abG,即xG 证明(2)：xG，yG，x= ab（aZ, bZ）,y= cd（cZ, dZ）x+y=( ab)+( cd)=(a+c)+(b+d)aZ, bZ,cZ, dZ(a+c) Z, (b+d) Zx+y =(a+c)+(b+d) G， 又且不一定都是整数，不一定属于集合G5. 解：a-2=-3或2a2+5a=-3 故a=-1或a=-3/2当a=-1时，2a2+5a=a-2=-3与集合的互异性矛盾，舍去当a=-3/2时，满足条件 总之，a=-3/2说明由于解题过程中用到了不

13、等价变形，所以要进行检验6. 方法一 因a1故a=-1,b=0方法二由已知或 a1 a=-1,b=07. （答案：q=-1/2）8. 解：本题分两类进行当a2-1=0时,a=1或a=-1;当a=1时，A=x|2x+1=0=-1/2,满足条件；当a=-1时,A=，舍去。当a2-10时,a1且a-1，=0，a=5/3总之，a=5/3或19. 解2S=-1S=1/2S=2S,S中必有另外两个数-1，1/2证明：aS S=1-S假设S中元素只有一个，则=a,a2-a+1=0有实数解，与a2-a+1=0没有实数解矛盾，故S中的元不能只有一个由S中，至少有a, ,1-三个不同的元，只要证明三者两两不等。假

14、设1-=，有a2-a+1=0但它没有实数解，矛盾。同理，三者两两不等，从而S中至少有三个不同的元素【家庭作业】1.2.3. 解：(1)二次函数y=x2上的点(x,y)的坐标满足y=x2,则二次函数y=x2图象上的点组成的集合表示为(x,y)|y=x2;(2)数轴上离原点的距离大于6的点组成的集合等于绝对值大于6的实数组成的集合,则数轴上离原点的距离大于6的点组成的集合表示为xR|x|>6;(3)不等式x-7<3的解是x<10,则不等式x-7<3的解集表示为x|x<10.4. 答案：(1)、(x,y)|2x+y=5;(2)、x|0x<10,xZ;(3)、(x,y)|ax+by=0(ab0);(4)、x|x|>3;(5)、