74曲线和方程

1、7.4曲线和方程一、明确复习目标1.理解曲线和方程的概念;2.掌握求曲线方程的方法步骤.二建构知识网络1. “曲线的方程”、“方程的曲线”的定义：在直角坐标系中，如果某曲线C上的点与一个二元方程f(x,y)=0的实数解建立了如下关系：(1)曲线上的点的坐标都是这个方程的解；（纯粹性）(2)以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点（完备性）那么，这个方程叫做曲线的方程；这条曲线叫做方程的曲线2. 求曲线方程的一般步骤：（1）建立适当的坐标系，用有序实数对表示曲线上任意一点M的坐标；（2）写出适合条件P的点M的集合；（3）用坐标表示条件P（M），列出方程f(x,y)=0;（4）化方程f(x,y)=0

2、为最简形式；（5）证明以化简后的方程的解为坐标的点都是曲线上的点 上述五步法中,若中化简过程是同解变形过程；或最简方程的解集与原始方程的解集相同，则步骤可省略.一般地要检验一下所求得的方程表示的曲线 是否与原曲线一致.3求曲线方程常用方法:直接法, 定义法,参数法,相关点法,待定系数法;4.曲线交点：求两曲线的交点，就是解这两条曲线方程组成的方程组5曲线C1:f1(x，y)=0和曲线C2:f2(x，y)=0则(1)过C1与C2交点(若有)的曲线系方程为:f1(x，y)f2(x，y)=0(R)(不表示C2).(2)方程f1(x，y)f2(x，y)=0表示曲线C1和C2和并(集).6.由方程画曲线

3、(图形)的步骤：化简方程,讨论曲线性质(对称性,趋势等)；讨论曲线的范围；求截距,或用反解法求出x、y的取值范围;列表; 描点、连线7. 解析几何的本质(2004上海高考题):用代数的方法研究图形的几何性质,即: 根据已知条件求出表示平面曲线的方程；通过方程，研究平面曲线的性质. 这也是解析几何中的两个基本问题。三、双基题目练练手1.曲线C的方程是f(x,y)=0, 点P(x0,y0)不在曲线C上，则方程f(x,y)+f(x0,y0)=0表示的曲线与曲线C的关系是 ( )A.有一个交点 B.有无穷多个交点 C.无交点 D.上述三种情况都有可能2.方程表示的曲线形状是 ( )A.直线2x+3y-

4、5=0和直线x=4 B. 直线2x+3y-5=0和射线x=4C. 直线2x+3y-5=0(x>3)和直线x=4 D. 直线2x+3y-5=0和曲线3.(2006四川)已知两定点A(-2,0),B(1,0),如果动点P满足条件|PA|=2|PB|则点P的轨迹所包围的图形的面积等于 ( . )A. B.4 C.8 D.94(2005重庆)若动点（）在曲线上变化，则的最大值为（ ）A BC D25.过定点A(a,b)的两直线 l1与 l2互相垂直,设l1交x轴于点M,l2交y轴于点N,则线段MN的叫点P的轨迹方程是_6. 垂直于y轴的直线与y轴及抛物线y2=2(x1)分别交于点A和点P，点B在

5、y轴上且点A分的比为1:2，求线段PB中点的轨迹方程。简答:1-4.CCBA； 5.解:设P(x,y),则M(2x,0),N(0,2y),由AMAN得方程2ax+2by-a2-b2=0.6.解：点参数法 设A(0,t),B(0,3t),则P(t2/2 +1, t),设Q(x,y),则有,消去t得：y2=16(x)四、经典例题做一做【例1】画出方程log(1+y)x+log(1y)x=2 log(1+y)x × log(1y)x的曲线解：x>0, 1+y>0, 1y>0, 1+y¹1, 1y¹1Þ1<y<1,y¹0,

6、 x>0(1)当x=1时，1<y<1, y¹0;(2)当x>0,x¹1时 Þlogx(1y2)=2Þx2+y2=1 (x>0, x¹1) 结合(1) (2)画出图形特别提示：要注意对曲线方程中变量的范围进行讨论.【例2】已知O方程为x2+y2=4，定点A（4，0），求过点A且和O相切的动圆圆心的轨迹.分析：两圆外切，连心线长等于两圆半径之和，两圆内切，连心线长等于两圆半径之差，由此可得到动圆圆心在运动中所应满足的几何条件，然后将这个几何条件坐标化，即得到它的轨迹方程.解法一：设动圆圆心为P（x，y），因为动圆过定点

7、A，所以|PA|即动圆半径.当动圆P与O外切时，|PO|=|PA|+2；当动圆P与O内切时，|PO|=|PA|2.综合这两种情况，得|PO|PA|=2.将此关系式坐标化，得|=2.化简可得（x2）2=1.解法二：由解法一可得动点P满足几何关系|OP|PA|=2，即P点到两定点O、A的距离差的绝对值为定值2，所以P点轨迹是以O、A为焦点，2为实轴长的双曲线，中心在OA中点（2，0），实半轴长a=1，半焦距c=2，虚半轴长b=，所以轨迹方程为（x2）2=1.提炼方法: 法1是直接法,把动点满足的几何条件转化为坐标表示;法2是定义法,先定曲线类型(由曲线定义),再求有关参数.是一种常用方法.解直线和

8、二次曲线交点问题时，要注意相交必有“>0”的条件。 【例3】(2006陕西)如图,三定点A(2,1),B(0,1),C(2,1); 三动点D,E,M满足=t, = t , =t , t0,1 () 求动直线DE斜率的变化范围; ()求动点M的轨迹方程 -1O12xMDAECBy解法一: 如图， ()设D(xD，yD)，E(xE，yE)，M(x，y) 由=t， = t ， 知(xD2，yD1)=t(2，2) 同理 kDE = = = 12t t0，1 ， kDE1，1 () =t (x+2t2，y+2t1)=t(2t+2t2，2t1+2t1)=t(2，4t2)=(2t，4t22t) ， y

9、= ， 即x2=4y t0，1， x=2(12t)2，2 即所求轨迹方程为: x2=4y， x2，2解法二: ()同上 () 如图， =+ = + t = + t() = (1t) +t， = + = +t = +t() =(1t) +t， = += + t= +t()=(1t) + t = (1t2) + 2(1t)t+t2 设M点的坐标为(x，y)，由=(2，1)， =(0，1)， =(2，1)得 消去t得x2=4y， t0，1， x2，2 故所求轨迹方程为: x2=4y， x2，2 提炼方法：参数法求主程的关键是合理选择参数，本题以决定动点的实数t为参数是显而易见的；参数法求方程的主要任

10、务是消参，本题用代入消元法消去了两个参数x0,y0,在设点参数时，经常使用这种消元技巧【例4】(2005北京)如图，直线l1：与直线l2：之间的阴影区域（不含边界）记为W，其左半部分记为W1，右半部分记为W2.（）分别用不等式组表示W1和W2；（）若区域W中的动点P（x，y）到l1，l2的距离之积等于d2，求点P的轨迹C的方程；（）设不过原点O的直线l与（）中的曲线C相交于M1，M2两点，且与l1，l2分别交于M3，M4两点. 求证OM1M2的重心与OM3M4的重心重合.解：（I）（II）直线由题意得 （III）当直线l与x轴垂直时，可设直线l的方程为. 由于直线l，曲线C关于x轴对称，且l1

11、与l2关于x轴对称，于是M1M2，M3M4的中点坐标都为（a，0），所以OM1M2，OM3M4的重心坐标都为，即它们的重心重合.当直线l与x轴不垂直时，设直线l的方程为由由直线l与曲线C有两个不同交点，可知于是OM1M2的重心与OM3M4的重心也重合.【研讨.欣赏】已知常数a>0，向量，经过定点A（0，a）以为方向向量的直线与经过定点B（0，a）以为方向向量的直线相交于点P，其中（）求点P的轨迹C的方程；（）若过E（0，1）的直线l交曲线C于M、N两点，求的取值范围解：（）设P点的坐标为（x，y），则又由题知向量与向量又向量与向量两方程联立消去参数，得点P（x，y）的轨迹方程是 （），故

12、点P的轨迹方程为此时点E（0，1）为双曲线的焦点若直线l的斜率不存在，其方程为x=0，l与双曲线交于、， 此时 若直线l的斜率存在，设其方程为化简得 直线l与双曲线交于两点，设两交点为， 则此时当当综上所述，的取值范围是 提炼方法:1.交轨法也是求轨迹方程的一种重要方法,具体过程是:(1).建立动直线(或曲线)的方程;(2).消去动直线(或曲线)方程中的参数,得到交点(即动点)坐标x,y的方程即为所求.2.“设而不求”是解题(2)的一个亮点.在解直线与圆锥曲线交点、弦长、斜率等问题时，利用韦达定理、中点公式作整体代换处理，是简洁高效化难为易的好方法。3.以向量的形式给出题设,或用向量的方法求解

13、解析几何问题,是一个新的命题方向,应多留心关注.五提炼总结以为师1.求轨迹方程的一般步骤是：建系、设点、列式、化简、检验. 解题时应先对动点的形成过程进行分析，找出引起点“动”的因素，探求几何关系，或建立参数方程,再求出动点坐标x,y的方程2.如果题目中的条件有明显的等量关系，或者可以利用平面几何知识推出等量关系，求方程时可用直接法.3.如果能够确定动点的轨迹满足某种已知曲线的定义，则可用曲线定义写出方程，这时用定义法.4.如果轨迹动点P（x，y）依赖于某已知曲线上另一动点Q（a，b）变化，则可先列出关于x、y、a、b的方程组，利用x、y表示出a、b，把a、b代入已知曲线方程便得动点P的轨迹方

14、程.此法称为代入法（相关点法）.5.如果轨迹动点P（x，y）的坐标之间的关系不易找到，也没有相关点可用时，可先考虑将x、y用一个或几个参数来表示，消去参数得轨迹方程，此法称为参数法.参数法中常选变角、变斜率或点的坐标为参数. 要注意参数的取值范围对方程的影响6.处理涉及直线和二次曲线交点问题时，重视“设点不求”，用韦达定理进行整体运算的方法和策略同步练习 7.4曲线和方程【选择题】1.直线被抛物线截得线段中点到原点的距离是 ( )A. B. C. D.292.直角坐标系内,到到两坐标轴距离之差等于1的点的轨迹方程是 ( )A.|x|-|y|=1 B.|x-y|=1 C.|x|-|y|=1 D.

15、|x±y|=13设曲线C对应的方程为F(x,y)=0,命题甲为：点P的坐标适合方程F(x,y)=0； 命题乙为：点P在曲线C上；命题丙为：点Q的坐标不适合方程F(x,y)=0; 命丁为：点Q不在曲线C上.已知甲是乙的必要条件，但非充分条件，那么 （ ）A丙是丁的充分条件，但非丁的必要条件B丙是丁的必要条件，但非丁的充分条件C丙是丁的充要条件D丙非丁的充分条件，也非丁的必要条件【填空题】4.若动点P在y=2x2+1上移动,则点P与点Q(0,-1)连线中点的轨迹方程是_5. 已知ABC中，ÐA,ÐB,ÐC所对应的边为a,b,c,且a>c>b,a,

16、c,b成等差数列，|AB|=2,求顶点C的轨迹方程6.已知ABC中，B（1，0）、C（5，0），点A在x轴上方移动，且tanB+tanC=3，则 ABC的重心G的轨迹方程为_.简答.提示：1-3.ACA； 4.y= -2x2-35.解：|BC|+|CA|=4>2,由椭圆的定义可知，点C的轨迹是以A、B为焦点的椭圆，其长轴为4，焦距为2, 短轴长为2, 椭圆方程为, 又a>b, 点C在y轴左侧，必有x<0,而C点在x轴上时不能构成三角形，故x2, 因此点C的轨迹方程是：(2<x<0) 6.解：设A（x0，y0），tanB+tanC=3，=3，点A的轨迹方程为y0=（

17、x026x0+5）（x01且x05）.若G（x，y）为ABC的重心，则由重心坐标公式：x=，y=，x0=3x6，且y0=3y.代入A点轨迹方程得G的轨迹方程为y1=（x3）2（x且x）.答案：y1=（x3）2（x且x）【解答题】7. 已知抛物线C：y=x2+mx1,点A(3,0),B(0,3)，若抛物线C与线段AB有两个交点，求m的取值范围先分析如下解法：线段AB所在的直线方程是x+y=3,由方程组： (1) 消去y得： x2(m+1)x+4=0 (2) , 设f(x)= x2(m+1)x+4, 由于抛物线与线段AB有两个不同交点，故方程f(x)=0在区间0,3上有两个不同根， 3<m&

18、#163;10/3点评：解析几何中的轨迹方程，范围问题，都涉及等价性，即充要条件的概念8. AB是圆O的直径，且AB2a，M为圆上一动点，作MNAB，垂足为N，在OM上取点P，使OPMN，求点P的轨迹.解：以圆心O为原点，AB所在直线为x轴建立直角坐标系（如下图），则O的方程为x2y2a2，设点P坐标为（x，y），并设圆与y轴交于C、D两点，作PQAB于Q，则有.OPMN，OP2OM·PQ.x2+y2ay，即 x2（y±）2（）2.轨迹是分别以CO、OD为直径的两个圆.9. 设直线xy=4a与抛物线y2=4ax 交于两点A，B (a为定值)，C为抛物线上任意一点，求ABC的

19、重心的轨迹方程分析：，是定点，影响ABC的重心运动的因素是抛物线上的动点，故选点的坐标作参数解：设ABC的重心为G(x,y) ,点C的坐标为C(x0,y0),A(x1,y1), B(x2,y2) 由方程组：消去y并整理得：x212ax+16a2=0 x1+x2=12a, y1+y2=(x14a)+(x24a)=(x1+x2)8a=4a由于G(x,y)为ABC的重心, GCBAoyx, 又点C(x0,y0)在抛物线上，将点C的坐标代入抛物线的方程得：(3y4a)2=4a(3x12a), 即(y)2 = (x4a) 又点C与A，B不重合，x ¹ (6±)a10.（2004春安徽）已知k0，直线l1：y=kx，l2：y=kx.（1）证明：到l1、l2的距离的平方和为定值a（a0）的点的轨迹是圆或椭圆；（2）求到l1、l2的距离之和为定值c（c0）的点的轨迹.（1）证明：设点P（x，y）为动点，则+=a，整理得+=1.因此，当k=1时，动点的轨迹为圆；当k1时，动点的轨迹为椭圆.（2）解：设点P（x，y）为动点，则|ykx|+|y+kx|=c.当yk|x|时，ykx+y+kx=c，即y