选修21第二章右曲线求它的方程、由方程研究曲线的性质讲义

1、.案例二精析精练课堂 合作 探究重点难点打破知识点一 求曲线方程的步骤根据条件求曲线的方程的一般步骤可以简述为“建系、列式、变换、化简、证明这五步这五步构成一个有机的整体,每一步都有其特点和重要性。第一步,“建系在详细问题中有两种情况所研究的间题中已给定了坐标系.此时就在已给定的坐标系中求曲线的方程即可:原题中没有确定坐标系,此时必须首先选取适当的坐标系,通常总选取特殊位置的点为原点,互相垂直的直线为坐标轴等;第二步,是求方程的重要一环,应仔细分析曲线的特征,注数的动点P的轨迹方程意提醒隐含条件,抓住与曲线上任意点M有关的等量关系列出几何等式；第三步,在将几何条件转化为代数方程的过程中,常用到

2、一些根本公式,如两点间间隔 公式,点到直线的间隔 公式,直线的斜率公式等；第四步,在化简的过程中,注意运算的合理性与准确性,尽量防止“失解和“增解;第五步,是证明,从理论上讲是必要的,但在实际处理上常被省略掉,这在多数情况下是没有问题的,如遇特殊情况,可适当予以说明。知识点二 求动点的轨迹求动点的轨迹方程本质上是建立轨迹上的点的坐标间的关系,即动点坐标x,y所合适的等式fx,y=0,因此要分析形成轨迹的动点和条件的内在联络，选择最便于反映这种联络的形式,建立等式,一般方法有：1直接法:假如动点运动的条件就是一些几何量的等量关系,这些条件简单明确，,易于表达成含x,y的等式,就得到轨迹方程,这种

3、方法称为直接法，用直接法求动点轨迹的方程一般有:设点、列式代换、化简、证明这五个步骤,但最后的证明可以省略。2定义法:运用解析几何中常用定义例如圆锥曲线的定义,可以从曲线定义出发直接写出轨迹方程,或从曲线定义出发建立关系式,从而求出轨迹方程3代入法:动点所满足的条件不易表达或求出,但形成轨迹的动点Px,y都随另一动点Qx,y的运动而有规律地运当动,且动点Q的轨迹为给定或容易求得,那么可先将x,y表示成x,y的式子,再代入Q的轨迹方程,然后整理得P的轨迹方程,代入法也称相关点法。4参数法:求轨迹方程有时很难直接找出动点的横坐标、纵坐标之间的关系，那么可借助中间变量参数,使x,y之间建起联络,然后

4、再从所求式子中消去参数,得出动点的轨迹方程。5几何法:利用平面几何或解析几何的知识分析图形性质，发现动点运动规律和动点满足的条件，然后得出动点的轨迹方程。6交轨法:求两动曲线交点轨迹时，可由方程直接消去参数，例如求两动直线的交点轨迹方程时常用此法，也可以引入参数来建立这些动曲线的联络，然后消去参数得到轨迹方程。 不管是用哪一种方法求曲线的方程，其本质都是求曲线上任意一点的横纵坐标x、y所满足的关系式，这一点必需要明确。典型例题分析题型1直接法求曲线的方程【例1】求与两定点A,B满足|PA|2-|PB|2=k2k2是常数的动点P的轨迹方程。解析 此题条件中没有坐标系,因此首先要考虑建立适当的平高

5、直角坐样系,再通过设动点坐标,将几何条件量化，从而求出动点P的轨迹方程。答案 解法一：取两个定点A，B的连线为x轴,过AB的中点且与x轴垂直的直线为y轴,建立坐标系,如以下图所示.设A-a.0,Ba,0,Px,y,依题意得:x+a2+y2-x-a2+y2=k2,化简得x=这就是所求的P点的轨迹方程。解法二:取两个定点A,B的连线为x轴,过点A且与x轴垂直的直线为y轴，建立平面直角坐标系,设A0.0,Ba,0,Px,y,依题意得:x2+y2-x-a2+y2=k2,化简得x=即为所求P点的轨迹方程。规律总结 由曲线求它的方程的根本思想是从给出的轨迹几何条件,通过适中选取坐标系,把几何条件中的等量关

6、系坐标化，从而建立轨迹方程；选择坐标最为关键，假设坐标系建立适当,那么所求的曲线方程会很简单,否那么很烦琐，此题即是一例。【变式训练1】 点A-5,0、B5,0,曲线上任意一点M与A,B连结的线段MA,MB互相垂直,求曲线的方程。答案 曲线已在坐标系中，根据坐标法，把曲线上的点转化为坐标，设点M的坐标为Mx，y，根据方程的等式，数形结合如以下图,把点M合适条件P的曲线转化为用相等关系表示的点M的集合：P=M|MAMB=M|kMAkMB,=-1或=M|MO|=|AB|,用MA,MB或=M|MA|2=|MB|2=|AB|,且M与A、B不共线根据方程是含有未知的等式,把相等关系转化为用点M的坐标x、

7、y表示的方程: =-1；或10且x5,或y0；或x+52+y2+x-52+y2=100且x5,或y0；同解化简x2+y2=25x5. 其中对方程化简时,增加了x=5的解,须舍去. 【例2】点G是ABC的重心,A0,-1,B0,1,在轴上有一点M满足|=|,=R,求点C的轨迹方程. 解析 利用重心坐标公式与题中等量关系列出关于点Cx,y的等式即可. 答案 设点C的坐标为x,y,那么G,设Mx0,0,那么=-x0,-1,=x-x0,y=x0-,-,=0,2由=得x0-,-=0,2,所以x0=由|,得,即+1x-x02+y2将式代入式,得+y2=1.因为C点不与A、B重合,所以x0.所以点C的轨迹方

8、程为+y2=1x0. 规律总结 此类求轨迹方程,寻求等量关系为关键所在. 【变式训练2】在ABC中,顶点A1,1、B3,6,且ABC的面积等于3.求顶点C的轨迹方程.答案 设顶点C的坐标为x,y,作CHAB于H,如右图,那么动点C属于集合P=.因为kAB=,所以直线AB的方程是y-1=x-1,即5x-2y-3=0.所以|CH|=.因为|AB|=29,所以=3,化简,得|5x-2y=3|=6,即5x-2y-9=0或5x-2y+3=0,这就是所求顶点C的轨迹方程. 题型2 代入法求曲线的方程 【例3】点A3,0,点P在圆x2+y2=1的上半圆周上即y0,AOP的平分线交PA于Q,求点Q的轨迹方程.

9、 解析 此题求动点Qx,y的轨迹方程,即要建立关于x,y的方程,直接建立x,y的关系非常固难,但可以先寻找x,y与中间变量Px0,y0之间的关系,利用关于x0,y0点之间关系的方程,得到关于x,y之间的方程. 答案 设点Qx,y、Px0,y0y0,如以下图.由角平分线定理得=3, 点Q分所成的比=3,又点Px0,y0在圆x2+y2=1的上半圆周上,=2=1y0即4x-32+16y2=9y0,故点Q的轨迹方程为4x-32+16y2=9y0.规律总结 用代入法即相关点法求轨迹的关键是寻求关式:x=fx,y,y=gx,y,然后代入曲线,假设求对称曲线轴对称,中心对称方程本质上也是用代入法相关点法解题

10、. 【变式训练3】如以下图,从双曲线x2-y2=1上一点Q引直线x+y=2的垂线,垂足为N.求线段QN的中点P的轨迹方程.答案 设动点P的坐标为x,y,点Q的坐标为n,y,那么N点的坐标为2x-x1,2y-y1. N在直线x+y=2上，2x-x1+2y-y1=2.又PQ垂直于直线x+y=2,=1,即x-y+y1-x1=0.由联立解得: 又点Q在双曲线x2-y2=1上,x-y=1 代人,得动点P的轨迹方程是: 2x2-2y2-2x+2y-1=0. 题型3 参数法求曲线的方程 【例4】在边长为a的正方形ABCD中,AB、BC边上各有个动点Q、R,且|BQ|=|CR|,试求直线AR与DQ的交点P的轨

11、迹方程. 解析 建立直角坐标系后,注意到|BQ|=|CR|,即有|AQ=|BR|,而P为两直线AR与DQ的交点,因此应引进参数,用参数法求其轨迹方程. 答案 以A为原点,AB所在的直线为x轴,建立直角坐标系如右图所示,设Ba,0,Ca,a,D0,a,|AQ|=t,即Qt,0,Ra,t,直线DQ、AR的方程分别为=1 y= 由得t=,代人得=1,即x2+y2=ay.故所求的轨迹方程为x2+y2-ay=0x0.规律总结 用参数法求轨迹方程的步骤是:先引进参数,用此参数表示动点的横、纵坐标x，y,再消去参数,得到关于x,y的方程,即为所求的轨迹方程. 【变式训练4】 两点P-2,2、Q0,2以及一条

12、直线l:y=x,设长为的线段AB在直线l上挪动,求直线PA和QB的交点M的轨迹方程. 答案 线段AB在直线l:y=x上,且线段AB的长为. 设Mx,y,At,t,Bt+1,t+1t为参数,那么直线PA的方程为y-2=x+2t-2 直线QB的方程为y-2=xt-1, Mx,y是直线PA、QB的交点,x、y是由、组成的方程组的解,由、消去参数t,得x2-y2+2x-2y+8=0.当t=-2时,PA的方程为x=-2,QB的方程为3x-y+2=0,此时的交点为M-2,-4.当t=-1时,OB的方程为x=0,PA的方程为3x+y+4=0. 此时的交点为M0,-4. 经历证,点-2,-4和0,-4均满足方

13、程. 故点M的轨迹方程为x2-y2+2x-2y+8=0 题型4 确定曲线的形状 【例5】 1方程x+y-1=0表示什么曲线? 2方程2x2+y2-4x+2y+3=0表示什么曲线? 解析 第1问中两式的积为0,只要其中一个为0即可注意有意义. 第2问中式子需先配方、变形再判断所表示的曲线. 答案 1由方程x+y-1=0, 可得或即x+y-1=0x1或x=1.表示直线x=1和射线x+y-1=0x1.(2) 方程左边配方得2x-12+y+12=0,2x-120,y+120方程表示的图形是点A1,-1.规律总结 判断方程表示什么曲线,要对方程适当变形,变形过程一定要注意与原方程的等价性,否那么变形的方

14、程表示的曲线就不是原方程的曲线,另外,变形的方法还有配方法、因式分解法等. 【变式训练5】方程=表示什么曲线 A.两条线段 B两条直线 C.两条射线 D.一条射线和一条线段 解析 此类问题要充分考虑题目的条件,由1-|x|=1-y,1-y01-|x|0.有y=|x|,|x|1. 曲线表示两条线段,应选A. 答案 A 规律 方法 总结 1求曲线方程,要注意数形结合思想的运用,化简过程应注意转化的等价性.恰当地建立坐标系,一般地,坐标原点选在线段的端点或中点或直角顶点处. 2求曲线方程的常见方法: 直接法:建立适当的坐标系后,设动点坐标为x,y,根据几何条件寻求x、y之间的关系式; 代入法:利用所

15、求曲线上的动点与某一曲线上的动点的关系,把所求动点转换为动点.详细说,就是用所求动点的坐标x,y来表示动点的坐标,并代入动点满足的曲线的方程,由此即可求得所求动点坐标x,y之间的关系. 参数法:根据题中给定的轨迹条件,用一个参数来分别表示动点的坐标x和y,间接地把坐标x和y联络起来,得到用参数表示的方程,假如消去参数,就可以得到轨迹的普通方程3准确理解“方程的曲线和“曲线的方程这两个概念:定义中的两个对应条件是断定一个方程是否为指定曲线的方程,一条曲线是否为所给定方程的曲线的准那么,缺一不可.可以看到第一个条件表示fx,y=0是曲线C的方程的必要条件;而第二个条件表示fx,y=0是曲线C的方程

16、的充分条件因此,在证明fx,y=0为曲线C的方程时,必须证明两个条件同时成立. 4曲线的交点问题: 曲线C1:Fx,y=0,曲线C2:Gx,y=0, 方程组 I假设消去变量y得gx=0.一般地,方程组I的解的个数与方程的根的个数不等价.(5) 求出轨迹方程时,易无视对变量的限制条件.在化简变形的过程中假设出现了非等价变形,在最后应把遗漏的点补上,把多余的点删去. 由方程研究曲线类型时,应联想常见的曲线方程的类型 6由方程研究曲线的性质时,应注意以下几个方面:曲线的组成,曲线与坐标轴的交点,曲线的对称性,曲线的变化情况,画方程的曲线等.定时 稳固 检测根底训练1.方程x2-y2=0表示的图形是

17、A.两条相交直线 B.两条平行直线 C.两条重合直线 D.一个点 【答案】A点拔:方程x2-y2=0表示两条直线y=x和y=2.与点A-1,0和点B1,0连线的斜率之积为-1的动点P的轨迹方程是 A.x2+y2=1 B.x2+y2=1x1 C.x2+y2=1x0 D.y= 【答案】B点:设Px,y,那么由题意=-1x1.3.到两坐标轴间隔 之和等于1的点的轨迹方程是 A.x+y=1 B.x+y=1 C.|x|+|y|=1 D.|x+y|=1 【答案】C点拨:注意是间隔 4.到A2,-3和B4,-1的间隔 相等的点的轨迹方程是 . 【答案】x+y-1=0点拨:动点的轨迹是线段AB的垂直平分线.5.到F2,0和y轴的间隔 相等的点的轨迹方程是 . 【答案】y2=4x-1点拨:由题意=|x|.才能提升6.动点P在曲线y=2x2+1上运动,那么点P与定点0,-1连线的中点M的轨迹方程是 A.y=2x2 B.y=4x2C.y=6x2 D.y=8x2【答案】B点拨:设Mx,y,Pa,b,那么解得将其代入曲线y=2x2+1方程中得M轨迹方程为y=4x2.7.log2x,log2y,2成等差数列,那么在平面直角坐标系中,点Mx,y的轨迹为 A B C D 【答案】A点拨:由2log2