7第七章习题及答案

1、习题71.一工厂利用三种原料能生产五种产品，其有关数据如下表：每万件产品所用原料数（kg）产品现在原料数（kg）ABCDE原料甲乙丙111202112032122102421每万件产品利润（万元）820102021(1) 求最优生产计划.(2) 对目标函数系数c1、c4分别作灵敏度分析.(3) 对约束条件的常数项b1、b2分别作灵敏度分析.(4) 如果引进新产品F，已知生产F1万件要用原材料甲、乙、丙分别为1、2、1公斤，问F的利润多少时才有利于投产？如果每万件F可得到利润12万元，问F是否有利于投产？(5) 如果新增加煤耗不允许超过10吨的限制，而生产每万件A、B、C、D、E产品分别需要煤3

2、、2、1、2、1吨，问原最优方案是否需要改变？如果改变，应如何改变？解：设用分别表示计划生产产品A、B、C、D、E的单位数量（万件）模型为： 标准形： (1) 基对应的初始单纯形表. 8 20 10 20 21 0 0 001 2 1 0 1 1 0 0101 0 1 3 2 0 1 0241 2 2 2 2 0 0 121换基迭代 -2 0 0 20 11 -10 0 0-1001/2 1 1/2 0 1/2 1/2 0 051 0 1 3 2 0 1 0240 0 1 2 1 -1 0 111继续 -3 -2 -11 0 0 -1 0 -10-2201 2 1 0 1 1 0 0101/2

3、 -1 -1 0 0 1 1 -3/25/2-1/2 -1 0 1 0 -1 0 1/21/2所以,即D生产1/2万件，E生产10万件，获得最大利润220万元.(2) 对c1作灵敏度分析记则（由最优基对应）任以为最优基 -3 -2 -11 0 0 -1 0 -10-2201 2 1 0 1 1 0 0101/2 -1 -1 0 0 1 1 -3/25/2-1/2 -1 0 1 0 -1 0 1/21/2若要原最优解不变，应满足条件：，则的价值系数时，最优解最优值不变.对c4作同样的灵敏度分析任以为最优基 -3 -2 -11 0 0 -1 0 -10-220-1 2 1 0 1 1 0 0101

4、/2 -1 -1 0 0 1 1 -3/25/2-1/2 -1 0 1 0 -1 0 1/21/2若要原最优解不变，应 ，所以 ，最优值变为.(3) 对b1作灵敏度分析设最优基，则新的基解所以令得到，即时，最优基不变。对b4作灵敏度分析可以得到，即时，最优基不变。(4) 设生产新产品F万件，每单位的利润为万元 原最优解是该问题的一个可行解。任取为基，= 所以时，B不是最优基，可取非0值，从而安排生产F有利。检验数为： -3 -2 -11 0 0 -1 0 -10 1-2201 2 1 0 1 1 0 0 1101/2 -1 -1 0 0 1 1 -3/2 3/25/2-1/2 -1 0 1 0

5、 -1 0 1/2 -1/21/2变为 0 0 -9 0 0 1 1 0 0 0 -1 1 1 0 0 0即每万件F可得利润12万元时，应生产D为万件，E为万件，F为万件。(5) 新增约束条件标准形 将（1）添入原最优基对应的单纯形表 -3 -2 -11 0 0 -1 0 -10 0 -2201 2 1 0 1 1 0 0 0101/2 -1 -1 0 0 1 1 -3/2 05/2-1/2 -1 0 1 0 -1 0 1/2 01/23 2 1 2 1 0 0 0 110为对偶可行基对偶单纯形法 -33 -22 -11 0 0 -11 0 0 -10 -2101 2 1 0 1 1 0 0

6、010-4 -4 -1 0 0 -1/2 1 0 -3/2 41 0 0 1 0 -1/2 0 0 1/20-3 -2 0 0 0 -1 0 1 -11所以最优解，即改变为只生产E为10万件。3.求解下列线性规划问题的对偶问题：（2） （3） 解(1) 对偶问题： (2) 对偶问题：3.判断下列说法是否正确，为什么？（1） 如果线性规划的原问题存在可行解，则其对偶问题也一定存在可行解.（2） 如果线性规划的对偶问题无可行解，则其原问题也一定无可行解.（3） 如果线性规划的原问题和对偶问题都具有可行解，则其原问题和对偶问题一定具有有限最优解.（4） 已知线性规划问题，若x是它的一个基解，y是其对

7、偶问题的基解，则恒有.解：1. ×。如原问题是无界解，则对偶问题无可行解。P167 Th3。2. ×。（1）的逆否命题。3. 。P167 Thm44. ×。原问题 对偶问题 若为可行解 则有 但若为基解，则不一定6.已知线性规划问题（1） 写出它的对偶问题；（2） 应用对偶理论证明原问题和对偶问题都存在最优解.解：对偶问题 （1） 原问题显然有可行解对偶问题可行解则由Thm4（P167）得原问题和对偶问题都有最优解8.某文具用品厂用原材料白坯纸生产原稿纸、日记本和练习本三种产品。该厂现有工人100人，每月白坯纸供应量为3万公斤。已知工人的劳动生产率为：每人每月可生

8、产原稿纸30捆，或生产日记本30打，或练习本30箱。已知原材料消耗为：每捆原稿纸用白坯纸公斤，每打日记本用白坯纸公斤，每箱练习本用白坯纸公斤。又知每生产一捆原稿纸可获利润2元，生产一打日记本获利3元，生产一箱练习本获利1元，试确定：（1） 现有生产条件下获利最大的方案；（2） 如白坯纸的供应数量不变，当工人数不足时可招收临时工，临时工工资支出为每人每月40元，则该工厂要不要招收临时工，招收多少临时工合适？解：设每月生产原稿纸捆，日记本打，练习本箱标准形 以为基的初始单纯形表02 3 1 0 03000300001 1 1 1 0 0 1变为-9000-1 0 -2 -3 03000-100001 1 1 1 0-10 0 1对偶单纯形法-80000 0