2010第二学期概率论与数理统计期末考试试卷A卷答案

1、一（本题满分8分） 在正方形中任取一点，求使得方程有两个实根的概率 解： 设“方程有两个实根”，所求概率为 设所取的两个数分别为与，则有， 因此该试验的样本空间与二维平面点集中的点一一对应2分 随机事件与二维平面点集，即与点集2分中的点一一对应 所以， 4分二（本题满分8分） 从以往的资料分析得知，在出口罐头导致索赔的事件中，有是质量问题；有是数量短缺问题；有是产品包装问题又知在质量问题的争议中，经过协商解决的占；在数量短缺问题的争议中，经过协商解决的占；在产品包装问题的争议中，经过协商解决的占如果在发生的索赔事件中，经过协商解决了，问这一事件不属于质量问题的概率是多少？ 解： 设“事件属于质

2、量问题”，“事件属于数量短缺问题”， “事件属于产品包装问题” “事件经过协商解决”所求概率为2分 由Bayes公式，得 2分 2分所以，2分三（本题满分8分） 设随机事件满足：证明：对任意随机事件，有 解： 因为，所以，2分 所以，对任意的随机事件，由，以及概率的单调性及非负性，有 ，因此有2分 所以，对任意的随机事件，由，以及与的互不相容性，得 4分四（本题满分8分） 设随机变量的密度函数为 ，并且已知，试求方差 解： 由及，得 ，2分 2分由此得线性方程组 解此线性方程组，得2分 所以， 所以，2分五（本题满分8分） 经验表明，预定餐厅座位而不来就餐的顾客比例为某餐厅有个座位，但预定给了

3、位顾客，问到时顾客来到该餐厅而没有座位的概率是多少？ 解： 设表示52位预订了座位的顾客中来就餐的顾客数，则1分 则所求概率为2分 2分 3分六（本题满分10分） 将一颗均匀的骰子独立地掷次，令表示这次出现的点数之和，求（5分）与（5分） 解： 设表示第次出现的点数， 则相互独立，而且 而的分布列为 ，2分所以， ， 2分所以，由数学期望的性质，得 2分 ， 2分所以，由的相互独立性，及数学期望的性质，得 2分七（本题满分10分） 设随机变量，求随机变量的密度函数 解： 由题意，随机变量的密度函数为，1分 设随机变量的分布函数为，则有 ，2分 所以，当时，；1分 当时， 2分 因此有 ，2分

4、所以，随机变量的密度函数为 2分八（本题满分10分） 设二维随机变量的联合密度函数为 ，求与的相关系数 解： ， ，2分 ， ，2分 ，所以有 ，2分 ， ，2分因此，有 2分九（本题满分10分） 一生产线生产的产品成箱包装，假设每箱平均重，标准差为若用最大载重量为的汽车来承运，试用中心极限定理计算每辆车最多装多少箱，才能保证汽车不超载的概率大于（设，其中是标准正态分布的分布函数） 解： 若记表示第箱的重量，则独立同分布，且， 2分再设表示一辆汽车最多可装箱货物时的重量，则有 由题意，得 4分查正态分布表，得 ，2分当时，；时，故取，即每辆汽车最多装箱货物2分十（本题满分8分） 设总体，是取自该总体中的一个样本令，试确定常数，使得随机变量服从分布 解： 因为，而且相互独立，所以，2分因此，2分而且与相互独立因此由分布的定义，知，2分即取，则有2分十一（本题满分12分） 设总体的密度函数为 ，其中为参数，是从总体中抽取的一个简单随机样本 求参数的矩估计量（6分）； 求参数的最大似然估计量（6分） 证明：1 ，3分因此，得方程 ，解方程，得 ， 将替换成，得