算符对易关系_第三章

1、.1 3.7 3.7 算符对易关系、两力学量同时可测的条件、算符对易关系、两力学量同时可测的条件、测不准关系测不准关系1 1算符的对易关系算符的对易关系设设 和和 为两个算符为两个算符FG若若 ，FGGF则称则称 与与 对易对易GF若若 ，FGGF则称则称 与与 不对易不对易GF引入对易子：引入对易子：FGGFGF,若若 ，0,GF 则则 与与 对易对易GF若若 ，0,GF 则则 与与 不对易不对易GF.2,0,0,0 x yy zz x,0,0,0 xyyzzxpppppp , 0 xx,1, 2, 3 ,0pp 123,xx xy xz1,2,3()xyzpppppp,1, 2, 3 3.

2、7 3.7 算符对易关系两力学量同时可测的条件算符对易关系两力学量同时可测的条件 测不准关系测不准关系（续） ,0,0,0,yzxyxzxyzx px px piy piy py pz pz pz pi,( ,1, 2, 3)xpi （1 1）力学量算符的基本对易关系）力学量算符的基本对易关系.3证明对易关系式证明对易关系式 xxUipxUx)(),(ExProveProve设设 为任一可微函数为任一可微函数, ,f x y z ,xxxxxU xPfUPPUfUP fPUf ,xUU x Pix Uffi UixxUUi fifxx特别地，当特别地，当 代入上对易式，即证得代入上对易式，即证

3、得 U xx,xx Pi同理可证：同理可证：,yy Pi,zz Pi3.7 3.7 算符对易关系两力学量同时可测的条件算符对易关系两力学量同时可测的条件 测不准关系（续）测不准关系（续）fUfi Ui fi Uxxx.4 ,0AA , ,A BBA ,CABACBA,CBCACBA,CABCBACBA,CBABCACBA , , , , , , 0AB CBC ACA Bprove:（2 2）对易恒等式）对易恒等式雅可比恒等式雅可比恒等式双线性双线性 BACBACABCBCA,CABCBA ,A BC ABCBCA3.7 3.7 算符对易关系两力学量同时可测的条件算符对易关系两力学量同时可测的

4、条件 测不准关系测不准关系（续）.5,LLiL LLi L,xyzyzxzxyLLi LLLi LLLi L（3 3）角动量算符的对易关系）角动量算符的对易关系110is an odd permutation of xyzis an even permutation of xyzotherwise222,0,0,0 xyzLLLLLL2,0LL,xyz3.7 3.7 算符对易关系两力学量同时可测的条件算符对易关系两力学量同时可测的条件 测不准关系测不准关系（续）.6,yyzyxLpzpyLL, , ,zyyzyyyyy p Ly L pz p Lz L p, ,zxzxzyy p zpxpz

5、zpxp p, ,zzxzxyzyp xpzy p zpypz xpp pz, , ,zzxxzyzyp pzy p z pyzp px zxp pxyi ypi xpzLiProve:Prove: ,0yy L,0yypL等于零等于零()yxixpyp 等于零等于零3.7 3.7 算符对易关系两力学量同时可测的条件算符对易关系两力学量同时可测的条件 测不准关系测不准关系（续）.7定 理定 理prove:prove:2 2力学量同时有确定值的条件（对易的物理意义）力学量同时有确定值的条件（对易的物理意义）3.7 3.7 算符对易关系两力学量同时可测的条件算符对易关系两力学量同时可测的条件 测不

6、准关系测不准关系（续6）设设 是是 和和 的共同本征函数完全系，则的共同本征函数完全系，则 nFG,nnnnnnFG 0nnnnnnFG GF 设设 是任一状态波函数，是任一状态波函数，1n nna0nnnFG GFa FG GF,0FG GFF G 若算符若算符 和和 具有共同的本征函数完全具有共同的本征函数完全系，则系，则 和和 必对易。必对易。FGGF.8逆 定 理逆 定 理prove:prove:设设 是是 的本征函数完全系，则的本征函数完全系，则 nF若算符若算符 与与 对易，则对易，则FGFGGFnnnF （1 1）nnnnFGGFG（2 2） 为简单起见，先考虑非简并情况。由（为

7、简单起见，先考虑非简并情况。由（1 1）、（）、（2 2）式知，式知， 和和 都是都是 属于本征值属于本征值 的本征函数，它的本征函数，它们最多相差一个常数因子们最多相差一个常数因子 ，即，即nnGFnnnnnG 可见，可见， 也是也是 的本征方程的解。因此，的本征方程的解。因此， 是是 的本征函数完全系的本征函数完全系nG nG若算符若算符 与与 对易，则它们具有共同的本对易，则它们具有共同的本征函数完全系征函数完全系FG3.7 3.7 算符对易关系两力学量同时可测的条件算符对易关系两力学量同时可测的条件 测不准关系测不准关系（续7）.9 若两个力学量算符彼此不对易，则一般说来这两若两个力学

8、量算符彼此不对易，则一般说来这两个算符表示的两个力学量不能同时具有确定性，或者个算符表示的两个力学量不能同时具有确定性，或者说不能同时测定。说不能同时测定。 两个算符有共同本征函数系的充要条件是这两个两个算符有共同本征函数系的充要条件是这两个算符彼此对易；在两个力学量算符的共同本征函数算符彼此对易；在两个力学量算符的共同本征函数所描写的状态中，这两个算符所表示的力学量同时所描写的状态中，这两个算符所表示的力学量同时有确定值。或者说有确定值。或者说两个力学量算符所表示的力学量两个力学量算符所表示的力学量同时有确定值的条件是这两个力学量算符相互对易。同时有确定值的条件是这两个力学量算符相互对易。注

9、注3.7 3.7 算符对易关系两力学量同时可测的条件算符对易关系两力学量同时可测的条件 测不准关系测不准关系（续8） 为简单起见，以上定理和逆定理的证明是在非简为简单起见，以上定理和逆定理的证明是在非简并情况下证明的；在简并的情况下，结论仍成立（这并情况下证明的；在简并的情况下，结论仍成立（这里就不再证明了里就不再证明了）.10Ex.2Ex.2 角动量算符角动量算符 和和 对易，即对易，即 因此它们有共同的本征函数完备系因此它们有共同的本征函数完备系 。0,2LLz( , ) l mY zL2L22(1)zLl lLm，3.7 3.7 算符对易关系两力学量同时可测的条件算符对易关系两力学量同时

10、可测的条件 测不准关系测不准关系（续9）( )pr同时有确定值。同时有确定值。,xyzppp在在 描述的状态中，描述的状态中，在在 描述的状态中，描述的状态中，,lmY 和和 可同时有确定值可同时有确定值: :2LzLEx.1Ex.1动量算符动量算符 彼此对易，它们有共同的彼此对易，它们有共同的本征函数完备系本征函数完备系 ,xyzp p prpiper23)2()(.11Ex.5Ex.5 彼此不对易，故彼此不对易，故 一般不一般不可能同时有确定值。可能同时有确定值。zyxLLL,zyxLLL, Ex.4 坐标算符与动量算符不对易坐标算符与动量算符不对易 ，故故 一般不可同时具有确定值。一般不

11、可同时具有确定值。 iPxx,xPx,3.7 3.7 算符对易关系两力学量同时可测的条件算符对易关系两力学量同时可测的条件 测不准关系测不准关系（续10）42222,(1),2snzeELl lLmn Ex.3 氢原子的算符氢原子的算符 彼此对易：彼此对易：2zHL L、 、0,2LH0,zLH0,2zLL它们有共同的本征函数完备系它们有共同的本征函数完备系 ( , , ) nlmr 故故 可可同时有确定值同时有确定值: :zLLH,2在在 状态中，状态中，, ,nlmr .12（1 1）定义：为完全确定状态所需要的一组两两对易的）定义：为完全确定状态所需要的一组两两对易的力学量算符的最小（数

12、目）集合称为力学量完全集。力学量算符的最小（数目）集合称为力学量完全集。三维空间中自由粒子，完全确三维空间中自由粒子，完全确定其状态需要三个两两对易的定其状态需要三个两两对易的力学量：力学量：.,zyxpppEx.2Ex.2氢原子，完全确定其状态也需氢原子，完全确定其状态也需要三个两两对易的力学量：要三个两两对易的力学量：.,2zLLH一维谐振子，只需要一个力学一维谐振子，只需要一个力学量就可完全确定其状态：量就可完全确定其状态：H（2 2）力学量完全集中力学量的数目一般与体系自由度）力学量完全集中力学量的数目一般与体系自由度数相同。数相同。（3 3）由力学量完全集所确定的本征函数系，构成该体

13、）由力学量完全集所确定的本征函数系，构成该体系态空间的一组完备的本征函数，即体系的任何状态系态空间的一组完备的本征函数，即体系的任何状态均可用它展开。均可用它展开。3.3.力学量完全集合力学量完全集合Ex.3Ex.3Ex.1Ex.13.7 3.7 算符对易关系两力学量同时可测的条件算符对易关系两力学量同时可测的条件 测不准关系测不准关系（续11）.134 4测不准关系测不准关系3.7 3.7 算符对易关系两力学量同时可测的条件算符对易关系两力学量同时可测的条件 测不准关系测不准关系（续2 ） 测不准关系的严格推导测不准关系的严格推导 坐标和动量的测不准关系坐标和动量的测不准关系 角动量的测不准

14、关系角动量的测不准关系引 言引 言由前面讨论表明，两对易力学量算符则同由前面讨论表明，两对易力学量算符则同时有确定值；不对易两力学量算符，一般时有确定值；不对易两力学量算符，一般来说，不存在共同本征函数，不同时具有来说，不存在共同本征函数，不同时具有确定值。确定值。问 题问 题两个不对易算符所对应的力学量在某一状两个不对易算符所对应的力学量在某一状态中究竟不确定到什么程度？即不确定度态中究竟不确定到什么程度？即不确定度是多少？是多少？不确定度：不确定度：测量值测量值 F Fn n 与平均值与平均值 的偏差的的偏差的大小。大小。.14GGGFFF,)()(FFGGGGFFFGGF() ()FG

15、FG FG FGGF GF GF GFk iFGGF 设设 和和 的对易关系为的对易关系为GFk iGF,k iFGGF考虑积分：考虑积分：2( )()IFi Gd dGiFGiF)()(*dFGGFidFF)()()()()(*2dGG)()(*（再利用力学量算符的厄米性）（再利用力学量算符的厄米性） 测不准关系的严格推导测不准关系的严格推导 .150)()(222GkF由代数中二次定理知，这个不等式成立的条件由代数中二次定理知，这个不等式成立的条件是系数必须满足下列关系：是系数必须满足下列关系： 4)()(222kGF（称为测不准关系）（称为测不准关系） 如果如果 不等于零，则不等于零，则

16、 和和 的均方偏差不会同时为的均方偏差不会同时为零，它们的乘积要大于一正数，这意味着零，它们的乘积要大于一正数，这意味着 和和 不能不能同时测定。同时测定。kFGFG222*()()FdiF GG FdGd 3.7 3.7 算符对易关系两力学量同时可测的条件算符对易关系两力学量同时可测的条件 测不准关系测不准关系（续3）.16 由测不准关系由测不准关系 看出：若两个力学量看出：若两个力学量算符算符 和和 不对易，则一般说来不对易，则一般说来 与与 不能同不能同时为零，即时为零，即 和和 不能同时测定（但注意不能同时测定（但注意 的特殊态可能是例外），或者说它们不能有共同本征的特殊态可能是例外）

17、，或者说它们不能有共同本征态。反之，若两个厄米算符态。反之，若两个厄米算符 和和 对易，则可以找对易，则可以找出这样的态，使出这样的态，使 和和 同时满足，即可同时满足，即可以找出它们的共同本征态。以找出它们的共同本征态。 222() ()4FGkFGFG , 0F G FG0F0GFGxx pi 4)()(222xpx故有故有 坐标和动量的测不准关系坐标和动量的测不准关系 22)2xxp （或写成或写成.172xpx简记为简记为 表明：表明： 和和 不能同时为零，坐标不能同时为零，坐标 的均方差越的均方差越小，则与它共轭的动量小，则与它共轭的动量 的均方偏差越大，亦就是说，的均方偏差越大，亦

18、就是说，坐标愈测量准，动量就愈测不准。坐标愈测量准，动量就愈测不准。xxpxPx3.7 3.7 算符对易关系两力学量同时可测的条件算符对易关系两力学量同时可测的条件 测不准关系测不准关系（续4） 角动量的测不准关系角动量的测不准关系22224)zyxzyxLLLLiLL （，2222241)()44xyLLmm （当粒子处在当粒子处在 的本征态时的本征态时zL.18测不准关系的应用测不准关系的应用 Ex. 1 利用测不准关系估算线性谐振子的零点能利用测不准关系估算线性谐振子的零点能0ESolve：谐振子的能量谐振子的能量 21nEn222( )()xnnnxN eHx222212xpH平均能量

19、：平均能量： 2222121xpHEdxxPxPnn)()(*dxxdxdxinn)()(*3.7 3.7 算符对易关系两力学量同时可测的条件算符对易关系两力学量同时可测的条件 测不准关系测不准关系（续5）dxxxdxdixxinnnn)()()()(*.190)(2dxxxxn222222222()()()() ()4PPPPxxxxPx2224Px22222221112228EHpxxx0P ( )nnpx dxP3.7 3.7 算符对易关系两力学量同时可测的条件算符对易关系两力学量同时可测的条件 测不准关系测不准关系（续16)可以由对称性直接得出.20222221280ExxdEdxmi

20、n012EE 故所谓零点能即为测不准关系要求的最小能量，故所谓零点能即为测不准关系要求的最小能量，零点能在旧量子理论是没有的。零点能在旧量子理论是没有的。22x（零点能）（零点能）3.7 3.7 算符对易关系两力学量同时可测的条件算符对易关系两力学量同时可测的条件 测不准关系（续测不准关系（续17 17）.21Prove:22224)xzyxzyLLLLiLL （，则测不准关系：则测不准关系：222224040)xxyLLL （平均值的平方平均值的平方为非负数为非负数欲保证不等式成立，必有：欲保证不等式成立，必有：0 xL同 理同 理0 yL由于在由于在 本征态本征态 中，测量力学量中，测量力

21、学量 有确定值，有确定值，所以所以 均方偏差必为零均方偏差必为零zLlmYzLzLEx.2 利用测不准关系证明，在利用测不准关系证明，在 本征态本征态 下，下，zLlmY0 xL0 yL.22此式表明力学量此式表明力学量平均值平均值随时间变化有两方面的原因随时间变化有两方面的原因: :体系所处的状态体系所处的状态 随时间而变化随时间而变化力学量算符力学量算符 是时间的显函数，使是时间的显函数，使 随时间变化随时间变化FF),( tx*( , ),( , )Fx t F x tx t dx*dFFF dxdxFdxdtttt（1 1）3.8 力学量随时间的变化力学量随时间的变化 守恒律守恒律1

22、1、力学量平均值随时间的变化、力学量平均值随时间的变化Hit1*)(1Hit由薛定谔方程有由薛定谔方程有 代入（代入（1 1），则有），则有.23 *11dFFdFH dHFddttii因因 是厄米算符是厄米算符 H3.8 3.8 力学量随时间的变化力学量随时间的变化 守恒律（续守恒律（续）*1 ()dFFdxFH HFdxdtti利用对易子记号利用对易子记号 ,HFFHHF)(1FHHFitFdtFd（2）,1HFitFdtFd则则 HFdHF d.24结论结论: :力学量力学量 的平均值的平均值 不随时间而变化不随时间而变化, ,则称则称 为运动积分，或为运动积分，或 在运动中守恒。在运动

23、中守恒。FFFF2 2、运动积分、运动积分力学量守恒的条件力学量守恒的条件若力学量算符若力学量算符 不显含时间不显含时间t,t,且与哈密顿算符且与哈密顿算符 对易对易FH0dFdt则有则有F 常量常量0,FHHFHF即即 ，0tF3.8 3.8 力学量随时间的变化力学量随时间的变化 守恒律（续守恒律（续2 2）Ex1.Ex1. 自由粒子的动量自由粒子的动量 0PtPi 不显含时间不显含时间.25又又221PmTH21 , , 02P HPPm0dPdt故故 守恒守恒P3.8 3.8 力学量随时间的变化力学量随时间的变化 守恒律（续守恒律（续3 3）哈米顿算符可表示为哈米顿算符可表示为： 在球坐

24、标系中算符在球坐标系中算符 等只是等只是 的函的函数，与时间（数，与时间（r,tr,t）无关，对时间偏微商为无关，对时间偏微商为0 0。 2,LLLLzyx( ,)Ex2. Ex2. 粒子在辏力场中运动的角动量粒子在辏力场中运动的角动量自由粒子的动量是运动积分自由粒子的动量是运动积分动量守恒动量守恒.26222221( )22HrLU rmrrrmr 角动量各分量算符及角动量平方算符均与哈密角动量各分量算符及角动量平方算符均与哈密顿算符对易顿算符对易角动量各分量算符及角动量平方算符均为守恒量。角动量各分量算符及角动量平方算符均为守恒量。 角动量守恒定律！角动量守恒定律！3.8 3.8 力学量随

25、时间的变化力学量随时间的变化 守恒律（续守恒律（续4 4）Ex3. Ex3. 哈密顿算符不显含时间的体系的能量哈密顿算符不显含时间的体系的能量0tH当当 不显含不显含t t时，时，H0,HH 又又0dHdt即：能量守恒定律！即：能量守恒定律！.27),(),(trtrI 空间反演算符也称为宇称算符空间反演算符也称为宇称算符),(),(),(),(2trItrtrItrII3 3、哈密顿算符对空间反演时的不变宇称、哈密顿算符对空间反演时的不变宇称空间反演：空间反演：( , )r t(, )r t空间反演算符空间反演算符I21I 反演算符反演算符 的本征值的本征值I本征值本征值1I 3.8 3.8

26、 力学量随时间的变化力学量随时间的变化 守恒律（续守恒律（续5 5）rr.28 具有偶宇称或奇宇称的波函数称为具有确定的宇具有偶宇称或奇宇称的波函数称为具有确定的宇称。宇称是运动空间对称性的描述。称。宇称是运动空间对称性的描述。宇称守恒律：宇称守恒律：若体系的哈密顿算符具有空间反演不变性若体系的哈密顿算符具有空间反演不变性( , )(, )( , )IH r tHr tH r t即即则则 为运动积分，即为运动积分，即宇称守恒宇称守恒I3.8 3.8 力学量随时间的变化力学量随时间的变化 守恒律（续守恒律（续6 6）( ) ( , )() (, )( )( , )IH rr tHrr tH r

27、Ir tProveProve：( , )( , )Ir tr t( , )( , )Ir tr t ( (偶宇称偶宇称) )( (奇宇称奇宇称) )11I.29 故故 0,1HIitIdtId 宇称守恒表示体系的哈密顿算符和宇称算符具有共宇称守恒表示体系的哈密顿算符和宇称算符具有共同本征函数同本征函数, , 因而体系能量本征函数可以有确定的宇因而体系能量本征函数可以有确定的宇称，而且不随时间变化。称，而且不随时间变化。量子力学中一个不可观测量的对称性（不变性）导致量子力学中一个不可观测量的对称性（不变性）导致一个可观测量的守恒律。一个可观测量的守恒律。 3.8 3.8 力学量随时间的变化力学量

28、随时间的变化 守恒律（续守恒律（续7 7）因此因此, ,为运动积分，亦即宇称守恒为运动积分，亦即宇称守恒IIHHI0,HI0It又又 不显含不显含t t，I.30一、力学量与算符一、力学量与算符 1 1厄米算符的定义厄米算符的定义 2 2力学量与厄米算符的关系力学量与厄米算符的关系 力学量用厄米算符表示，表示力学量的厄米力学量用厄米算符表示，表示力学量的厄米算符有组成完全系的本征函数系（假设）算符有组成完全系的本征函数系（假设） 3 3厄米算符的性质厄米算符的性质 厄米算符的本征值是实数，属于不同本征厄米算符的本征值是实数，属于不同本征值的本征函数正交值的本征函数正交 4 4力学量算符的构成（

29、对应原则）（假设）力学量算符的构成（对应原则）（假设） 5 5力学量的平均值力学量的平均值 注注 2 2和和4 4合起来作为一个假设合起来作为一个假设 第三章第三章 复复 习习.31二、力学量的测量值与力学量算符关系：二、力学量的测量值与力学量算符关系： 假设力学量算符的本征值是力学量的可测量假设力学量算符的本征值是力学量的可测量值。将体系的状态波函数用算符值。将体系的状态波函数用算符 的本征函数系的本征函数系 展开展开则在则在 态中测量力学量态中测量力学量 得到结果为得到结果为 的几率的几率是是 ，得到结果在，得到结果在 范围内的几率是范围内的几率是n2nCd2C dFFnnnndcc三、力学量算符之间的关系三、力学量算符之间的关系 1 1不同力学量同时可测定的条件不同力学量同时可测定的条件力学量力学量算符彼此对易。一体系的所有可彼此对易的力学算符彼此对易。一体系的所有可彼此对易的力学量算符构成一个完全集。量算符构成一个完全集