随机过程第六章

1、.1第六章：平稳随机过程第六章：平稳随机过程v严平稳过程的定义严平稳过程的定义v宽平稳过程的定义宽平稳过程的定义v平稳过程的数字特征平稳过程的数字特征v平稳过程自相关函数的性质平稳过程自相关函数的性质v时间平均和集合平均的概念时间平均和集合平均的概念v平稳过程遍历性定义平稳过程遍历性定义v遍历性判定定理遍历性判定定理v遍历性应用举例遍历性应用举例.2严平稳过程的定义严平稳过程的定义设设X(t),tT是随机过程，如果对任意常数是随机过程，如果对任意常数和正整数和正整数n n， t1,t2, ,tnT，t1+,t2+, ,tn+ T，(X(t1),X(t2), ,X(tn)与与(X(t1+),X(

2、t2+), ,X(tn+)有相有相同的联合分布，则称同的联合分布，则称X(t),tT为严平稳过程或侠义平为严平稳过程或侠义平稳过程。稳过程。严平稳过程的统计特征是由有限维分布函数决定的，在实际应用中难以确定。严平稳过程的统计特征是由有限维分布函数决定的，在实际应用中难以确定。.3宽平稳过程的定义宽平稳过程的定义设设X(t),tT是随机过程，如果是随机过程，如果1、X(t),tT是二阶矩过程；是二阶矩过程；2、对任意、对任意tT，mX(t)=EX(t)=常数；常数；3、对任意、对任意s,t T，RX(s,t)=EX(s)X(t)=RX(s-t) 。则称则称X(t),tT为广义平稳过程，简称为宽平

3、稳为广义平稳过程，简称为宽平稳过程过程.4对于严平稳随机过程对于严平稳随机过程X(t)（以实过程为例）的一维分布（以实过程为例）的一维分布F1(X1,t1)=F1(X1,t1+ )，若令，若令=-t1，则，则F1(X1,t1)=F1(X1,0)=F1(X1)因此严平稳随机过程的一维分布函数与时间无关，其在任何时刻的统计规因此严平稳随机过程的一维分布函数与时间无关，其在任何时刻的统计规律相等。律相等。1( )( )XXmtxfx dxm222( )( )XxX tE Xtm若随机过程若随机过程X(t)为严平稳，则其均值、均方值和方差均为常数。为严平稳，则其均值、均方值和方差均为常数。.5对于严平

4、稳随机过程对于严平稳随机过程X(t)的二维分布的二维分布F2(X1,X2;t1,t2)=F2(X1,X2;t1+ ,t2+ )，若令若令=-t1，则，则F2(X1,X2;t1,t2)=F2(X1,X2;0,t2-t1)，令，令t2-t1= ，则，则F2(X1,X2;t1,t2)=F2(X1,X2; )();,(),;,()(),(),(21212212121221XXRdxdxxxfxxdxdxttxxfxxtXtXEttR严平稳过程严平稳过程+二阶矩过程二阶矩过程=宽平稳；反之不成立宽平稳；反之不成立。.6例题例题1：设设Y是随机变量，试分别考虑是随机变量，试分别考虑X(t)=Y和和X(t)

5、=tY的平稳性。的平稳性。例题例题2：设设Xn，n=0, 1, 2, 是实的互不相关随机变量序列，且是实的互不相关随机变量序列，且EXn=0,DXn=2。试讨论随机序列的平稳性。试讨论随机序列的平稳性。例题例题3：设设Xn，n= 1, 2, 是相互独立且都服从是相互独立且都服从N(0,1)的随机变量序列，的随机变量序列，Yn，n= 1, 2, 是相互独立且都服从是相互独立且都服从 上的均匀分布的随机上的均匀分布的随机变量序列，且变量序列，且Xn 与与Yn 相互独立，相互独立， n= 1, 2, 。令。令(3, 3)nnnnnXZY，若 为奇数，若 为偶数证明证明Zn，n= 1, 2, 是宽平稳

6、过程，但不是严平稳过程。是宽平稳过程，但不是严平稳过程。.7联合平稳过程联合平稳过程)()(tYtXE设设X(t),tT和和Y(t),tT是两个平稳过程，若它们的互相关函数是两个平稳过程，若它们的互相关函数 和和 仅与仅与有关，而与有关，而与t t无关，则称无关，则称X(t)X(t)和和Y(t)Y(t)是联合平稳随机过程。是联合平稳随机过程。 )()(tXtYE当两个平稳过程当两个平稳过程X(t)，Y(t)是联合平稳时，则它们的和也是平稳过程。是联合平稳时，则它们的和也是平稳过程。.84、RX()是非负定的，即对任意实数是非负定的，即对任意实数t1,t2, ,tn及复数及复数a1,a2, ,a

7、n，有，有平稳过程自相关函数的性质平稳过程自相关函数的性质0)0(XR)()(XXRR)0(| )(|XXRRnjijijiXaattR1,0),(XXXmmR)(lim|设设x(t),tT为平稳过程，则其相关函数具有下列性质：为平稳过程，则其相关函数具有下列性质：5、若、若X(t)是周期为是周期为T的周期函数，即的周期函数，即X(t)=X(t+T)，则，则RX()=RX( +T)；6、若、若X(t)是不含周期分量的非周期过程，当是不含周期分量的非周期过程，当| |时，时，X(t)与与X(t+ ) 相互独立，则相互独立，则1、2、3、.9联合平稳过程自相关函数的性质联合平稳过程自相关函数的性质

8、2) ()( ), ( ), ( ),()( ),XYYXXYYXRRX t Y tRR当为实联合平稳过程时 有 注意无对偶性.221) ( )(0)(0),( )(0)(0);XYXYYXXYRRRRRR.10收敛性概念收敛性概念对于概率空间对于概率空间(,F,P)上的随机序列上的随机序列Xn每个试验结果每个试验结果e都对应一序列，如果都对应一序列，如果该序列对每个该序列对每个e都收敛，则称随机序列都收敛，则称随机序列Xn处处收敛，即满足处处收敛，即满足XXnnlim称二阶矩随机序列称二阶矩随机序列Xn(e)以概率以概率1收敛于二阶矩随机变量收敛于二阶矩随机变量X(e)，即，即1)()(li

9、m:eXeXePnn或称或称Xn(e)几乎处处收敛于几乎处处收敛于X(e)，及作，及作XXean.称二阶矩随机序列称二阶矩随机序列Xn(e)依概率收敛于二阶矩随机变量依概率收敛于二阶矩随机变量X(e)，若对于任给，若对于任给0，有，有lim|( ) |0nnPXeXe 记作记作XXPn.11设有二阶矩随机序列设有二阶矩随机序列Xn和二阶矩随机变量和二阶矩随机变量X，若有，若有0|lim2XXEnn成立，则称成立，则称Xn均方收敛于均方收敛于X，记作，记作.n m snnXX XXl.i.m 称二阶矩随机序列称二阶矩随机序列Xn依分布收敛于二阶矩随机变量依分布收敛于二阶矩随机变量X，若，若Xn相

10、应的分相应的分布函数列布函数列Fn(x)，在，在X的分布函数的分布函数F(x)的每一个连续点处，有的每一个连续点处，有)()(limxFxFnn记作记作XXdna.em.sPd不收敛不收敛26.2 :lim0nnmn,mXXE XX定理二阶矩随机序列收敛于二阶矩随机变量 的充要条件为.12定理定理6.3设设Xn,Yn,Zn都是二阶矩随机序列，都是二阶矩随机序列，U为二阶矩随机变量，为二阶矩随机变量，Cn为常数序为常数序列，列，a,b,c为常数，令为常数，令l.i.mXn=X，l.i.mYn=Y，l.i.mZn=Z， 有有 ccnnlim1. .limnnnl i mccc、2. .l i m

11、UU、3. ()nlim c UcU、4. . ()nnl i m aXbYaXbY、5 lim . .nnnE XE XE l i mX、,6 lim( .)( .)nmnmn mE X YE XYE limXlimY、.13定理定理6.4设设Xn为二阶矩随机序列，则为二阶矩随机序列，则Xn均方收敛的充要条件为下列极限存在：均方收敛的充要条件为下列极限存在：lim,mnmnXXE定义定义6.6设有二阶矩过程设有二阶矩过程X(t),tT，若对每一个，若对每一个tT，有，有0|)()(|lim20tXhtXEh则称则称X(t)在在t点均方连续，记作点均方连续，记作若若T中一切点都均方连续，则称中

12、一切点都均方连续，则称Xt在在T上均方连续。上均方连续。)()(. .0tXhtXmilh定理定理6.5二阶矩过程二阶矩过程X(t)，tT在在t点均方连续的充要条件为相关函数点均方连续的充要条件为相关函数RX(t1,t2)在在点点(t,t)处连续。处连续。.14均方导数均方导数定义定义6.7设设X(t),tT为二阶矩过程，若存在另一个随机过程为二阶矩过程，若存在另一个随机过程X(t)，满足，满足0|)()()(|lim20tXhtXhtXEh则称则称X(t)在在t点均方可微，记作点均方可微，记作htXhtXmi ldttdXtXh)()(. .)()(0.15二阶矩过程的相关函数二阶矩过程的相

13、关函数RX(t1,t2)的广义二阶导数记作的广义二阶导数记作122121212121212(,)(,)(, )( ,)= lim( , )XXXXhXhRttttRththRthtRt thh hRt th h 定理定理6.6二阶矩过程二阶矩过程X(t),tT在在t点均方可微的充要条件微相关函数点均方可微的充要条件微相关函数RX(t1,t2)在点在点(t,t)的广义二阶导数存在。的广义二阶导数存在。推论：数学期望运算与求导运算可以交换顺序。推论：数学期望运算与求导运算可以交换顺序。.16均方积分均方积分定义定义6.8设设X(t),tT为二阶矩过程，为二阶矩过程，f(t)为普通函数，其中为普通函

14、数，其中T=a,b，设，设T的任一的任一划分为划分为 a=t0t1tn=b，记，记 做和式做和式如果当如果当n n0时，时，Sn均方收敛于均方收敛于S，即，即0|lim20SSEnn则称则称f(t)X(t)在区间在区间a,b上均方可积，记作上均方可积，记作badttXtfS)()(11max(iini ntt 111( )( )(), nniiiiiiiiSf t X tttttt.定理定理6.7f(t)X(t)在区间在区间a,b上均方可积的充要条件为上均方可积的充要条件为 babaXdtdtttRtftf212121),()()(存在。二阶矩过程存在。二阶矩过程X(t)在区间在区间a,b上均

15、方可积的充要条件为上均方可积的充要条件为RX(t1,t2)在在a,ba,b上可积。上可积。.18定理定理6.8设设f(t)X(t)在区间在区间a,b上均方可积，则有上均方可积，则有 1( )( )( ) ( )bbaaEf t X t dtf t E X t dt、babadttXEdttXE)()(1112221212122( )( )()()( )()( ,)bbbbXaaaaEf tX t dtf tX tdtf tf tRt tdt dt 、 babaXbadtdtttRdttXE21212),(|)(|定理定理6.9设设X(t),tT为二阶矩过程在区间为二阶矩过程在区间a,b上均方连

16、续，则上均方连续，则在均方意义下存在，且随机过程在均方意义下存在，且随机过程Y(t), tT在区间在区间a,b上均方可微，且有上均方可微，且有Y(t)=X(t)。( )( )taY tXd.19( )( ) ( )( )( ).( )( )( ).tabaX tX tX tX aX t dtX bX aX t dt推论：设均方可微，且均方连续，则及 ( ),( ),( , )XX t tTX t tTBs t例6.7：设是实均方可微过程，求其导数过程的协方差函数.20时间平均和集合平均概念时间平均和集合平均概念)(tXEmX1( )lim( )2TTTX tX t dtT集合平均集合平均mX是

17、随机过程的均值，即任意时刻的过程取值的统计平均。是随机过程的均值，即任意时刻的过程取值的统计平均。时间平均时间平均是随机过程的样本函数按不同时刻取平均，它随样本不同而不同，是随机过程的样本函数按不同时刻取平均，它随样本不同而不同，是个随机变量。是个随机变量。对于一个确定的样本对于一个确定的样本1( )lim( )2TTTX tX t dtT常数时间平均时间平均集合平均集合平均.21定义定义6.10设设X(t),-t是均方连续的平稳过程，若是均方连续的平稳过程，若以概率以概率1成立，则称该平稳过程的均值具有各态历经性。若成立，则称该平稳过程的均值具有各态历经性。若以概率以概率1成立，则称该平稳过

18、程的相关函数具有各态历经性。成立，则称该平稳过程的相关函数具有各态历经性。1( )( )2TXTTXtlimXtd tmT 1( )()( )()( )2TXTTXtXtlimXtXtdtRT 定义定义6.11如果均方连续的平稳过程如果均方连续的平稳过程X(t),tT的均值和相关函数都具有各态历的均值和相关函数都具有各态历经性，则称该平稳过程为具有各态历经性或遍历性。经性，则称该平稳过程为具有各态历经性或遍历性。.22定理定理6.10设设X(t),-t是均方连续的平稳过程，则它的均值具有各态历经性的是均方连续的平稳过程，则它的均值具有各态历经性的充要条件为充要条件为0|)()2|1 (21.222TTXXTdmRTTmil例题例题6.9：随机过程随机过程X(t)=acos(wt+),a,w为常数，为常数，为为(0,2(0,2) )上均匀分布的随机上均匀分布的随机变量，试分析变量，试分析X(t)X(t)遍历性遍历性。 1,0XXX tPX tmEX tmDX tX t 思路的均值具有各态历经性的定义为： 后面只要计算的均值与:方差就可以了.23 20XXXXXXlim Rlim Blim BX tli