42答案专题四数列2

1、专题四数列 （ 2）知识提要1. 若数列 %的通项公式弓满足。 -an-i = f （），贝U 4=2. 若数列久2的通项公式勿满足了=g （），则勿=U3. 自己归纳 求数列的通项公式、前 K项和的基本方法4. 自己归纳由递推关系可转化为等差数列或等比数列的问题的处理方法5. 单利问题和复利问题基础训练1.若关于X的方程X2-x + a = 0Ax 2-x + b = O （ ,aAb）的四个根可组成首项为|的等 差数列，则 a+5=（）2. 现有 200 根相同的钢管，把它们堆成正三角形垛，要使剩余的钢管尽可能少，那么剩余钢管的根数为（）A. 9 B. 10 C. 19 D. 293. 一

2、套共 7 册的书计划每2 年出一册，若名册书的出版年份之和为13979, 则出齐这套书的年份是A. 1997 B. 1999C. 2001D. 20034. Aan=-n2+10n+ll,则数列。帛从首项至U第 项的和最大5. 已知数列 a0 对任意的 p,q 顷 V* 满足 ap+q=ap+aq 且（12=6,那么 a10=.6. 数列 1,2, 2, 3, 3, 3, 4, 4, 4, 4, 5,的第 100 项是.7. 数歹的通项公式是 an=l-2nA 前 n 项和为 Sn,则数列学的前项和为 .8. 等比数列弱前n项的积为若a3a6a18是一个确定的常数，那么 数列Tio, T13,

3、 T17, T25中也是常数的项是三 .典型例题例1.已知数列 aj的通项公式an = 4 -25,求数列打的前项和7；。an = 4n - 25 > 0, n1 < n < 6, % v 0 Tn = 一(角 +a2 + . + an) = (49 一 4) 2n>7A0 Tn = 一(% +a2 + . + a6)+ (?7 + + an)=2n2 - 23 = 132,o 123 n例 2.求和：S,= + / + / + . + 万解：Q)a = l 时，Sn =1 + 2 + . + n =3c 11 ? 1a2 a31 2_1_1_1_1_a2 a3 j_

4、J_2 13a aS 一 D aIs = a")s"=L+- a Jnann-1 nan an+1Jn,+i'a a1 an+1a(a" 1) nci 1)a” (a)2(a = 1)(a o 1)n(n +1)2综上所述，11_a(ana” (a 1 屮例3.已知数列0对中，外=1,当nN2时，其前n项和，满足S,2=a,s n-| k 2(1) 求S”的表达式；(2) 设bn =,求bn的前n项和Tn?2 + 1 S,% Sn- a n =Sn - Sn_lf (w>2)S, (Snf)R ?2SzS n=Sz-Sn Si xsq式两边同除以SZ

5、 XSn,得=2、数列，！，是首项为=土=1,公差为2的等差数列 S J & a.=1+ 2(n-D =2n-l, S n =八S”n 2n-l(2) b ="2n + l (In- 1)(2 +1)V 22n In +1 ?Tn二山+6+九1=21 一丄、A 3丿( 1)U 5)(1 1 12/1 12/z +1 丿1n2( 2n + l J 2 + l例4.已知数列%J、如满足：ai=2,bi=l,3 1 z an =八77-1 + 八77-1 + L(nN2).z 1 3 z |bn =八/i-l +An-I +1令Cn=an+bn,求数列C的通项公式；(2)求数列 %

6、J 的通项公式及前 n 项和公式 s”.解：当n22时4=%+ 如(3 1 )/1 3 )=U%T+N""T+1 +=%_1 + bn_i + 2C=J+Z CnCn-l= 2 ( 心 2)数列q为等差数列，首项 =角+4 = 3,公差 "=2Cn=3+(n-Dx2 = 2n + l(2)当n > 2时31an =八an-l + 彳如一 1 + 1<13bn = 一。" + 一 如+ 1 n 4 n I 4 n I1an-bn =-a n_x-bn_0 (n>2)?数列K -bn为等比数列，i 首项为a - b = 1,公比q =Q +

7、 力 =2 + 1vL1(n-i 2an = (2n + l)+I J( 1 ) 1a = n + + (Sn i + + 2 +?.+n + 2j2)2)(11 1 >+ + +? +u 22n )1 1土一)n(l + )n 2、2",=+ + § 2 2 1 122 1n= + 1例5.某国采用养老储备金制度.公民在就业的第一年就交纳养老储备金，数目为 ai,以后每年交纳的数目均比上一年增加d (d>0),因此，历年所交纳的储备金数目31, 32,是一个公差为d的等差数列.与此同时，国家给予优惠的计息政策，不仅采用固定利率，而且计算复利.这就是说，如果固定

8、年利率为r(r>0),那么，在第n年末，第一年所交纳的储备金就变为ai(l+r)z,第二年所交纳的储备金就变为a2(l+r) ” 2, 以Tn表示到第n年末所累计的储备金总额(1) 写岀Tn与TnT(nN2)的递推关系式; 求证：Tn=An+Bn,其中 A, 2是一个等比数列， B, 2是一个等差数列(1)解我们有 T,=T, -i(l+r)+a,(n>2). 证明L=ai,对nN2反复使用上述关系式，得T,=T, i(l+r)+a,=Tn-2 (l+r)2+an-i(l+r)+an+a n-i (l+r)+an.=ai (l+r)n-1 +a2(l+r)n-2+在式两端同乘 1+

9、r,得(l+r)Tn=ai(l+r)n+a2 (1+r) n-1+?+a-i (1+r) +a n(l+r).-,得rTn=ai(l+r) n+d (l+r) n-1+(l+r)n"2 +?+(l+r)卜an=(l+r)n-l-r +ai(l+r) n-an,即 L='T(l+r)r2-In- 色孝.r r如果记 A/Q(l+r)',B -心-n, r2r2 r则 T,=A,+B,其中A是以"(l+r)为首项，以1+r(r>0)为公比的等比数列；BJ是以-也拦-4为首项，旦r2r为公差的等差数列.四.课后练习2"5°1.已知数列电满

10、足 +1 =二+ 2"+1 , "1 =2,求数列前的通项公式2* V勾+ i Ian+lJ Ja, a.an22242门+10/3 0/ 2an an-l11111 1以上（n-1）个式子相加得7 H H + . H -22 22=T1-22an =T-12. 已知数列 R的前 n 项和 Sn=an2+bn+c （n N*）,且 SI=3, S2=7, S313,(1) 求数列 aj的通项公式;求数列的前n项和L.anan+l Ja + b + c = 3,a = 1,解(1)由已知有V 4a + 2b + c = 7,解得< b = l,9a + 3b + c =

11、 13, c = l,所以 Sn=n2+n+l.当nN2时，an=Sn-Sn-i=n2+n+1 - E (n-l) 2+(n-l) +1 =2n,所以an :3, n = 1,2n, n> 2.令 b,= ,_则 b1= = an ' an+lala2 12当 nN2 时, bn 二2 ? 2( +1)所以b2+?14n-18( +8( + 1)E (nEN*).24( +nan+i=(n+2)S n (ngn*).1)3. 已知数列 aj的前n项和为Sn, 01=1,(1) 求证：数列.斗，为等比数列；(2) 求数列 a。的通项公式及前n项和&；(3) 若数列 bj满足

12、：饥=上，、=心A(作人)，求数列抵的通项公式2 n + 1n(1 )证明 将 an+l=SJ-Sn 代入已知 g+l 二(fl+2) Sn ；整理得&L=2X戋(nGN*). n + 1 n乂由已知斗=1,所以数列是首项为1,公比为2的等比数列q解 由的结论可得工=2辰,.? Sn=n? 2巳n当n2时，an=Sn-Sn-i=n ? 2人'(nI) ? 2n-2 =2n-2 (n+1).由已知，ai=l,又当 n=l 时，2"(n+l)=l,? an 二(n+1) 2" (n UN*).解由堕=如+$ “(nGN*),得知_ =3l+2"T, n

13、+1 n n+1 n由此式可得/ =妃+2二n n-1-如-2 +2。-3n-1 n-2'冬二如+22T2 1把以上各等式相加得，虹=2n-2+2n-3+23-2 +22-2 +bi. nAbn=- (2-1) (nUN*).24. 已知Sn是数列 aj的前n项和，且 an=Sn-1+2 (n2), ai=2.(1) 求数列 an 的通项公式；(2) 设房二一,Tn=bn+l+bn+2+?+b 2n,是否存在最大的正整数k,使得对于任意10g2 an的正整数n,有Tn>A恒成立？若存在，求岀 k的值；若不存在，说明理山.12解(1)由已知an=Sn-l+2得an+i-Sn+2-，

14、得 an+l_an-Sn -Sn-l (fl 2 ),? ? an+i2an (nN2).又 ai=2, a2=a 】+2=4=2ai,? an+i 2an (n 1,2, 3, ?,)所以数列an是一个以2为首项，2为公比的等比数列，.-©=2 - 2"1=21(2) bn 二=二一,10g2 an log2 2n T_, , L _ 1 1 1.? Tn bn+l+bn+2+ ?'?+b2n + +?+-,n + 1 n + 2 2nTn+l 二 bn+2+bn+3+ * * ' +b?(n+1)n + 2 +3 2n 2 + l 2n + 212n +

15、 l 2n + 22( + 1) + (2 + 1)-2(2 + 1)2(2-+1)( ” + 1)-2n + 1477(_l)n? (a/3n+21)=- bn.3 3又 2 a-18,所以 bi 二-(九+18) 乂 0. 由上式知 b,#0,所以也±_ =-2 (nGN*).如3故当*18时,数列 b f是以-("8)为首项，号为公比的等比数列bn 二一(九 +18) ?(3) 解 当 2X8 时，由(2)得:3于是 Sn- ( A+18)n,都有 Sn>12.当2 =-18时，bn=0,从而Sn=0,上式成立.要使对任意正整数3即一巳(4+18 ) - 15(

16、7 V争 FI <1)-1-，则当n为正奇数时，lVf(n)W ;当n为正偶数时，-Af(n)<l, 9所以f(n)的最大值为千二33于是可得九 <20 x - 18二-6.综上所述，存在实数/，使得对任意正整数 n都有Sn>-12, 4的取值范围 为(-8, -6).2(2 +1)( + 1)?n 是正整数,.? Tn+i-Tn>0,即 T,+ i>T,.数列(T, 是一个单调递增数列，又 T,=b2=-, .?.Tr,NL=L, 2 2要使 L> 恒成立，则有 -> ，即 k<6,12 2 12乂 k 是正整数，故存在最大正整数 k=5 使 T,> 恒成立5. 已知数列 M和 6 满足：ai=i, a n+i=|an+n-4, b n= (-1) (a n-3n+21), 其中人为实数， n 为正整数 .(1)