三角函数及解三角形练习题

1、三角函数及解三角形练习题一.解答题(共16小题)1 .在ABC, 3sinA+4cosB=6, 4sinB+3cosA=1,求 C的大小.2 .已知 3sin 0tan 佑8,且 0V 9< 九.(I )求 cos 0；(H)求函数f (x) =6cosxcos (x- 0)在0,三上的值域.423 .已知L是函数f (x) =2cosx+asin2x+1的一个布点.3(I )求实数a的值；(H)求f (x)的单调递增区间.4,已知函数 f (x) =-sin (2x+) +sin2x. 24(1)求函数f (x)的最小正周期；(2)若函数g (x)对任意xC R,有g (x) =f (

2、x+),求函数g (x)在-三 66£上的值域.5 .已知函数f (x) =2sin coxcos ctx+cos2 cox (>0)的最小正周期为 九.(1)求的值;(2)求f (x)的单调递增区间.6 .已知函数f (x) =V5sin (x+小)(>0, -y< K-)的图象关于直线x=2对称，且图象上相邻两个最高点的距离为九.(I)求和小的值；(U)若f (乌)=ZI (工< a<空-),求cos ( o+")的值. 246327 .已知向量 a= (cosx, sinx ), b= (3,一加)，x 0 ,句.(1)若d/b,求x的值

3、;(2)记f (x) =a "b,求f (x)的最大值和最小值以及对应的 x的值.8 .已知函数f(K)=x+Q ) (M>0, |中|<。)的部分图象如图所示.(1)求函数f (x)的解析式；(2)在ABC, A A, B, C的对边分别是 a, b, c,若(2a-c) cosB=bcosG9 .函数f (x) =2sin (x+小)(>0, 0< K)的部分图象如图所示，M为 2最高点，该图象与y轴交于点F (0,在)，与x轴交于点B, C,且MBC勺面积 为冗.(I )求函数f (x)的解析式；(H)若f ( a-)必匹，求COS2 a的化4510 .

4、已知函数 f(x)=sin2x+sing：:-2x) '-1(I)求f (x)的最大值及相应的x值；(H)设函数 式区)二£弓外,如图，点P, M N分别是函数y=g (x)图象的零 值点、最高点和最低点，求cos/MPN勺值.TTTTTT11 .设函数 f (x) =sin ( wx -)+sin ( wx -),其中 0< <3,已知 f ()626=0.(I )求；(H)将函数y=f (x)的图象上各点的横坐标伸长为原来的 2倍(纵坐标不变)，再将得到的图象向左平移 三个单位，得到函数y=g (x)的图象，求g(x)在- 4工，匹上的最小值.4412 .在

5、ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知2(tanA+tanB)乩也世遗. cosB cosA(I )证明：a+b=2c；(H )求cosC的最小值.13 .如图，A、B、C D为平面四边形ABCD勺四个内角.(I )证明：tan&J ,i.A ；2 sinA(H)若 A+C=180, AB=6 BC=3 CD=4 AD=5 求 tan &+tanE+tan&+tanR的值.2222A弘'b14 .已知函数 f (x) =sin2x V5cos2x.2(I )求f (x)的最小周期和最小值；(H)将函数f (x)的图象上每一点的横坐标伸长到原来的两倍，

6、纵坐标不变，得到函数g (x)的图象.当x 子，兀时，求g (x)的值域.15 .已知函数 f (x) =sin (-x) sinx V5cos2x.2(I)求f (x)的最小正周期和最大值；(II )讨论f (x)在匹，"上的单调性.6316.已知函数 f (x) =sin (3x+).4(1)求f (x)的单调递增区问；(2)若 a是第二象限角，f () COS ( a+) COS2 a,求 COSa sin a的值.35417 . 设 f (x) =2-/ssin (九一x) sinx (sinx cosx) 2.(I )求f (x)的单调递增区问；(H)把y=f (x)的图象

7、上所有点的横坐标伸长到原来的 2倍(纵坐标不变)，再把得到的图象向左平移个单位，得到函数y=g (x)的图象，求g ()的3618 .已知函数 f (x) =sin (x - ) +cos (x 工)，g (x) =2sin %. 632(I )若a是第一象限角，且f ( a)=",求g ( a)的值；5(H)求使f (x)g (x)成立的x的取值集合.19 .已知向量=(mi, cos2x), b= (sin2x , n),函数 f (x) =a?b,且 y=f (x) 的图象过点(V3)和点(等，-2).(I )求nn, n的值；(H)将y=f (x)的图象向左平移(|)(0&l

8、t;()<兀)个单位后得到函数y=g (x)的 图象，若y=g(x)图象上的最高点到点(0, 3)的距离的最小值为1,求y=g (x) 的单调递增区间.三角函数及解三角形练习题参考答案与试题解析一.解答题(共16小题)1. (2017?遂宁模拟)在 ABC中，3sinA+4cosB=6, 4sinB+3cosA=1,求 C 的大 小.【分析】对已知式平方，化简，求出sin (A+B 4,确定A+B的值，利用三角 占1形的内角和求出C的大小.【解答】解：两边平方(3sinA+4cosB) 2=36得 9sin (2017加江模拟)已知3sin 0tan 0=8,且0< 纭兀.A+16

9、cos2B+24sinAcosB=36 2(4sinB+3cosA) =1得 16sin 2B+9cosA+24sinBcosA=1 + 得：(9sin 2A+9coS2A) + (16cos2B+16sin2B) +24sinAcosB+24sinBcosA=37即 9+16+24sin (A+B =37所以 sin (A+B所以A+B至上或者工66若 A+B=,贝U cosA>623cosA>3五>1,贝U 4sinB+3cosA>1这是不可能的2所以A+B=因为 A+B+C=180所以C=6【点评】本题考查同角三角函数基本关系的运用，考查计算能力，是基础题.(I

10、)求 cos 0；(H)求函数f (x) =6cosxcos (x- 0)在0,三上的值域. 4【分析】(I)利用同角三角函数的基本关系求得cos 8的值.(n)利用三角包等变换化简函数f (x)的解析式，再利用余弦函数的定义域和值域，求得函数在0, 2L上的值域.4* 2 A【解答】解：(I) V 3sin etan 9=3sin=8,且 0< 纭 阳. cos 8> 0, 8 为锐cos 0角.313c口幺 8 =8 求得 cos(=L,或 cos 0= - 3 (舍去)，. sin /的 2 ,cos 633综上可得，cos3(H)函数 f (x) =6cosxcos (x-

11、 0) =6cosx? (cosx?L+sinx ?2m)33=2cos2x+4Tsinxcosx=cos2x+1+2 &sin2x=3 (cos2x+ s sin2x ) 33=3cos (2x-，在0,与上，2x-长-8,二-0，f (x)在此区间上先增后减， 42当2x-佐0时，函数f (x)取得最大值为3,当2x- 9=- 8时，函数f (x)取 得最小值为 3cos (- 0) =3cos (=1,故函数在0 ,上的值域为1 , 3.4【点评】本题主要考查三角包等变换，余弦函数的定义域和值域，属于基础题.23. (2017?海淀区一模)已知 工-是函数f (x) =2cosx

12、+asin2x+1的一个零点.(I )求实数a的值；(H)求f (x)的单调递增区间.【分析】(I)利用函数的零点的定义，求得实数a的值.(II)利用三角包等变化化简函数的解析式，再利用正弦函数的单调性求得f (x) 的单调递增区间.【解答】解：(I)由题意可知f(，p)=0,即£(2')二江口号空9人02974二0,即n二5二2号)2序升1=0,解得平二叵0乙乙( H ) 由 ( I ) 可 得f (6 =2co FK75min2"l=ss2x-6*in2"2=2sin+-)+2，函数y=sinx的递增区间为2k兀二2kn+工,kCZ. 22由 2k兀

13、W-<2x+%<2k冗+看，kCZ,得k兀至<岂k冗工，kCZ, 36所以，f (x)的单调递增区间为|>冗第匚，kn-2L, kez. 36【点评】本题主要考查函数的零点的定义，三角恒等变换、正弦函数的单调性, 属于中档题.4. (2017?衡阳三模)已知函数f (x)=巨sin (2x+;匚)+sin2x. 24(1)求函数f (x)的最小正周期;(2)若函数g (x)对任意xC R,有g (x) =f (x+卫),求函数g (x)在-6£上的值域.【分析】(1)利用两角和的正弦函数公式及二倍角公式化简函数 f (x),再由周期公式计算得答案;(2)由已知

14、条件求出 g (x) sin (2x+)巧，当xC-乌，】时，则 232622x+Ae 0,J上的值域.【解答】解:苧,由正弦函数的值域进一步求出函数g (x)在-看, (1) f (x) =-sin (2x+) +sin2x 24= =sin2x+ cos2x+sin 2x22=sin2x+ :, 二.-sin2x+1 sin2x+ ,22 22f (x)的最小正周期T=SL二兀；2(2) :函数 g (x)对任意 xCR,有 g (x) =f (x+)6(x) =Lsin2 (x+2L) +1当 xC -2717JlLl=lsin (2x+2L) +L,2 232时，贝tj 2x+2Le

15、o, 33贝(J sin2< 1.(2x+)<1,即 J-xl+lg (x) <1,解得苧5x)综上所述，函数g (x)在-工，三上的值域为：二退，1.614【点评】本题考查了三角函数的周期性及其求法， 考查了函数值域的求法，是中 档题.5. (2016?北京)已知函数f (x) =2sin wxcos wx+cos2 wx (>0)的最小正周期 为冗.(1)求的值;(2)求f (x)的单调递增区间.【分析】(1)利用倍角公式结合两角和的正弦化积，再由周期公式列式求得(的值；(2)直接由相位在正弦函数的增区间内求解 x的取值范围得f (x)的单调递增 区间.【解答】 解

16、：(1) f (x) =2sin oxcos cox+cos2 cox=sin2 ctx+cos2 coxC (-sin2 3 x+-p-cos2 = =) =/2sin(2.由T啜;二川，得3=1；(2)由(1)得，f(x)=6Kn(2肝再由得 f +kn式爱外冗,k Z .- f (x)的单调递增区间为片3kN, ；+kn(kCZ). OQ【点评】本题考查y=Asin (x+小)型函数的图象和性质，考查了两角和的正弦， 属中档题.6. （2014?重庆）已知函数 f （x） =V3sin （x+小）（>0,（）<）的22图象关于直线x=2L对称，且图象上相邻两个最高点的距离为九

17、.3（I ）求和小的值；（H）若f （乌）=H （2L< a<空-）,求cos （叶"）的值. 24632【分析】（I ）由题意可得函数f （x）的最小正周期为冗求得=2.再根据图象关于直线x=2L对称，结合-工0小（工可得小的值.322（H ）由条件求得sin （ a- 式.再根据a-的范围求得cos （ a- -2L） 6466的值，再根据cos （ a+a三）=sin a=sin （ a- ） +-,利用两角和的正弦公266式计算求得结果.【解答】解：（I）由题意可得函数f （x）的最小正周期为 阳，之二九，=2.JI3再根据图象关于直线x=L对称，可得2 X3结合

18、-工0小（工可得 （|）=-, 226(U ) f (JL) =&L ( < a<丝-), 2463Vssin ( a ) =-,sin ( a- - ) -6464JT TV再根据0< a-62一/ 冗cos (a6cos ( +-2=，-"。*4,)=sin a=sin(冗n 7 兀、7T / 7Toc ) + =sin ( oc ) cos +cos ( oc66666.7T sin6-反小cm一 十一【点评】本题主要考查由函数y=Asin （x+小）的部分图象求函数的解析式，两角和差的三角公式、的应用，属于中档题.7. (2017?江苏)已知向量 a

19、= (cosx, sinx), b= (3,一加)，xC0,句.(1)若；/Z,求x的值;(2)记f (x) =a-b,求f (x)的最大值和最小值以及对应的 x的值.【分析】(1)根据向量的平行即可得到tanx=-运，问题得以解决,3(2)根据向量的数量积和两角和余弦公式和余弦函数的性质即可求出【解答】解：(1)a= (cosx, sinx ), b= (3,-本),a / b,-V5cosx=3sinx , . tanx= - 3 xC 0 ,可，571x=士, 6(2) f (x) = a *b=3cosx - V3sinx=2 Vs (2cosx -2sinx ) =2/3cos (x

20、+), 26 xC 0 ,可， x+ 671771一 1 <cos (x+当x=0时，f (x)有最大值，最大值3,当x= 5,时,f (x)有最小值，最小值-2M.6【点评】本题考查了向量的平行和向量的数量积以及三角函数的化简和三角函数 的性质，属于基础题8. (2017?锦州一模)已知函数f(x)=Msin(Sx+O)(M>0, |中|<)的部分图 象如图所示.(1)求函数f (x)的解析式；(2)在ABC,角 A, B, C的对边分别是 a, b, c,若(2a-c) cosB=bcosG 求f号)的取值范围.【分析】(1)根据图象求出A,和上即可求函数f (x)的解析

21、式;(2)利用正弦定理化简，求出 B,根据三角内角定理可得 A的范围，利用函数 解析式之间的关系即可得到结论 【解答】解：(1)由图象知A=1, 丁二虱旦二五，co=2,126 . f （x） =sin （2x+（|）图象过（工，1）,将点（2L, 1）代入解析式得En（0）二, 663小71故得函数 f（x）=sin（2x-k-）-（2）由（2a c） cosB=bcosG根据正弦定理，得：(2sinA-sinC) cosB=sinBcosC2sinAcosB=sin （B+C , 2sinAcosB=sinA .AC （0, tt）,sinA 丰 0,cosB=,即 B= 23 A+C空，

22、即 o<a<T33那么： 吟Fin（A+备）,0<A<等，2L<a+2L<IIL, 2o3666sin（A±-） 61故得f哈）& IL【点评】本题主要考查三角函数的图象和性质， 根据图象求出函数的解析式是解 决本题的关键.同时考查了正弦定理的运用化简.利用三角函数的有界限求范围,属于中档题.9. (2017?丽水模拟)函数f (x) =2sin (x+小)(>0, 0< K)的部分图2象如图所示，M为最高点，该图象与y轴交于点F (0, V2),与x轴交于点B, C, 且MBC勺面积为支(I )求函数f (x)的解析式；(H)

23、若 f ( a-) =L,求 COS2 a 的值.45【分析】(I)依题意，由& mb=1x2X|BC|=|BC|=九可求得其周期T=2 =-,解得3=1,再由f (0) =2sin小二近，可求得小，从而可求函数f (x)的解析式；(R)由f (a-匹)=2sin 苕工 可求得sin a,再利用二倍角的余弦即可求 45得COS2 a的值.【解答】解：(I)因为Sa mb=1x2X |BC|=|BC|=砥所以周期T=2/"，解得步1,由f (0) =2sin小=%，得sin后竽，因为0V Ky,所以匹;所以 f (x) =2sin (x+-)；(H ) 由 f ( a工)=2s

24、in a=" 5 得 sin a=, 455所以 cos2 o=1 2sin 2 a.5【点评】本题考查由y=Asin (x+小)的部分图象确定其解析式，求得 与小是 关键，考查二倍角的余弦公式的应用，属于中档题.10.(2017?延庆县一模)已知函数 '-1(I)求f (x)的最大值及相应的x值；(H)设函数 虱K)二久看6,如图，点P, M N分别是函数y=g (x)图象的零 值点、最高点和最低点，求cos/MPN勺值.*x【分析】(I)化简函数(x)为正弦型函数，利用正弦函数的图象与性质求出它 的最大值以及此时对应的x值；(H)化简函数g(x)，过D作MDLx轴于D,根

25、据三角函数的对称性求出/ PMN=90再求cos / MPN勺值.【解答】解：(I )函数 f (x)=sin2K+sin(T7-2x)=sin2x+ cos2x -sin2x 22=：-1,- ：-.：.：， - =sin(2x+-z-)；(3 分) .f (x)的最大值为f (x) ma尸1,(4分)止匕时2x+2kTT+2，(5分)解得灯kn+, kEZ;仁分)(H )函数 g(x)= f (K)=sin2 (-x) +,-=sin (_x+_),(7 分) T：Tsv乙。过D作MDLx轴于D,如图所示;v PD=DM=1 ./PMN=90 （9 分） 计算 PM*, MN=2PM=2,

26、 PN=/yT2=/10,(门 分)cosZNPN=-(13 分)【点评】本题考查了三角函数的化简与运算问题，也考查了三角函数的计算问题, 是综合题.11. （2017?山东）设函数f （x） =sin （x工）+sin （x工），其中0< 62<3,已知f （也）=0.6(I )求；(H)将函数y=f (x)的图象上各点的横坐标伸长为原来的 2倍(纵坐标不变)，再将得到的图象向左平移 三个单位，得到函数y=g (x)的图象，求g(x)在- 4工，卫上的最小值.44【分析】(I)利用三角包等变换化函数f (x)为正弦型函数，根据f (二)=06JT求出的值;(H)写出f (x)解析

27、式，利用平移法则写出g (x)的解析式，求出xC -迎L时g (x)的最小值.4【解答】 解：（I）函数 f （x） =sin （cox ；） +sin （cox ；） b2JT n / 冗 =sin wxcoscos xsin 一sin （一 wx） 662=25sin cox 一2gcos wx2=/3sin （ wx -JI又 f （） =V3sin （w- -） =0, 6633-；=卜冗，kCZ, 03解得=6k+2, 又0V<3, . gj=2;2倍(纵坐标不变)，得到(H)由(I)知，f (x) =V3sin (2x-), 3将函数y=f (x)的图象上各点的横坐标伸长为原

28、来的函数 y=75sin (x -) 3再将得到的图象向左平移的图象;三个单位，得到4y= ;sin(X+2L-2L)的图象,43:函数 y=g (x) =/sin当xe 一工，时,44(x-A)；12x - -12会，J1 .sin (x 一12当x=4时，g(x)取得最小值是一小仁【点评】本题考查了三角恒等变换与正弦型函数在闭区间上的最值问题，是中档题.12. (2016?山东)在 ABC中，角A, B, C的对边分别为a, b,c,已知2(tanA+tanB) =X-+XL.cosB cosA(I )证明：a+b=2c；(H )求cosC的最小值.【分析】(I)由切化弦公式tanA二型吟

29、，tanB二星三，带入 cosACOSD2(tanA+tanB)并整理可得 2 (sinAcosB+cosAsinB ) =sinA+cosB,cosB cosA这样根据两角和的正弦公式即可得到 sinA+sinB=2sinC ,从而根据正弦定理便可得出 a+b=2c；(H )根据a+b=2c,两边平方便可得出 a2+b2+2ab=4c2,从而得出a2+b2=4c2 - 2ab,2并由不等式a2+b2>2ab得出c2>ab,也就得到了二->1,这样由余弦定理便可得 aba 2出c口式二由-1,从而得出cosC的范围，进而便可得出cosC的最小值.2 ab【解答】解：(I)证明

30、：由产得:COSD cosA声inA 弃 inB、_cosA cosB isinAsinBcosAcosB cosAcosB ' .两边同乘以 cosAcosB 得，2 (sinAcosB+cosAsinB ) =sinA+sinB ； . 2sin (A+B =sinA+sinB ； 即 sinA+sinB=2sinC (1)；根据正弦定理，/= : =2R ；sinA sinB sinCsinA-a2RsinB=b2R式心会'带入（1）得:2R 2Ra+b=2c；(n) a+b=2c；( a+b) 2=a2+b2+2ab=4c;a2+b2=4c2 2ab,且4c214ab,

31、当且仅当a=b时取等号;又 a, b>0；2ab，由余弦定理，8#书子咨萨cosC的最小值为. 2【点评】考查切化弦公式，两角和的正弦公式，三角形的内角和为阳以及三角函数的诱导公式，正余弦定理，不等式 a2+b2>2ab的应用，不等式的性质.13. (2015?四川)如图，A B G D为平面四边形ABCD勺四个内角.(I)证明：tan。"?手;2 sinA(H)若 A+C=180, AB=6 BC=3 CD=4 AD=5 求 tan &+tan»+tan©+tanD的值.2222【分析】（I）直接利用切化弦以及二倍角公式化简证明即可.（H ）

32、通过 A+C=180,得 C=180° - A, D=180° - B,利用（I ）化简tan£+tan+tanS+tan2=-T，连结BD,在 ABD中，利用余弦定理求2222 sinA sinB出sinA ,连结AC求出sinB ,然后求解即可.Ao . 2Asiitt2si n 彳【解答】证明：(I) tanA=_= - =H .等式成立.2 A A . A sinA8可 Scossirry(H )由 A+C=180,得 C=180 A, D=180 B,由(I )可知：tan2_+tan一+tan二+tan一=' , 111 . ' 

33、9;： .: 1 二 '12222 sinA sinB sin(1803 -A)sin(180" -B)=-5-H2,连结 BD 在ABD,有 BE2=AB2+AD)- 2AB?ADcosA AB=6 BC=3 sinA sinBCD=4 AD=5在BCDK 有 bD=bC+cD-2BC?CDcosC所以 AB+AD- 2AB?ADcosA=B2+cD- 2BC?CDcosC皿cosAF而丽3丽=!丽雨衣正于是与必二久亭直，连结AC,同理可得：COSB二研)即3一知3-。1)3 =6气3L/-4； J 2(AB-BC+AD<D) 2(6父3+5*4) 19于是 sinB

34、= 71-COS2B=6 g0 -所以 tan A+tanE+tan&+tanR=-h-2 =2： 7 2乂 19 =4" 1° .2222 sinA sinB 210 /103【点评】本题考查二倍角公式、诱导公式、余弦定理.简单的三角包等变换，考查函数与方程的思想，转化与化归思想的应用.14. (2015?重庆)已知函数 f (x)sin2x -泥cos2x.2(I )求f (x)的最小周期和最小值；(H)将函数f (x)的图象上每一点的横坐标伸长到原来的两倍，纵坐标不变，得到函数g (x)的图象.当x n时，求g (x)的值域.【分析】(I )由三角函数中的恒等

35、变换应用化简函数解析式可得f (x) =sin (2x小)一淬，从而可求最小周期和最小值；(H)由函数y=Asin (x+小)的图象变换可得g (x) =sin (x -)-近，由 32xC2L,句时，可得x-2L的范围，即可求得g (x)的值域. 23【解答】 解：(I) f (x) =Lsin2x - /scos2x=Xsin2x 2 (1+cos2x) =sin 222(2x -)-近，32.f (x)的最小周期T卫二阳最小值为：-1区=一生区.222(H )由条件可知：g (x) =sin (x - ) - Y3 32当xC 工何时，有x 工，空-,从而sin (x 也)的值域为工，2

36、363321,那么sin (x-2L)-近的值域为：上亚.，兰退, 3222故g (x)在区间2L,可上的值域是土正，兰返. 222【点评】本题主要考查了三角函数中的恒等变换应用，函数 y=Asin (x+小)的 图象变换，属于基本知识的考查.15. (2015?重庆)已知函数 f (x) =sin ( - x) sinx 我cos2x.2(I)求f (x)的最小正周期和最大值；(II )讨论f (x)在二匚，空上的单调性.63【分析】(I)由条件利用三角包等变换化简函数的解析式，再利用正弦函数的 周期性和最值求得f (x)的最小正周期和最大值.(R)根据2x-2C0,句，利用正弦函数的单调性，分类讨论求得 f (x)在工上的