一阶电路和二阶电路

1、第七章第七章 一阶电路和二阶电路一阶电路和二阶电路 7.1 7.1 动态电路的方程及其初始条件动态电路的方程及其初始条件 7.2 7.2 一阶电路的零输入响应一阶电路的零输入响应 7.3 7.3 一阶电路的零状态响应一阶电路的零状态响应 7.4 7.4 一阶电路的全响应一阶电路的全响应 7.5 7.5 一阶电路的阶跃响应一阶电路的阶跃响应 7.6 7.6 一阶电路的冲激响应一阶电路的冲激响应 7.7 7.7 二阶电路的时域分析二阶电路的时域分析7.1 7.1 动态电路的方程及其初始条件动态电路的方程及其初始条件 由前面已知，电容、电感有记忆的元件，又是储能元件，由前面已知，电容、电感有记忆的元

2、件，又是储能元件，它们的电压与电流的约束关系是通过导数或微分表达的，所它们的电压与电流的约束关系是通过导数或微分表达的，所以也以也是动态元件。是动态元件。1、含动态元件的电路称为、含动态元件的电路称为动态电路动态电路 根据根据KCL、KVL和元件和元件VCR方程可以列出动态电方程可以列出动态电路的微分方程。由一阶微分方程描述的电路，称为一路的微分方程。由一阶微分方程描述的电路，称为一阶电路。由二阶微分方程描述的电路，称为二阶电路。阶电路。由二阶微分方程描述的电路，称为二阶电路。 一般来说：由一般来说：由n阶微分方程描述的电路，称为阶微分方程描述的电路，称为n阶阶电路。电路。例例1 列出如图所示

3、电路的一阶微分方程。列出如图所示电路的一阶微分方程。 得到得到 )()(d)(dSCCtututtuRC 这是常系数非齐次一阶微分方程，图这是常系数非齐次一阶微分方程，图(a)是一阶电路。是一阶电路。 在上式中代入在上式中代入:ttuCtid)(d)(C )()()()()(CCRStutRitututu 解：对于图解：对于图(a)所示所示RC串联电路，可以写出以下方程串联电路，可以写出以下方程 对于图对于图(b)所示所示RL并联电路，可以写出以下方程并联电路，可以写出以下方程 )()()()()(LLLRStitGutititi 在上式中代入在上式中代入 ：ttiLtud)(d)(LL 得到

4、得到)()(d)(dSLLtitittiGL 这是常系数非齐次一阶微分方程。图这是常系数非齐次一阶微分方程。图(b)是一阶电路。是一阶电路。 当电路结构或元件参数发生变化时（当电路结构或元件参数发生变化时（换路换路），动），动态电路会从一个态电路会从一个稳态稳态转变到另一个稳态，转变到另一个稳态，稳态间的稳态间的过度过程过度过程称为称为暂态暂态。 假设假设换路换路都是在都是在t=0时刻进行，把换路前一瞬间时刻进行，把换路前一瞬间记为记为t=0-，换路换路后一瞬间后一瞬间记为记为t=0+。什么是什么是电路电路暂态暂态呢呢 稳态稳态: :电路中的激励及响应均是恒定量或按某种电路中的激励及响应均是恒

5、定量或按某种周期规律变化。周期规律变化。U暂态暂态暂态（暂态（过渡）过程过渡）过程: :旧稳态旧稳态 新稳态新稳态 0uC UuC tCu电路暂态：电路暂态：RkU+_CCuit=0开关开关K合下合下电路处于稳态电路处于稳态RU+_UuC C+ +_ _稳态稳态稳态稳态 (1)电容电压的连续性电容电压的连续性 tttiCtuiCtu C0C CC0d)(1)(d)(1)( 令令t0=0-，t=0+有：有： 00 CCCd)(1)0()0( iCuu有有界界时时，当当)(iC )0()0(CC uu (2)电感电流的连续性电感电流的连续性 tttuLtiuLti L0L LL0d)(1)(d)(

6、1)( 有有界界时时当当)(u L )0()0(LL ii令令t0=0-，t=0+有：有： 0 0 LLLd)(1)0()0( uLii换路定律换路定律2、动态电路的初始条件、动态电路的初始条件 求解求解n阶微分方程时，需要知道阶微分方程时，需要知道n个初始条件。利个初始条件。利用电感电流和电容电压的连续性，可以求出动态电路用电感电流和电容电压的连续性，可以求出动态电路在电路结构和元件参数变化在电路结构和元件参数变化(换路换路)后，电路变量（电后，电路变量（电压、电流）的初始值。压、电流）的初始值。 由于由于电感中电流恒定时，电感电压等于零，电感电感中电流恒定时，电感电压等于零，电感相当于短路

7、；由于电容上电压恒定时，电容电流等相当于短路；由于电容上电压恒定时，电容电流等于零，电容相当于开路于零，电容相当于开路。我们用短路代替电感以及。我们用短路代替电感以及用开路代替电容后，得到一个直流电阻电路，由此用开路代替电容后，得到一个直流电阻电路，由此电路可以求出电路可以求出t=0- -的各电压电流。的各电压电流。 在开关转换后的一瞬间在开关转换后的一瞬间 t=0+，根据电感电流和电，根据电感电流和电容电压不能跃变的连续性质，我们可以得到此时刻的容电压不能跃变的连续性质，我们可以得到此时刻的电感电流电感电流 iL(0+)= iL(0-) 和电容电压和电容电压 uC(0+)=uC(0-) 用数

8、值为用数值为iL(0+)的电流源代替电感以及用数值为的电流源代替电感以及用数值为uC(0+)的电压源代替电容后，得到一个直流电阻电路，的电压源代替电容后，得到一个直流电阻电路，由此电路可以求出由此电路可以求出t=0+时刻各电压电流值，根据这些时刻各电压电流值，根据这些数值可以得到求解微分方程所需的初始条件。下面举数值可以得到求解微分方程所需的初始条件。下面举例加以说明。例加以说明。 例例2 图图(a)所示电路的开关闭合已久，求开关在所示电路的开关闭合已久，求开关在t=0断断开时电容电压和电感电流的初始值开时电容电压和电感电流的初始值uC(0+)和和iL(0+)。 解：由于开关打开前各电压电流均

9、为恒定值，电感解：由于开关打开前各电压电流均为恒定值，电感相当于短路；电容相当于开路，如图相当于短路；电容相当于开路，如图(b)所示。所示。A164V10)0(L i4V=V2V10646)0(C u 当开关断开时，电感电流不能跃变；电容电压不当开关断开时，电感电流不能跃变；电容电压不能跃变。能跃变。V4)0()0( A1)0()0(CCLL uuii)0()0()0()0( CCLLuuii初始条件是电路中所求解的变量在初始条件是电路中所求解的变量在 t=0+时的值时的值。2、利用换路定律求得、利用换路定律求得iL(0+)或或uC(0+)3、通过已知的、通过已知的iL(0+)和和uC(0+)

10、画出画出0+等效电路，求出电等效电路，求出电路中其它的电流、电压，称之为路中其它的电流、电压，称之为0+等效电路法。等效电路法。0+等效电路：等效电路： 把把t=0+时的电容电压、电感电流分别用独立电压源时的电容电压、电感电流分别用独立电压源uC(0+)和独立电流源和独立电流源iL(0+)等效替代，原电路中独立源取等效替代，原电路中独立源取t=0+时的值，其它元件照搬。时的值，其它元件照搬。小结：小结：1、在、在 t=0-时的等效电路中求得时的等效电路中求得iL(0-)或或uC(0-)7.2 7.2 一阶电路的零输入响应一阶电路的零输入响应零输入响应：零输入响应：外施激励外施激励( (电源电源

11、) )为零，由动态元件初为零，由动态元件初始储能引起的响应。始储能引起的响应。1 1、RC电路的零输入响应电路的零输入响应( (C对对R放电放电) )iK(t=0)+uRC+uCRuC (0-)=U0i= - CdtdCudtdCuuC +RC=0uC(t)=Aept特征方程特征方程 RCp+1=0RC1p tRCcAeu1 0 ptptRCApeAe电路电路微分微分方程：方程：其解的形式为：其解的形式为：初始值初始值 uC (0+)=uC(0-)=U0 A=U0令令 =RC, 具有时间的量纲具有时间的量纲 , ,称称 为时间常为时间常数数量纲量纲：欧欧 法法= =欧欧 库库/ /伏伏= =欧

12、欧 安安 秒秒/ /伏伏= =秒秒001 0UAeUttRCC ）（RCtceUu 0 即：即：dtduCiCC RCteRU 0I0tic0U0tuc0)0( t)0( ttRCcAeu1 越大，过渡过程时间越长（放电的速度越慢）。越大，过渡过程时间越长（放电的速度越慢）。CRC不断释放能量被不断释放能量被R吸收吸收, ,直到全部直到全部消耗完毕消耗完毕. .t0 2 3 5 U0 0.368 U0 0.135 U0 0.05 U0 0.007 U0 tceUu 0 能量关系：能量关系：202 000221)(CURdteRURdtiWRCtR 理论上过渡过程需很长时间才能到达稳态，理论上过

13、渡过程需很长时间才能到达稳态，工程上工程上一般认为一般认为 就可认为电路已进入稳态。就可认为电路已进入稳态。)53(t2、RL电路的零输入响应电路的零输入响应iK(t=0)USL+uLR2R1iL(0+)=iL(0-)=uL=Ldtdi其解的形式为：其解的形式为： i(t) = Aept 特征方程特征方程 Lp+R=0 L+Ri = 0dtdii(0+)=i(0-)= I0i(0+)=A= I0021IRRUS )0( t)0( t电路电路微分微分方程：方程：LRp tLRAeti ）（tLReIti 0）（即：即： uL = Ldtdi量纲量纲：L/R=亨亨/ /欧欧= =韦韦/ /安安*

14、*欧欧= =韦韦/ /伏伏= =伏伏* *秒秒/ /伏伏= =秒秒令令 =L/R, 称为称为RL电路的电路的时间常数时间常数一般认为，一般认为，t=3 -5 过渡过程结束过渡过程结束。)0( ttLReIi 0 )0( tI0tiL0-I0RuLtRLteRI/ 0 teI 0 t=0 0时时, ,打开开关打开开关K,iL (0+)=iL(0-)=1 A= I0uV= - RViLuV (0+)= - 10000V 造成造成V击穿击穿。例例3iLK(t=0)+uVL=4HR=10 VRV10k 10V现象：电压表烧坏现象：电压表烧坏 tLeIi 0 电压表量程电压表量程：50VsVRRL410

15、4100004 V (t 0)te250010000 零状态响应：零状态响应：动态元件初始储能为零，电路在外施动态元件初始储能为零，电路在外施激励（电源）作用下，激励（电源）作用下，产生的响应。产生的响应。iK(t=0)US+uRC+uCRdtdCuRC+uC=US特解：特解： uC= US1 1、RC电路的零状态响应电路的零状态响应电路微分方程：电路微分方程：uC (0-)=07.3 一阶电路的零状态响应一阶电路的零状态响应非齐次线性常微分方程非齐次线性常微分方程解答形式为：解答形式为：cccuuu 特解特解通解通解tRC1= US+AeuC (0+)=A+US= 0 A= - USuC=A

16、etRC1对应齐次方程通解对应齐次方程通解 uC“ 自由分量自由分量( (暂态分量暂态分量)dtdCuRC+uC= 0全解全解uC = uC+uC)0( V)1( teUeUUuRCtSRCtSSctuc-UsuCuCUs uC (0-)=0强制分量强制分量( (稳态稳态) )自由分量自由分量( (暂态暂态) )tRC1 i=CdtdCueRUSAitRUS0能量关系能量关系：RC电源提供能量一部分消耗在电阻上电源提供能量一部分消耗在电阻上，一部分储存在电容中，且一部分储存在电容中，且WC=WR充电效率为充电效率为50%)0( V)1( teUuRCtScRdt)eRU(RdtiW2RCt00

17、S2R 0222RCtSeRURCc2SW2CU iK(t=0)US+uRC+uCRuC (0-)=U01.1.全响应全响应：非零初始状态的电路受到激励时产生的响：非零初始状态的电路受到激励时产生的响应应7.4 7.4 一阶电路的全响应一阶电路的全响应全响应全响应= =零输入响应零输入响应+ +零状态响应零状态响应dtdCuRC+uC=US电路微分方程：电路微分方程：tRC1= US+Ae全解：全解：uC = uC+uC由初始条件有由初始条件有：uC (0+)=A+US= U0(t0)强制（稳态）分量强制（稳态）分量自由（暂态）分量自由（暂态）分量 tSSceUUUu )(0也可表示为：也可表

18、示为：2.2. 三要素法分析一阶电路三要素法分析一阶电路iK(t=0)US+uRC+uCRuC (0-)=U0解为解为: :更一般形式为更一般形式为 tcccceuuuu )()0()(零状态响应零状态响应零输入响应零输入响应)0(0 teUeUUuttSSc teffftf )()0()()( tSSceUUUu )(0 时间常数时间常数初始值初始值稳态值稳态值三要素三要素 )0( )( ffRL电路：电路： =L/RRC电路：电路： =RC teffftf )()0()()(是在经典法的基础上总结出来的一种快是在经典法的基础上总结出来的一种快捷的方法。捷的方法。只适用于只适用于一阶电路一阶

19、电路。分分析析方方法法三要素法三要素法经典法经典法由由列解微分方程，求未知量的时间函数式。列解微分方程，求未知量的时间函数式。一阶电路暂态过程的分析方法一阶电路暂态过程的分析方法: :例例41 1、求起始值、求起始值 : :)0 ( fVuC0)0( 已知各电路参数，已知各电路参数，t=0 0时开时开关闭合；换路前关闭合；换路前求求开关闭合后开关闭合后 、 、 、 的变化规律。的变化规律。1i2iCu1RuVuuCC0)0 ()0 ( Ai0)0(1 sRUu )0(112)0(RUis CUs+_t=0R1R2uR1i1i2uCt t=0=0+ +时的电路时的电路 : :CUs+_R1uR1

20、R2i2i1uC2 2、求稳态值、求稳态值 ：)(f激励为直流激励为直流, ,令令C开路。开路。Ai0)(2 RRUis211)( 例例4VuC0)0( 已知各电路参数，已知各电路参数，t=0 0时开时开关闭合；换路前关闭合；换路前求求开关闭合后开关闭合后 、 、 、 的变化规律。的变化规律。1i2iCu1RuCUs+_t=0R1R2uR1i1i2uC tCUs+_R1uR1R2i2i1uCVRRRUuRRRUuscsR2122111)()( 3 3、求时间常数、求时间常数 : : 21/RRR CR2R1RVuC0)0( 已知各电路参数，已知各电路参数，t=0 0时开时开关闭合；换路前关闭合

21、；换路前求求开关闭合后开关闭合后 、 、 、 的变化规律。的变化规律。1i2iCu1RuCUs+_t=0R1R2uR1i1i2uC4、求、求开关闭合后开关闭合后 、 、 、 的变化规律。的变化规律。Cu1Ru1i2i将各量的三要素代入一般表达式：将各量的三要素代入一般表达式： teffftf )()0()()(2iCu)1 ()(212eRRRUtutsC 1RUs212RRRUs CUs+_t=0R1R2uR1i1i2uC4、求、求开关闭合后开关闭合后 、 、 、 的变化规律。的变化规律。Cu1Ru1i2i211RRRUs 1Rut2Ri21RRUs 2Ru212RRRUs tUsuR1、i

22、R2、uR2 的波形图的波形图: :CUs+_t=0R1R2uR1i1i2uC例例5 5 电路如图所示，开关合在电路如图所示，开关合在1 1时已达稳定状态。时已达稳定状态。t=0时，开关由时，开关由1 1合向合向2 2，求，求t 0时的电压时的电压uL。 解解：AAiiLL42800 ）（）（换路后，应用戴维南定理得出其等换路后，应用戴维南定理得出其等效电路，其中效电路，其中 1012eqocRVu，sRLAieqL01. 02 . 1 ）（例例5 5 电路如图所示，开关合在电路如图所示，开关合在1 1时已达稳定状态。时已达稳定状态。t=0时，开关由时，开关由1 1合向合向2 2，求，求t 0

23、时的电压时的电压uL。 VedtdiLuAeeitLLttL10010001. 01522 . 52 . 12 . 142 . 1 ）（）（7.5 7.5 一阶电路的阶跃响应一阶电路的阶跃响应1 1、单位阶跃函数、单位阶跃函数1 1） 定义定义 0)( 10)( 0)(ttt K+uC1VRC 0)( 0)( 0)(tEttE 2 2）延迟单位阶跃函数）延迟单位阶跃函数 )( 1)( 0)(000tttttt t (t-t0)t0t (t)10EE延迟单位阶跃函数可以起始任意函数延迟单位阶跃函数可以起始任意函数f(t)t0tf(t) (t-t0)t0t )t(t )t (f)t(t )tt (

24、)t (f0000 1t0tf(t)t0t- (t-t0) (t)()()(0ttttf ), 0( 0)0( 1)(00ttttttf)5 . 0(10)(10ttuS求图示电路中电流求图示电路中电流 iC(t）例例6 610k10kus+-ic100FuC(0)=00.510t(s)us(V)05k0.5us+-ic100FuC(0)=0等效等效)5 . 0(10)(10ttuS应用叠加定理应用叠加定理)(5t5k+-ic100F)5 . 0(5t5k+-ic100F)(t5k+-ic100Fs5 . 01051010036RCmA )( 51dd2CtetuCitC)( )1 ()(2t

25、 tetuC阶跃响应为：阶跃响应为：由齐次性和叠加性得实际响应为：由齐次性和叠加性得实际响应为：)5 . 0(51)(51 5)5 . 0(22teteittCmA)5 . 0()()5 . 0(22tetett)(5t5k+-ic100F)5 . 0(5t5k+-ic100F7.6 7.6 一阶电路的冲激响应一阶电路的冲激响应1 1、单位冲激函数、单位冲激函数1 1） 单位脉冲函数单位脉冲函数( (t t) ) 1/ tf(t) )0,( 0)(0 1)(ttttf)()(1)( tttf )()(lim0ttf 1 0 2 2）定义）定义 0)( 00)( 0)(ttt 1)( dtt k

26、 (t) kdttk)( 001dt)t ( 3） 函数的筛分性函数的筛分性 dtttf)()( f(0) (t)0()()0(fdttf t)(t 1)()00)(dttt ( t 零状态零状态h(t)(t 冲激响应冲激响应：激励为激励为)(t 时的零状态响应时的零状态响应方法方法1：分成二个时段来考虑，：分成二个时段来考虑，求求iL(0+)、uC(0+)1 1） t 在在 0- _ 0+间间 2） t 0+ 4） ( (t t) ) 和和 ( (t t) )的关系的关系）（tttdttt 0)( 10)( 0)()()(tdttd 2 2、分析冲激响应、分析冲激响应1 1 ）t 在在 0-

27、 _ 0+间间)(tRudtduCcc uc 不可能是冲激函数不可能是冲激函数=0100 cduC=1 dttdtRudtdtduCcc 000000 分析分析1icisRC)(t 0)0( cu+uc1)0()0( ccuuCCuc1)0( icRC+uc)(1 teCuRCtc )(1teRCRuiRCt cR Cuc10 ）（2） t 0+ 零输入响应零输入响应（ RC放电放电）100 cduC分析分析1icisRC)(t 0)0( cu+uc电容电压发生越变电容电压发生越变tuc(V)C10ticRC1 )(t )(1 teCuRCtc )(1)( teRCtiRCtc 分析分析1ic

28、isRC)(t 0)0( cu+ucL+-iLRus)(t 分析分析2 20)0( Li)(tdtdiLRi dttdtdtdiLRidt 000000)( 100 diLLiL1)0( 1 1 ）t 在在 0- _ 0+间间iL 不可能是冲激函数不可能是冲激函数电感电流发生越变电感电流发生越变RL )(1 teLitL )( teLRRiutLR )(1 teLitL )()( teLRtutL tuL)(t LR tiL0L12） t 0+零输入响应（零输入响应（RL放电）放电）RLiLLiL1)0( RuL+-iLRus)(t 分析分析2 20)0( Li方法方法2 2：利用阶跃响应求冲

29、激响应：利用阶跃响应求冲激响应零状态零状态h(t)(t 零状态零状态s(t)(t dttdt)()( )()(tsdtdth 对于一个线性电路，可先求电路的阶跃响应对于一个线性电路，可先求电路的阶跃响应s(t)，再对再对s(t)求一阶导数得冲激响应求一阶导数得冲激响应h(t)。0)0( Li求求 iL和和uL的冲激响应的冲激响应。法法1 1 解：由戴维南定理将电路等效变换为解：由戴维南定理将电路等效变换为-+ (t)1 1H+-uLiL1 1） t 在在 0- _ 0+间间)(tidtdiLL 000000)( dttdtidtdtdiLL iL不可能是冲激函数不可能是冲激函数1)0()0(

30、LLiiL)0(1)0( LLiiiL+-uL2 (t)A1 1 1 2 1H例例7 72） t 0+ 零输入响应零输入响应1 1H+-uLiL1)0( Li)(teitL )(teutR )()(tetutL )(teitL 法法2 2 解：先求激励为解：先求激励为 时的响应时的响应）（t 20)0( Li求求 iL和和uL的冲激响应的冲激响应。iL+-uL2 (t)A1 1 1 2 1H例例7 7法法2 2 解：先求激励为解：先求激励为 时的响应。由戴维南时的响应。由戴维南定理将电路等效变换为定理将电路等效变换为）（t 2000 ）（）（LLii01 tAiL，）（ 01 tetitL，-

31、+ (t)1 1H+-uLiL)(t ）（）（）（tedteddttdstittL 1)(激励为激励为 的响应的响应）（t 20)0( Li求求 iL和和uL的冲激响应的冲激响应。iL+-uL2 (t)A1 1 1 2 1H例例7 7 7.7 7.7 二阶电路二阶电路 1 1 二阶电路二阶电路的零输入响应的零输入响应 2 2 二阶电路的零状态响应和阶跃响应二阶电路的零状态响应和阶跃响应 * *3 3 二阶电路的冲激响应二阶电路的冲激响应 1 1 二阶电路的零输入响应二阶电路的零输入响应 二阶电路含二个独立储能元件的电路，用二阶常二阶电路含二个独立储能元件的电路，用二阶常微分方程所描述的电路。微

32、分方程所描述的电路。uc(0-)=U0 i(0-)=002 cccudtduRCdtudLC012 RCPLCP特征方程为：特征方程为：已知：已知：dtduCiuuuCLRC , 0tptpceAeAu2121 LCLRLRLCLRRP1)2(22/422 零状态响应的三种情况零状态响应的三种情况: :二个不等负实根二个不等负实根 2CLR 二二个个相相等等负负实实根根 2CLR 二个共轭复根二个共轭复根 2CLR 过阻尼状态过阻尼状态临界阻尼临界阻尼状态状态欠阻尼欠阻尼状态状态LCLRLRLCLRRP1)2(22/422 CLR 21 、tptpceAeAu2121 设设|P2|P1|021

33、0)0(UAAUuc 0)0()0(2211 APAPdtduCic 0121201221UPPPAUPPPA)(2112120tPtPcePePPPUu 过阻尼状态，非振荡衰减过程过阻尼状态，非振荡衰减过程)()(21120ttccppeePPLUdtduCi t=0+ ic=0 , t= i c=0ic0 t = tm 时时ic 最最大大tU0uctm2tmuLic0 t 0t tm i减小减小, uL |P1|tm为为uL=0时的时的 t,计算如下计算如下:0)(2121 ttpePpePmmtptpeepp2112 2112ppppntm 由由duL/dt可确定可确定uL为极小时的为极

34、小时的 t .0)(212221 tptpePePmtt2 )()(2121120ttLppePePPPUdtdiLu 能量转换关系能量转换关系tU0uctm2tmuLic 0 t tm uc减小减小 ，i 减小减小，电感释放能量，磁场逐渐电感释放能量，磁场逐渐衰减。衰减。 电容在整个过程中一直释放储存的电能电容在整个过程中一直释放储存的电能, ,是非振是非振荡放电过程。荡放电过程。 2 2CLR 、特征根为一对共轭复根特征根为一对共轭复根LCLRLRP1)2(22 jP )( 1 )( 20谐振角频率谐振角频率衰减系数衰减系数令：令：LCLR )( 220固有振荡角频率固有振荡角频率则则 u

35、c的解答形式的解答形式：)(212121tjtjttptpceAeAeeAeAu 欠阻尼状态，振荡衰减过程欠阻尼状态，振荡衰减过程 tjtetjtetjtj sincossincos欧拉公式欧拉公式sin)(cos)(2121tAAjtAAeutc A1 ，A2 为一对共轭复数为一对共轭复数00012212)(UjUjjjUPPPA 00012122)(UjUjjjUPPPA )(212121tjtjttptpceAeAeeAeAu sin)(cos)(2121tAAjtAAeutc sincos21 tBtBeutc 经常写为经常写为：)sin( tAeutcA ， 为待定常数为待定常数B1，B2为为待定常数待定常数 0cossin)(0)0(sin)0(00 AAdtduUAUucc由初始条件由初始条件 arctgUA ， sin00 ，间的关系间的关系:0sin 00UA B1B2ucteU 00teU 00 t - 2 - 2 0U0)sin( 00 teUutc弦函数。弦函数。为包络依指数衰减的正为包络依指数衰减的正是其振幅以是其振幅以00Uuc t=0时时 uc=U0uc零点零点： t = - ，2 - . n - uc极值点极