7014综合除法和余数定理

1、第 十四讲 综合除法和余数定理知识要点综合除法和余数定理是研究多项式除法的常用工具，现将 有关的知识介绍如下：L记号/(xt关于J的代数式常用记号把工)或和刘等表示，侧如，用只工) 表示代数式2疋+工一 3, JH可记为/(x) = 2分 + Jr 3.这时就表示当X-1时，代数式加+一3的值，即f= 2 X I1 + 1 - 3 = 0.同样地，有 /(0) = 2XO: + O- 3=-S；- 1) = 2 X (- »上 +( 1)-3 =一2爭等.用Az)pJ以代表关于工的各种不同的代数式但在同一个问IK中, 利司的代数式變用不同的字母表示g(H),心,厂3等，1嫁合除海在学

2、习多项式除袪时我fl有带余除法I/<JT> = (工) Q(X> + r(j)(J)其中fg賴示被除式，如it示除式呻表示商式 示余式，且余式尸(工)的次数小于除式烈刃的次数.如果g")是一次式-s KIN工啲次数小于1個此*Q)只 能为常数(0或非零常数)这时余式也叫余数记为九即有/(X)二(x a) q(x) + r(2)当一个多项式除以一个形如T - «的一次武时，有一种简價的 运算方摄嫁合除法我们用一个例于来说明”如求/(x> H 4 5jt i 7除以-r + 2所得的商式和余式.K先用一般的竖式除法计算3才-jx + 2 ) 3才 +5；

3、- 73f七6上疋一7k 二 2_ 5所商戒为余数为一5.从运算中我们可以发现上述运算实际上是它们系数之间 的运算，所以我们可以省去字母，将上面的除法用下面的简 便方式来表示。_23 +5-7- 623-一5商式为3x- h余数为一5这种简便的除法.称为综合除法其演算过程如下：(1) 被除式按工的降幕排列好.依次写出各项的系数、遇 到缺项，必象用©补足，(2) 把除式J-d的常数项的相反数a写在各项系数的左边申彼 此用翌线隔开.(3) 下移第一个系数作为第三行的第一个散用它乘以s加上 第二个系敦，得到第三行的第二个数；再把这个数乘以5加上第三 个系数，就得列第三行的第三个数严，依此进

4、行运算，最话一个數即 为余戰杷它用线陽开线外就是商式的多项式系数3*余数定理和因式定理.由前面的（2）式当xa时，有f(a) R h) * g(丁) + r = r,因此.我f有以下直要定理jtits多项式心除以仗一町所得的余数等于3如求/（J）= 3 + 5x - 7除以x + 2的余烈解 由干无+ 2 = 了一（一2）,- 2> = 3 X （- 2）r + 5 X （- 2） - 7 =- 5.所以，所求的余数为一 5.这与我们前面用综合除法求得的余散相同.再由式知'如果/（»能餓工一立整躺那么胚有r = 0（£ 乙如果r=0.那么只旳豔被龙一血整除.由

5、Jt.Stll有，因式定理 若多项式fCc）能被疋一Q整除亦即ftr）有一F因 式左一町则f（a） 0 jfiii如果/（a> « 0+那么x a必为务项 式/4）的一个因式.例题讲解例1、求2护一 3P分+ 5工+6除以U+1）所得的商式和 余LW用编合除法计算如下乍_12_3-1+5+6254-12一 54'厂5所以鬲式为加一 5” +飪+ X余數为5, 例2、 求多項式fCr) = 3屮+ 5F灯一 5除以工一 2所得 的商式和余数|先按降幕井列，fg = 3 + 5+ 2才 一 $=一 2x° + 3x? + 5F + 0 * 澤一 5用僚合除法，怦算

6、如下12-2 +3 +54 -206_512所以*商式为一 2刃一一2 -136才+近+ 6,余数为77.说明 注意应先将只丈)按降轟排列，如果/(x>«项，应该用零 补足.例3、 用综合除法计算(6F 一 7P-F + 8) -r (2工+ 1)W 2x + l-2(x + |t 先用 3-7F-F + 8 除以工+ *.176 -7_10+ 8一 35-216 10429所以我们有6工'一7工'一工'十8=r + * | (6* - lOx2 + 4工- 2> + 9=2卜 + * y(6r* 10rz + 4工 _ 2) + 9(iz + 1

7、) (3a-1 - Sx1 + 2x - 1) + 9.因此所求的商式为3F 5P +肚一 I，余数为9*合除怯了*若通过计算得到fco说明 如果除式是一次式，但工前的系数不为1,即除式为（处 + b）. （a y= 0* a 1>* J8对先用fCc）除以工+ %这时就可用攥 工+吕*gCc）+厂.则/工）匸 斗工+工J* *冷（工）+ r =（4J + 6）* y 9（-i） +尸因此所 求的商武是扌' g（x）>余数仍为rt例4、（1）求工一1除f（“ = 7?4? - 6F + 5所再的余求肚一 2除/（x） = 7" 4*6* + 5所得的余数.解（1）

8、由余数定理,所求的余数为/（!） = 7 X Is - 4 X 11 - 6 X I2 + 5 = 2. 由例3的说明播们知道/刃除以心+ 6的余数和找工） 除以工+ £的余数是相同的.所以卜7P 4弋一 6才+ 5除以2工一 2的余数和7卡心_ 6” + 5除以工一1的余数相同，于是，所求 的余数为/（） = 7 X I5 - 4 X ? - 6 X T + 5 - 2.'说明 本题也可用擦合除法求解.例 5、设 f(jc) = 3/ + 10/ 一 15? 一 如 + 肚 + 仏求解 先用嫁合除法，卄算幻于卜+ *卜3+10-15-9+8+7_361339-18-39|

9、4求得fGr) -r jx + |j的余数为仏根据余数定理彳一*| =讥例6、多顼式f(H)除以工一 1“_2所得的余敎分别为3和5* 求/(工)除以(x 一 1)(龙-2)所得的余式B根据题意由余数定理，知/(I) = 3, /(2) = 5：设f Cr)除以(J 一 1)&一 2)后所得商式为gQ人余式为处+ 札(因为除式是二次的，所以余式至多是一次的几则了(工)=(X 1)(t 2) * y(jr) + (心 + b)r所以，有,/(1) = + 6 = 3f(1>/(2)=加十右=5.(2>A(l)> (2)薛辭莊=2" z 1.因此所求的余式为甘十

10、1.说明 余数定理讨论的是fCr>除以一次式x-a的余数问 当除式超过一次时.余式的形式就变得复杂了本题的方法具有普遍 性.可看作E余数定却的一种推广”例7、证明|当是不相等的常数时*若关于丁的整式fCr) ft z-a和工一6整除，則/Q)也被(x 一 Hr -4)1除逵明 设只工)被(j- a)(j 6)除时*商式为q(x) *余式为 mx + s其中n为持定常数丫則/(j*)=(工a)才b * q(x) + mx + 乩因为/(幻能被亠山和工一&整除由因式定理得1/(a) = (口 a(<j b) qS + ma + n = 0f tb、= (b a)(6 b) *

11、qtb> + tnb 4- *i = 0»即 ma + n = 0,(1)mb H- n = 0*(2)由1) (2)得 3 = 0,又因为ab.所以祖工a把？w = 0代人(l),得用=Q所以林r +斤=0,因此JCr)除以(j-a)(j-6)的余式为0. 即/(工)被U-aHr-b)整除，例8、 试确定ci和b的值、便fB = 2 - 3x3 + 2 + 5工+0 肢 Cr+l)Cr 2)整除.解 因为/Gr)被"十1)(工一 2)廉除，所以化工被上+ 1和 x- 2整除，很据因式定理，有/(-I) 一 ZX(-l)4-3X(-l)5+dX(-l)2 + SX(-

12、1)+6=口 + b = 0,f = 2X24-3X2j+«X2s + 5X2 + A= 4 + 5+18 = 0、即a + = 0,4a + 6 + 18 3 0-解之得练 习 题仁|求2P十5+ - 4* + 8除以置十3所得的商丈及余数.2、：（27J 一 9贰 + 5一 2）壬（3x 2）.3、设/（j）二十+ W W 虹+ 11被工+ 3整除”试耒左的艇4、舌'5、设fa、=才一盘戸一加+ 2被（z + 1）（工+ 2）整除*求 s 6的值6、多项式fCr）除以Q-2）和（龙一 3）所得的余数分别为k 2.阶试求f（"除以（r - l）（z - 2）U - 3）所得的 余式*7、已迪多项式f（小=12 ft x - 2和忑3越躺试求叭丘的值*并求/（刃除以Gr 2）U 一 3）馬所得的 商式.8、设 M = lrs- 17 + 12'+ &r? + 9z + 8t 求 /（- jX9、巳知关干畫的三次多项式除以卡一