课堂导学（1.3.1利用导数判断函数的单调性）

1、.课堂导学三点剖析一、运用导数求函数的单调区间【例1】 求以下函数的单调区间.1y=x4-2x2+6;2y=-lnx+2x2.思路分析:求出导数y,分别令y>0或y<0,解出x的取值范围,便可得出单调区间.解：1y=4x3-4x,令y>0,即4x3-4x>0,解得-1<x<0或x>1,所以单调增区间为-1,0和1,+.令y<0,解得x<-1或0<x<1,因此单调减区间为-,-1和0,1.2y=4x-,令y>0,即4x->0,解得<x<0或x>令y<0,即4x-<0,解得x<-或0&

2、lt;x<.定义域为x>0,单调增区间为,+,单调减区间为0,.温馨提示 在求单调区间时,一定要在定义域内考虑.二、函数单调性的逆向应用【例2】 假设函数fx=x3-ax2+a-1x+1在区间1,4内为减函数,在区间6,+上为增函数,试务实数a的取值范围.解：函数fx的导数fx=x2-ax+a-1.令fx=0,解得x=1或x=a-1.当a-11,即a2时,函数fx在1,+上为增函数,不合题意.当a-1>1,即a>2时,函数fx在-,1上为增函数,在1,a-1内为减函数,在a-1,+上为增函数.依题意应有当x1,4时,fx<0;当x6,+时,fx>0.所以4a

3、-16,解得5a7.所以a的取值范围是5,7.温馨提示 此题主要考察导数的概念和计算,应用导数研究函数单调性的根本方法,考察综合运用数学知识解决问题的才能.三、运用导数证明不等式【例3】 当x0,时,证明tanx>x.思路分析：首先构造函数fx=tanx-x,然后判断fx在0,上的单调性.证明:设fx=tanx-x,x0,.fx=-1=-1=-1=tan2x>0.fx在0, 上为增函数.又fx=tanx-x在 x=0处可导且f0=0,当x0,时,fx>f0恒成立,即tanx-x>0.tanx>x.温馨提示 对于tanx的导数,它不是初等函数的导数,可先变换成初等函

4、数的导数,然后根据运算法那么求导.各个击破类题演练1证明函数fx=ex+e-x在0,+上是增函数.证明:fx=ex+,=ex+-=ex-e-x=.当x0,+时,ex1,fx0.fx=ex+e-x在0,+上为增函数.变式提升1xR,求证:exx+1.证明:令fx=ex-x-1,fx=ex-1.x0,+,ex-10恒成立,即fx0.fx为增函数.当x-,0时,fx=ex-1<0,fx是减函数.又f0=0,当xR时fxf0,即ex-x-10.exx+1.类题演练2 2019河南郑州二模,8 函数y=fx的图象过原点且它的导函数g=fx的图象是右图所示的一条直线，那么y=fx图象的顶点在 A.第

5、象限 B.第象限 C.第象限 D.第象限解:设g=fx=kx+bk<0,b>0,那么y=fx=ax2+bx+c;那么fx=2ax+b,由此可知a<0,b>0,又因为函数y=fx图象过原点,所以c=0,故y=ax2+bx+c的顶点:x=>0,y=>0,应选A.答案:A变式提升2 确定函数fx=x2-4x+3的单调区间.解:fx=2x-4.令2x-4>0,解得x>2.宋以后，京师所设小学馆和武学堂中的老师称谓皆称之为“教谕。至元明清之县学一律循之不变。明朝入选翰林院的进士之师称“教习。到清末，学堂兴起，各科老师仍沿用“教习一称。其实“教谕在明清时还有

6、学官一意，即主管县一级的教育生员。而相应府和州掌管教育生员者那么谓“教授和“学正。“教授“学正和“教谕的副手一律称“训导。于民间，特别是汉代以后，对于在“校或“学中传授经学者也称为“经师。在一些特定的讲学场合，比方书院、皇室，也称老师为“院长、西席、讲席等。因此函数fx的单调增区间为2,+.令2x-4<0,解得x<2.因此函数fx的单调减区间为-,2.类题演练 3求证:2>3-x>1.证明:令fx=2-3+,那么fx=.x>1时,x2>0.fx=>0.fx在1,+上为增函数.当x>1时,fx>f1=2-3+1=0.当x>1时,2x&g

7、t;3-.变式提升3 函数fx与gx均为闭区间a,b上的可导函数,且fx>gx,fa=ga,证明:当xa,b时,fx>gx.证明:设Fx=fx-gx,那么Fx=fx-gx>0,所以Fx=fx-gx在区间a,b上单调递增.唐宋或更早之前，针对“经学“律学“算学和“书学各科目，其相应传授者称为“博士，这与当今“博士含义已经相去甚远。而对那些特别讲授“武事或讲解“经籍者，又称“讲师。“教授和“助教均原为学官称谓。前者始于宋，乃“宗学“律学“医学“武学等科目的讲授者；而后者那么于西晋武帝时代即已设立了，主要协助国子、博士培养生徒。“助教在古代不仅要作入流的学问，其教书育人的职责也十清

8、楚晰。唐代国子学、太学等所设之“助教一席，也是当朝打眼的学官。至明清两代，只设国子监国子学一科的“助教，其身价不谓显赫，也称得上朝廷要员。至此，无论是“博士“讲师，还是“教授“助教，其今日老师应具有的根本概念都具有了。所以对任意xa,b,fx-gx>fa-ga=0,家庭是幼儿语言活动的重要环境，为了与家长配合做好幼儿阅读训练工作，孩子一入园就召开家长会，给家长提出早期抓好幼儿阅读的要求。我把幼儿在园里的阅读活动及阅读情况及时传递给家长，要求孩子回家向家长朗读儿歌，表演故事。我和家长共同配合，一道训练，幼儿的阅读才能进步很快。即fx>gx.死记硬背是一种传统的教学方式,在我国有悠久的历