不动点法求数列的通项讲座

1、不动点法求数列的通项惠来县第一中学 方文湃自从实施新课程标准，使用新教材以来，高考题中出现了数列的解答题的次数好象不少。如2007年普通高考广东数学理科卷压轴题第21题 、2011年普通高等学校招生全国统一考试数学广东卷理科第20题 ，这两道题都是已知数列的递推式，求它的的通项公式，并且求法都与“不动点”有关。记函数f(x)的定义域为D，若存在D，使f()成立，则称（，）为坐标的点为函数f(x)图象上的不动点。以此类推，在数列an中，an+1=f(an)(nN+)，若存在满足方程f()，称为不动点方程f()的根。下面介绍的一些数列，可先求生成函数（递推式）的不动点，通过换元后，化为等差、等比数

2、列，再求这些数列的通项，这一方法，我们不妨称为不动点法。一、递推式为an+1=aan+b(a 0,a 1,a,b均为常数)型的数列由递推式an+1=aan+b总可变形为an+1=a（an）（）（） 式中的与系数a,b 存在怎样的关系呢？由（）得an+1=aanab=a即a+b（）关于的方程（）刚好是递推式an+1=aan+b中的an，an+1都换成得到的不动点方程。令bn=an代入（）得bn+1=abn一般来说，可先求等比数列bn的通项，再求数列an的通项。例：在数列an中，已知a1=1,an+1=1an (nN+),求a。解：令x=1x得x=an+1=1an= (an)令bn=an，则bn+

3、1=bn数列bn成首项为b1=a1=1=，公比为q的等比数列，于是有bn=()n1即an()n1an=1()na=限于篇幅，求这种类型的数列的通项，其它的解法就不说了。二、递推式为an+1=（c 0,a,b,c,d为常数）型的数列an+1=令可化得（）关于的方程（）刚好是递推式an+1=中的an，an+1都换成后的不动点方程。当方程（）有两个不同根，时，有an+1an+1令bn=有bnbn一般来说，可先求等比数列bn的通项，后求数列an的通项。例：数列an由a=2，an+1=（n1）给出，求a。解：令x=,得x1 =1,x2 =-1，于是有an+1- 1 =an+1+1 =·设bn=

4、,则bn+1 =bn这样数列bn成首项为b1 =,公比为的等比数列, 于是bn =·,由bn=得an=a=1当方程（）出现重根同为时，由an+1得设cn=得cncn即数列cn的递推式总可化为“cnacn+b（a，b为常数）型”，又一次运用不动点法求得数列cn的通项，从而求数列an的通项。例:在数列an中，an=1, a= (n=1,2)。求a。解：令x=,得x1=x2=0设bn=,则由a=可得b=bn+bn成为首项为1,公差为的等差数列,于是 b=1+a=需要指出的是，上述方法同样适用于方程（）两根不同的情形。对例，可设cn=（或cn=），我们运用上述方法来求数列an的通项。例另解：

5、令x=,得x1 =1,x2 =-1，于是有an+1- 1 =+令bn=，则b1=1，bn+1=2bn+ 令2+得bn+1+=2bn+ +=2(bn+ )bn + 成首项为b1+= ，公比为的等比数列，于是有bn+ =×2n-1bn=×2n-1-= (3×2n-1-1)代入bn=得an=1+=1+=1+a=1小结解法：一般地，设，是关于的方程的两个根，对递推式为（为常数）型的数列，可以有以下两种方法来求其通项：解法一：设cn=（或）得cncn，即 的递推式为（为常数）型的数列；求的通项，再求的通项。解法二: 设，证数列bn成首项为b1 =的等比数列；求的通项，再求的

6、通项。当方程有重根时，解法二无法进行。以下是2011年普通高等学校招生全国统一考试数学广东卷理科第20题第（1）小题的不同解法：20.（本小题共14分）设b>0,数列满足a1=b，.（1）求数列的通项公式；解法一：（1）由设，则有当时，当时，有数列为首项为 ，公比为的等比数列 即 综上得 解法二: 由设，则有令，得由得得是首项为，公比为的等比数列，于是 解得即 *关于周期数列：1.已知数列中，则= 2.已知数列中，则= 3.已知数列中，则= 4.数列中，求这个数列的通项公式，并计算的值。因为以上数列的递推式其对应的函数f(x)都是周期函数（，为常数）：(1)，则的周期T=2a；(2)，则

7、的周期T=2a；(3)，则的周期T=3a；(4) ，则的周期T=4a；故以上数列数列均为周期数列，这几道题目的按周期数列去做更方便。三、递推式为an+1=(b,d为常数)型的数列先看2007年普通高考广东数学理科卷压轴题第21题：已知函数f (x)=x2+x1, ,是方程f(x)的两个根（>）,f/（x）是f (x)的导数，a1 =1,an+1=an (n=1,2)(1) 求,的值;(2) 证明:对任意的正整数n,都有an >(3) 记b n =ln(n=1,2), 求数列bn的前n项和sn 。这道题第(3)小题可以按如下来求b n:an+1= = ()同理an+1 = ()()&

8、#247;()得: = 于是得ln=2 ln设bn= ln,则bn+1=2bn，故数列bn成首项为b1=ln=4ln，公比为2的等比数列,故b n=2n+1 ln。当然由bn=2ln 可求a n 。方程f (x)=x2+x1=0的两根,与递推式an+1=an =有何关系呢?仔细推敲,方程x2+x1=0正好是不动点方程x=的变形，,也是不动点方程x=的两根。是不是所有递推式形如“an+1 =”的数列都可用上述换元方法求an通项呢？下面举一反例给予否定。例如：对an+1= (n=1,2)，令 x= 解得 x1=1, x2= -an+1 1= 1 = 显然 an2 3an+2( an 1)2 。当系

9、数a,b,c,d怎样时，才可运用上述换元方法求呢？an+1- =令an2 + (a c) an + (b d) = ( an )2 =由恒等式得： 把()式中改为x得: x2 + d x b =0 ()方程（）正好是当a=0,c=2时递推式“an+1=”的不动点方程x= 的变形。所以,对已知初始值a1(或数列an的某一项),递推式为an+1=（b,d为常数，n为正整数）的数列an，设,是不动点方程x= 的两根,可按下列方法求数列an的通项：当a1=或，数列an为常数数列，an=或；当a1且a1，若，设bn=ln| , 证bn为等比数列，后求an ；当a1=时，由不动点方程x= 得 x2 + d x b =0 = d2+4b=0， b = 此时 an+1= ， an+1+先求等比数列bn = an + 的通项，后求an 。 例4： 设a>2,给定