上海市黄浦区高三数学二模理试卷及解析

1、上海市黄浦区2016年高考数学二模试卷（理科）（解析）一、填空题（本大题满分56分）本大题共有14题，考生应在答题卷的相应编号的空格内直接填写结果，每题填对得4分，否则一律得零分1已知集合A=1，3，2m1，集合B=3，m2若BA，则实数m=2计算： =3函数的反函数f1（x）=4函数f（x）=（sinxcosx）2的最小正周期为5在极坐标系中，直线（cos+2sin）=1与直线sin=1的夹角大小为（结果用反函数值表示）6已知菱形ABCD，若|=1，A=，则向量在上的投影为7已知一个凸多边形的平面展开图由两个正六边形和六个正方形构成，如图所示，若该凸多面体所有棱长均为1，则其体积V=8已知函

2、数f（x）=x3+lg（+x），若f（x）的定义域中的a、b满足f（a）+f（b）3=f（a）+f（b）+3，则f（a）+f（b）=9在代数式（4x22x5）（1+）5的展开式中，常数等于10若椭圆上的点到焦点的距离的最小值为5，最大值为15，则椭圆的短轴长为11有红、黄、蓝三种颜色，大小相同的小球各三个，在每种颜色的3个小球上分别标上号码1、2、3，现任取出3个，它们的颜色号码均不相等的概率是12设离散型随机变量可能取到值为1，2，3，P（）=ak+b（k=1，2，3），若的数学期望E=，则a+b=13正整数a、b满足1ab，若关于x、y的方程组有且只有一组解，则a的最大值为14已知数列an

3、中，若a1=0，ai=k2（iN*，2ki2k+1，k=1，2，3，），则满足ai+a2i100的i的最小值为二、选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案，考生应在答题卷的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分15已知直角坐标平面上两条直线方程分别为l1：a1x+b1y+c1=0，l2：a2x+b2y+c2=0，那么“=0是“两直线l1，l2平行”的（）A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件16复数z=（mR，i为虚数单位）在复平面上对应的点不可能位于（）A第一象限B第二象限C第三象限D第四象限17若ABC的三条边a、

4、b、c满足（a+b）：（b+c）：（c+a）=7：9：10，则ABC（）A一定是锐角三角形B一定是直角三角形C一定是钝角三角形D可能是锐角三角形也可能是钝角三角形18若函数f（x）=lgsin（x）sin（2x）sin（3x）sin（4x）的定义域与区间0，1的交集由n个开区间组成，则n的值为（）A2B3C4D5三、解答题（本大题满分74分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题卷的相应编号规定区域内写出必要的步骤19如图，小凳的凳面为圆形，凳脚为三根细钢管，考虑到钢管的受力等因素，设计的小凳应满足：三根细钢管相交处的节点P与凳面圆心O的连线垂直于凳面和地面，且P分细钢管上下两端的比值为0.6

5、18，三只凳脚与地面所成的角均为60°，若A、B、C是凳面圆角的三等分点，AB=18厘米，求凳面的高度h及三根细钢管的总长度（精确到0.01）20已知函数f（x）=asinx+bcosx，其中a，b为非零实常数（1）f（）=，f（x）的最大值为，求a，b的值；（2）若a=1，x=是f（x）的图象的一条对称轴，求x0的值，使其满足f（x0）=，且x00，221已知函数f（x）=ax+，其中 a1：（1）证明：函数f（x）在（1，）上为增函数；（2）证明：不存在负实数x0使得f（x0）=022已知数列an的通项公式为 an=（nk1）（nk2），其中k1，k2Z：（1）试写出一组k1，k

6、2Z的值，使得数列an中的各项均为正数；（2）若k1=1、k2N*，数列bn满足bn=，且对任意mN*（m3），均有b3bm，写出所有满足条件的k2的值；（3）若0k1k2，数列cn满足cn=an+|an|，其前n项和为Sn，且使ci=cj0（i，jN*，ij）的i和j有且仅有4组，S1、S2、Sn中至少3个连续项的值相等，其他项的值均不相等，求k1，k2的最小值23对于双曲线C（a，b）：=1（a，b0），若点P（x0，y0）满足1，则称P在C（a，b）的外部，若点P（x0，y0）满足1，则称C（a，b）在的内部；（1）若直线y=kx+1上的点都在C（1，1）的外部，求k的取值范围；（2）若

7、C（a，b）过点（2，1），圆x2+y2=r2（r0）在C（a，b）内部及C（a，b）上的点构成的圆弧长等于该圆周长的一半，求b、r满足的关系式及r的取值范围；（3）若曲线|xy|=mx2+1（m0）上的点都在C（a，b）的外部，求m的取值范围2016年上海市黄浦区高考数学二模试卷（理科）参考答案与试题解析一、填空题（本大题满分56分）本大题共有14题，考生应在答题卷的相应编号的空格内直接填写结果，每题填对得4分，否则一律得零分1已知集合A=1，3，2m1，集合B=3，m2若BA，则实数m=1【分析】根据题意，若BA，必有m2=2m1，而m2=1不合题意，舍去，解可得答案，注意最后进行集合元素

8、互异性的验证【解答】解：由BA，m21，m2=2m1解得m=1验证可得符合集合元素的互异性，此时B=3，1，A=1，3，1，BA满足题意故答案为：1【点评】本题考查元素的互异性即集合间的关系，注意解题时要验证互异性，属于基础题2计算： =【分析】分子分母同时除以3n，原式简化为，由此求出值即可【解答】解：故答案为：【点评】本题是一道基础题，考查函数的极限，解题时注意消除零因式3函数的反函数f1（x）=（x1）3【分析】欲求原函数f（x）=x3+1的反函数，即从原函数式中反解出x，后再进行x，y互换，即得反函数的解析式【解答】解： =y，x=（y1）3，x，y互换，得y=（x1）3故答案为 （x

9、1）3【点评】解答本题首先熟悉反函数的概念，然后根据反函数求解三步骤：1、换：x、y换位，2、解：解出y，3、标：标出定义域，据此即可求得反函数4函数f（x）=（sinxcosx）2的最小正周期为【分析】化简函数的表达式为 一个角的一个三角函数的形式，然后利用周期公式求出函数的周期【解答】解：函数f（x）=（sinxcosx）2=12sinxcosx=1six2x；所以函数的最小正周期为：T=，故答案为：【点评】本题是基础题，考查三角函数的化简周期的求法，考查计算能力5在极坐标系中，直线（cos+2sin）=1与直线sin=1的夹角大小为arctan（结果用反函数值表示）【分析】利用直角坐标与

10、极坐标间的关系，把记极坐标方程化为直角坐标系方程，再利用直线的直角坐标方程求出它们的夹角即可【解答】解：把极坐标方程（cos+2sin）=1与sin=1化为普通方程是x+2y=1与y=1；又直线x+2y=1与y=1夹角的正切值为，所以直线（cos+2sin）=1与直线sin=1的夹角大小为arctan故答案为：arctan【点评】本题考查了极坐标和直角坐标的互化问题，能进行极坐标和直角坐标的互化，是解题的关键6已知菱形ABCD，若|=1，A=，则向量在上的投影为【分析】由题意作图辅助，解菱形，从而求得向量在上的投影【解答】解：在菱形ABCD中，A=，CAB=，又|=1，|=2|cos=，向量在

11、上的投影为|cos=，故答案为：【点评】本题考查了数形结合的思想方法应用及平面向量的应用，属于中档题7已知一个凸多边形的平面展开图由两个正六边形和六个正方形构成，如图所示，若该凸多面体所有棱长均为1，则其体积V=【分析】多面体为正六棱柱，底面边长和高都是1【解答】解：由多面体的展开图可知此多面体为正六棱柱，底面边长和高均为1正六棱柱的底面积S=多面体的体积V=Sh=故答案为【点评】本题考查了棱柱的结构特征和体积计算，属于基础题8已知函数f（x）=x3+lg（+x），若f（x）的定义域中的a、b满足f（a）+f（b）3=f（a）+f（b）+3，则f（a）+f（b）=3【分析】由已知得f（x）是奇

12、函数，由此利用奇函数的性质能求出f（a）+f（b）【解答】解：f（x）=x3+lg（+x），f（x）=x3lg（+x）=f（x），f（x）的定义域中的a、b满足f（a）+f（b）3=f（a）+f（b）+3，2f（a）+f（b）=6，f（a）+f（b）=3故答案为：3【点评】本题考查函数值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意函数的性质的合理运用9在代数式（4x22x5）（1+）5的展开式中，常数等于15【分析】（1+）5的展开式的通项公式Tr+1=令2r=2，2r=1，2r=0，分别解出即可得出【解答】解：（1+）5的展开式的通项公式Tr+1=令2r=2，2r=1，2r=0，分别解得：r=1

13、，r=（舍去），r=0常数项=45=205=15故答案为：15【点评】本题考查了二项式定理的应用，考查了推理能力与计算能力，属于基础题10若椭圆上的点到焦点的距离的最小值为5，最大值为15，则椭圆的短轴长为10【分析】不妨设椭圆的标准方程为： =1（ab0），a2=b2+c2利用已知可得ac=5，a+c=15，解出即可得出【解答】解：不妨设椭圆的标准方程为： =1（ab0），a2=b2+c2椭圆上的点到焦点的距离的最小值为5，最大值为15，ac=5，a+c=15，b2=a2c2=5×15=75b=5则椭圆的短轴长为10故答案为：10【点评】本题考查了椭圆的标准方程及其性质，考查了推理

14、能力与计算能力，属于中档题11有红、黄、蓝三种颜色，大小相同的小球各三个，在每种颜色的3个小球上分别标上号码1、2、3，现任取出3个，它们的颜色号码均不相等的概率是【分析】根据排列组合求出，所有的基本事件，再求出满足条件的基本事件，根据概率公式计算即可【解答】解：红、黄、蓝三种颜色，大小相同的小球各三个，在每种颜色的3个小球上分别标上号码1、2、3，现任取出3个，共有C93=84，它们的颜色和号码均不相等的取法有A33=3×2×1=6种，故它们的颜色号码均不相等的概率是=，故答案为：【点评】本题考查了古典概率问题，关键是利用排列组合，属于基础题12设离散型随机变量可能取到值

15、为1，2，3，P（）=ak+b（k=1，2，3），若的数学期望E=，则a+b=【分析】由已知得（a+b）+2（2a+b）+3（3a+b）=，且a+b+2a+b+3a+b=1，由此能求出a+b【解答】解：设离散型随机变量可能取到值为1，2，3，P（）=ak+b（k=1，2，3），的数学期望E=，（a+b）+2（2a+b）+3（3a+b）=，且a+b+2a+b+3a+b=1，解得a=，b=0，a+b=故答案为：【点评】本题考查代数式的值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意离散型随机变量的分布列和数学期望的性质的合理运用13正整数a、b满足1ab，若关于x、y的方程组有且只有一组解，则a的最大值

16、为4031【分析】化简可得40332x=|x1|+|x+a|+|xb|，从而讨论以去掉绝对值号，并确定方程的解的个数及条件，从而解得【解答】解：由方程组消y可得，40332x=|x1|+|x+a|+|xb|，当xa时，40332x=1xxax+b，故x=ba4032，故当x=ba4032a，即b4032时，有一个解；即a4031时，有一个解；否则无解；当ax1时，40332x=1x+x+ax+b，故x=4032ab，故当a4032ab1，即b4032且a+b4301时，有一个解；即2015a4030，有一个解，否则无解；当1xb时，40332x=x+a+b1，故3x=4034ab，故当3403

17、4ab3b，即a+b4031且a+4b4304时，有一个解；即a2014，方程有一个解，否则无解；当xb时，40332x=3x+ab1，故5x=4034a+b，故当4034a+b5b，即a+4b4304时，有一个解；否则无解；综上所述，当a取最大值4031时，方程有一个解，故答案为：4031【点评】本题考查了绝对值方程的解法及分类讨论的思想方法应用，属于中档题14已知数列an中，若a1=0，ai=k2（iN*，2ki2k+1，k=1，2，3，），则满足ai+a2i100的i的最小值为128【分析】由题意可得ai+a2i=k2+（k+1）2100，从而解得【解答】解：ai=k2（iN*，2ki2

18、k+1，k=1，2，3，），ai+a2i=k2+（k+1）2100，故k7；故i的最小值为27=128，故答案为：128【点评】本题考查了数列，注意i与2i的关系对k的影响即可二、选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案，考生应在答题卷的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分15已知直角坐标平面上两条直线方程分别为l1：a1x+b1y+c1=0，l2：a2x+b2y+c2=0，那么“=0是“两直线l1，l2平行”的（）A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件【分析】两条直线平行时，一定可以得到a1b2a2b1=0成立，反

19、过来不一定成立，由此确定两者之间的关系【解答】解：若“=0则a1b2a2b1=0，若a1c2a2c1=0，则l1不平行于l2，若“l1l2”，则a1b2a2b1=0， =0，故“=0是“两直线l1，l2平行的必要不充分条件，故选：B【点评】本题重点考查四种条件的判定，解题的关键是理解行列式的定义，掌握两条直线平行的条件16复数z=（mR，i为虚数单位）在复平面上对应的点不可能位于（）A第一象限B第二象限C第三象限D第四象限【分析】复数分子、分母同乘分母的共轭复数，虚数单位i的幂运算性质，化简复数到最简形式为a+bi（a、bR）的形式，分析实部和虚部的大小关系【解答】解：z=（mR，i为虚数单位

20、）=，此复数的实部为 m1，虚部为 m+1，虚部大于实部，故复数的对应点不可能位于第四象限，故选 D【点评】本题考查复数的实部和虚部的定义，两个复数代数形式的乘除法，虚数单位i的幂运算性质17若ABC的三条边a、b、c满足（a+b）：（b+c）：（c+a）=7：9：10，则ABC（）A一定是锐角三角形B一定是直角三角形C一定是钝角三角形D可能是锐角三角形也可能是钝角三角形【分析】不妨设a+b=7，则b+c=9，c+a=10，求出a、b、c的值，再利用余弦定理求出最大角的余弦值，从而得出结论【解答】解：（a+b）：（b+c）：（c+a）=7：9：10，不妨设a+b=7，则b+c=9，c+a=10

21、，求得 a=4，b=3，c=6再利用余弦定理可得cosC=0，故C为钝角，故选：C【点评】本题主要考查余弦定理的应用，属于基础题18若函数f（x）=lgsin（x）sin（2x）sin（3x）sin（4x）的定义域与区间0，1的交集由n个开区间组成，则n的值为（）A2B3C4D5【分析】由题意可得sin（x）sin（2x）sin（3x）sin（4x）0，而当x（0，1）时，sin（x）0恒成立；当0x时，sin（2x）0，当x1时，sin（2x）0，问题变成了求在0x时，sin（3x）与sin（4x）同号得区间，及x1时，sin（3x）与sin（4x）异号的区间然后由三角函数的象限符号求解即可

22、【解答】解：要使原函数有意义，则sin（x）sin（2x）sin（3x）sin（4x）0，当x（0，1）时，sin（x）0恒成立；即sin（2x）sin（3x）sin（4x）0若sin（2x）0，得2k2x+2k，即kx，取k=0，得0x；若sin（2x）0，得+2k2x2+2k，即x1+k，取k=0，得x1；只需sin（3x）与sin（4x）在（0，）上同号，在（）上异号若sin（3x）0，得2k3x+2k，即x，取k=0，得0x取k=1，得；若sin（3x）0，得+2k3x2+2k，即x，取k=0，得x；若sin（4x）0，得2k4x+2k，即x，取k=0，得0x取k=1，得；若sin（4

23、x）0，得+2k4x2+2k，即+x，取k=0，得x取k=1，得满足sin（x）sin（2x）sin（3x）sin（4x）0且在0，1内的区间为：（0，），（），（），（），共4个n的值为4故选：C【点评】本题考查函数的定义域及其求法，考查了分类讨论的数学思想方法，训练了三角函数的象限符号，是中档题三、解答题（本大题满分74分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题卷的相应编号规定区域内写出必要的步骤19如图，小凳的凳面为圆形，凳脚为三根细钢管，考虑到钢管的受力等因素，设计的小凳应满足：三根细钢管相交处的节点P与凳面圆心O的连线垂直于凳面和地面，且P分细钢管上下两端的比值为0.618，三只凳脚

24、与地面所成的角均为60°，若A、B、C是凳面圆角的三等分点，AB=18厘米，求凳面的高度h及三根细钢管的总长度（精确到0.01）【分析】连结PO，AO，由题意PO平面ABC，推导出PAO=60°，AO=6，PO=18，由此能求出凳面的高度h及三根细钢管的总长度【解答】解：连结PO，AO，由题意PO平面ABC，凳面与地面平行，PAO是PA与平面ABC所成的角，即PAO=60°，在等边三角形ABC中，AB=18，AO=6，在直角PAO中，PO=AB=18，由，解得h47.13cm，三根钢管总长度为163.25cm【点评】本题考查空间直线与平面的位置关系，考查空间图形的

25、基本知识和基本技能，是中档题，解题时要认真审题，注意理解和掌握初等数学中有关图形与几何的基本知识20已知函数f（x）=asinx+bcosx，其中a，b为非零实常数（1）f（）=，f（x）的最大值为，求a，b的值；（2）若a=1，x=是f（x）的图象的一条对称轴，求x0的值，使其满足f（x0）=，且x00，2【分析】（1）由f（）=，可得a+b=2，又f（x）=sin（x+），其中tan=，f（x）的最大值为，可得： =，联立即可解出a，b的值（2）由a=1，可得f（x）=sin（x+），其中tan=b，由题意+=k+，kz，可得，根据tan（k+）=b，可求，由f（x0）=，解得：x0+=2

26、k+，或x0+=2k+，kZ，结合范围x00，2，即可得解【解答】解：（1）f（）=（a+b）=，a+b=2，f（x）=asinx+bcosx=（sinx+cosx）=sin（x+），其中tan=，f（x）的最大值为，可得： =联立可得：，（2）a=1，可得：f（x）=sinx+bcosx=sin（x+），其中tan=b，根据直线x=是其图象的一条对称轴，可得+=k+，kz，可得=k+，tan（k+）=tan=b，故=，故f（x）=2sin（x+）f（x0）=，可得：2sin（x0+）=，解得：x0+=2k+，或x0+=2k+，kZ，解得：x0=2k，或x0=2k+，kZ，又x00，2x0=0

27、或或2【点评】本题主要考查了两角和与差的三角函数公式，正弦函数的图象和性质，涉及辅助角公式和三角函数的最值，属中档题21已知函数f（x）=ax+，其中 a1：（1）证明：函数f（x）在（1，）上为增函数；（2）证明：不存在负实数x0使得f（x0）=0【分析】（1）令g（x）=ax，（a1），则g（x）在R递增，令h（x）=，求出h（x）的导数，得到函数的单调性，从而判断出f（x）的单调性即可；（2）通过讨论x（，1）时，f（x）0，x（1，0）时，f（x）0，从而证明结论即可【解答】证明：函数f（x）的定义域是（，1）（1，+），（1）函数f（x）=ax+，其中 a1，令g（x）=ax，（a1

28、），则g（x）在R递增，令h（x）=，则h（x）=0，函数f（x）在（1，）上为增函数；（2）x（，1）时，0ax1，=1，x时：x+1，0，x1时，+，故x（，1）时：f（x）（1，+），x（1，0）时，由（1）得：f（x）在（1，0）递增，而f（0）=a0+=2，f（x）0在（1，0）恒成立，综上：不存在负实数x0使得f（x0）=0【点评】本题考查了函数的单调性问题，考查导数的应用，是一道中档题22已知数列an的通项公式为 an=（nk1）（nk2），其中k1，k2Z：（1）试写出一组k1，k2Z的值，使得数列an中的各项均为正数；（2）若k1=1、k2N*，数列bn满足bn=，且对任意m

29、N*（m3），均有b3bm，写出所有满足条件的k2的值；（3）若0k1k2，数列cn满足cn=an+|an|，其前n项和为Sn，且使ci=cj0（i，jN*，ij）的i和j有且仅有4组，S1、S2、Sn中至少3个连续项的值相等，其他项的值均不相等，求k1，k2的最小值【分析】（1）通过函数f（x）=（xk1）（xk2）是与x轴交于k1、k2两点且开口向上的抛物线可知，只需知k1、k2均在1的左边即可；（2）通过k1=1化简可知bn=n+（1+k2），排除k2=1、2可知k23，此时可知对于f（n）=n+而言，当n时f（n）单调递减，当n时f（n）单调递增，进而解不等式组即得结论；（3）通过0k

30、1k2及an=（nk1）（nk2）可知cn=，结合ci=cj0（i，jN*，ij）可知0ik1k2j，从而可知k1的最小值为5，通过S1、S2、Sn中至少3个连续项的值相等可知5=k1m+1m+2k2，进而可得k2的最小值为6【解答】解：（1）k1=k2=0；（2）k1=1、k2N*，an=（nk1）（nk2），bn=n+（1+k2），当k2=1、2时，f（n）=n+均单调递增，不合题意；当k23时，对于f（n）=n+可知：当n时f（n）单调递减，当n时f（n）单调递增，由题意可知b1b2b3、b3b4，联立不等式组，解得：6k212，k2=7，8，9，10，11；（3）0k1k2，an=（nk1）（nk2），cn=an+|an|=，ci=cj0（i，jN*，ij），i、j（k1，k2），又cn=2n2（k1+k2）n+k1k2，=，0ik1k2j，此时i的四个值为1，2，3，4，故k1的最小值为5，又S1、S2、Sn中至少3个连续项的值相等，不妨设Sm=Sm+1=Sm+2=，则cm+1=cm+2=0，当k1nk2时cn=0，5=k1m+1m+2k2，k26，即k2的最小值为6【点评】本题考查数列的通项及前n项和，考查分类讨论的思想，注意解题方法的积累，属于难题23对于双曲线C（a，b）：=1（a，b0），若点P（x0，y0）满足1，则称P在C（