2018寒假半角模型

1、精选优质文档-倾情为你奉上半角模型 过等腰ABC（AB=AC）顶角A引两条射线且它们的夹角为12A，这两条射线与底角顶点的相关直线交于M、N两点，则BM、MN、NC之间必然存在固定的关系，这种关系仅与两条相关直线及顶角A相关 解决办法： 以A为中心，把CAN（顺时针或逆时针）旋转度，至ABN，连接MN 结论：1、AMNAMN，MN=MN 2、若BM、MN、NB共线，则存在x+y+z型的关系若不共线，则BMN中，MBN必与A相关应用环境：1、顶角为特殊角的等腰三角形，如顶角为30°、45°、60°、75°90°，或它们的补角为这些特殊角度的时候；

2、2、正方形、菱形等也能产生等腰三角形3、过底角顶点的两条相关直线：底边、底角两条角平分线、腰上的高、底角的邻补角的两条角平分线，底角的邻余角另外两边等；正方形或菱形的另外两边4、此等腰三角形的相关弦半角模型条件：思路：（1）、延长其中一个补角的线段（延长CD到E，使ED=BM ，连AE或延长CB到F，使FB=DN ，连AF ） 结论：MN=BM+DN AM、AN分别平分BMN和DNM（2） 对称（翻折） 思路:分别将ABM和ADN以AM和AN 为对称轴翻折，但一定要证明 M、P、N三点共线.（B+D=且AB=AD）例题应用：例1、在正方形ABCD中，若M、N分别在边BC、CD上移动，且满足MN

3、=BM +DN，求证：.MAN= . .AM、AN分别平分BMN和DNM. 思路同上略. 例2拓展：在正方形ABCD中，已知MAN=，若M、N分别在边CB、DC的延长线上移动， .试探究线段MN、BM 、DN之间的数量关系. .求证：AB=AH. （提示） 例3.在四边形ABCD中，B+D=，AB=AD，若E、F分别在边BC、CD上，且满足EF=BE +DF.求证： （提示）例4，在ABC中，AB=AC，BAC=2DAE=120°，若BD=5，CE=8，求DE。例五.请阅读下列材料：已知：如图1在中，点、分别为线段上两动点，若探究线段、三条线段之间的数量关系小明的思路是：把绕点顺时针

4、旋转，得到，连结，使问题得到解决请你参考小明的思路探究并解决下列问题：（1）猜想、三条线段之间存在的数量关系式，并对你的猜想给予证明； （2）当动点在线段上，动点运动在线段延长线上时，如图2，其它条件不变，中探究的结论是否发生改变？请说明你的猜想并给予证明 例6探究：（1）如图1，在正方形ABCD中，E、F分别是BC、CD上的点，且EAF45°，试判断BE、DF与EF三条线段之间的数量关系，直接写出判断结果： ；（2）如图2，若把(1)问中的条件变为“在四边形ABCD中，ABAD，BD180°，E、F分别是边BC、CD上的点，且EAF=BAD”，则（1）问中的结论是否仍然成

5、立？若成立，请给出证明，若不成立，请说明理由；（3）在（2）问中，若将AEF绕点A逆时针旋转，当点分别E、F运动到BC、CD延长线上时，如图3所示，其它条件不变，则（1）问中的结论是否发生变化？若变化，请给出结论并予以证明.练习巩固1：如图，在四边形ABCD中，B=D=，AB=AD，若E、F分别在边BC、CD 上的点，且. 求证：EF=BE +DF. （提示）练习巩固2，已知：正方形中，绕点顺时针旋转，它的两边分别交CB、DC（或它们的延长线）于点M、N （1）如图1，当绕点旋转到时，有当 绕点旋转到时，如图2，请问图1中的结论还是否成立？如果成立，请给予证明，如果不成立，请说明理由；（2）当

6、绕点旋转到如图3的位置时，线段和之间有怎样的等量关系？请写出你的猜想，并证明练习巩固3(1)如图，在四边形中，分别是边上的点，且求证：;(2) 如图在四边形中，分别是边上的点，且， (1)中的结论是否仍然成立？不用证明 (3) 如图，在四边形中，分别是边延长线上的点，且， (1)中的结论是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请写出它们之间的数量关系，并证明（4）如图，将边长为4cm的正方形纸片ABCD沿EF折叠（点E、F分别在边AB、CD上），使点B落在AD边上的点M处，点C落在点N处，MN与CD交于点P，连接EP（1）如图，若M为AD边的中点，AEM的周长=6cm；求证：EP=AE+DP；

7、（2）随着落点M在AD边上取遍所有的位置（点M不与A、D重合），PDM的周长是否发生变化？请说明理由（5）.如图17，正方形ABCD，E、F分别为BC、CD边上一点（1）若EAF=45º求证：EF=BE+DF（2）若AEF绕A点旋转，保持EAF=45º，问CEF的周长是否随AEF位置的变化而变化？ （3）已知正方形ABCD的边长为1，如果CEF的周长为2求EAF的度数练习巩固4.如图，五边形ABCDE中，AB=BC=CD=DE=EA，求BAE练习巩固5.如图，已知在正方形ABCD中，=45°，连接BD与AM，AN分别交于E、F两点。求证：（1）MN=MB+DN；

8、（2）点A到MN的距离等于正方形的边长； （3）的周长等于正方形ABCD边长的2倍； （4）； （5）若=20°，求； （6）若，求； （7）； （8）与是等腰三角形； （9）。练习巩固6.在等边的两边，所在直线上分别有两点为外一点，且，探究：当点分别爱直线上移动时，之间的数量关系及的周长与等边的周长的关系（1）如图，当点在边上，且时，之间的数量关系式_；此时_（2）如图，当点在边上，且时，猜想(1)问的两个结论还成立吗？写出你的猜想并加以证明；（3）如图，当点分别在边的延长线上时，若，则_(用表示)练习巩固7.如图所示，ABC是边长为1的等边三角形，BDC是顶角为120°

9、的等腰三角形，以D为顶点作一个60°的MDN，点M，N分别在AB，AC上，求AMN的周长练习巩固8.如图，在正方形ABCD中，BE=3，EF=5，DF=4，求BAE+DCF为多少度。巩固练习9、（三新练习册P131）如图1，RtABCRtEDF，ACB=F=90°，A=E=30°EDF绕着边AB的中点D旋转， DE，DF分别交线段AC于点M，K(1)如图2、图3，当CDF=0° 或60°时，AM+CK_MK(填“>”，“<”或“=”)如图4，当CDF=30° 时，AM+CK_MK(只填“>”或“<”)(2)猜想

10、：如图1，当0°CDF60°时，AM+CK_MK，证明你所得到的结论(3)如果，请直接写出CDF的度数和的值*必会结论- 图形研究正方形半角模型【例】已知：正方形，、分别在边、上，且，、分别交于、，连.一、全等关系（1）求证：；平分，平分.二、相似关系（2）求证：；.（3）求证：；.三、垂直关系（4）求证：；.（5)、和差关系求证：；. 中考链接-正方形二相关题型-半角模型1，（2016石景山28）在正方形ABCD中，E为边CD上一点，连接BE（1）请你在图-1画出BEM，使得BEM与BEC关于直线BE对称；（2）若边AD上存在一点F，使得AF+CE=EF，请你在图2中探究

11、ABF与CBE的数量关系并证明；（3）在（2）的条件下，若点E为边CD的三等分点，且CE<DE，请写出求cosFED的思路（可以不写出计算结果） 图1 图2 备用图答案石景山28（1）补全图形，如图1所示1分（2）与的数量关系： 2分证明：连接，延长到，使得，连接3分四边形为正方形， 4分= 5分（3）求解思路如下： a设正方形的边长为，为，则，；b在Rt中，由,可得 从而得到与的关系；c根据cosFED，可求得结果7分2，（2016门头沟28）在正方形ABCD中，连接BD（1）如图1，AEBD于E直接写出BAE的度数（2）如图1，在（1）的条件下，将AEB以A旋转中心，沿逆时针方向旋转

12、30°后得到AB'E'，AB'与BD交于M，AE'的延长线与BD交于N 依题意补全图1； 用等式表示线段BM、DN和MN之间的数量关系，并证明（3）如图2，E、F是边BC、CD上的点，CEF周长是正方形ABCD周长的一半，AE、AF分别与BD交于M、N，写出判断线段BM、DN、MN之间数量关系的思路（不必写出完整推理过程）门头沟28（本小题满分7分）解：（1）BAE=45°1分（2） 依题意补全图形（如图1）；2分 BM、DN和MN之间的数量关系是BM2+ND2=MN23分 证明：如图1，将AND绕点A顺时针旋转90°，得AFBAD

13、B=FBA，1=3，DN=BF，AF=AN正方形ABCD，AEBD，ADB=ABD=45°FBM=FBA +ABD=ADB+ABD=90°由勾股定理得FB2+BM2=FM2旋转ABE得到AB'E'，图1E'AB'=45°，2+3=90°45°=45°，又1=3，2+1=45°即FAM=45°FAM =E'AB'=45°又AM=AM，AF=AN，图2AFMANMFM=MN又FB2+BM2=FM2，DN2+BM2=MN25分（3）判断线段BM、DN、MN之间数量

14、关系的思路如下：a如图2，将ADF绕点A瞬时针旋转90°得ABG，推出DF=GB；b由CEF的周长等于正方形ABCD周长的一半，得EF=DF+BE； c 由DF=GB和EF=DF+BE推出EF=GE，进而得AEGAEF；d由AEGAEF推出EAF=EAG=45°；e与同理，可证MN2=BM2+DN27分3（. 2016一模（1）如图1，点E、F分别是正方形ABCD的边BC、CD上的点，EAF=45°，连接EF，则EF、BE、FD之间的数量关系是：EF=BE+FD连结BD，交AE、AF于点M、N，且MN、BM、DN满足，请证明这个等量关系；（2）在ABC中， AB=

15、AC，点D、E分别为BC边上的两点如图2，当BAC=60°，DAE=30°时，BD、DE、EC应满足的等量关系是_；如图3，当BAC=，(0°<<90°)，DAE=时，BD、DE、EC应满足的等量关系是_【参考：】5（1）如图1，ABC中，AB的垂直平分线交AC于点D，连接BD.若AC=2，BC=1，则BCD的周长为；（2）O为正方形ABCD的中心，E为CD边上一点，F为AD边上一点，且EDF的周长等于AD的长.在图2中求作EDF（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）；在图3中补全图形，求的度数；若，则的值为.25（本小题10分）已知RtABC中，有一个圆心角为，半径的长