31空间向量导学案

1、鹿邑二高导学案高二年级数学学科编写人：赵子东审核人:备课组长签字课题：课时：1本期总课时：3.1空间向量及其运算（一）教学目标：知识目标：1.空间向量；2湘等的向量；3.空间向量的加减与数乘运算及运算律能力目标：1.理解空间向量的概念，掌握其表示方法；2. 会用图形说明空间向量加法、减法、数乘向量及它们的运算律；3. 能用空间向量的运算意义及运算律解决简单的立体几何中的问题教学重点：空间向量的加减与数乘运算及运算律.教学难点：应 用向量解决立体几何问题 .教学过程：I .复习引入复习平面向量的基础知识：、的量叫向量.向量的表示方法有：用线段表示;用字母a、。等表不；用有向线段的字母:AB2、的

2、向量叫相等向量1向量的加法三角形法则平行四边形法则2.向量的减法3.实数与向量的积：实数入与向量a的积是一个向量，记作加，其长度和方向规定如下（1）1A1 = Ullal（2）当久0时，加与a当4V0时/la与a当义=0时，Xa=向量加法和数乘向量满足以下运算律加法交换律:a+b b+a加法结合律:(a+b)+c a+ (力 +c)数乘分配律：4 （ 0+力）=加+ 人力预习课本p84 85页新知识.空间中具的量叫做向量.例如空间的一个平移就是一个向量.那么我们怎样表示空间向量呢？相等的向量又是怎样表示的呢？与平面向量一样，空间向量也用有向线段表不，并且同向且等长的有向线段表示同一向量或相等的

3、向量.向量在空间中是可以平移的.空间任意两个向量都可以用同一平面内的两条有向线段表示.因此我们说 空间任意两个向量是OB = 0A + AB =a+b.空间向量的加法、减法、数乘向量的定义与平面向量的运算一样AB = OB- 0A (指向被减向量)，OP =Xa (2 e7?)At空间向量加法与数乘向量有如下运算律：加法交换律：a + b = b + a加法结合律：（a +）+ c=a + 0 + c ）；（课件验证）数乘分配律：人（a + b） =Xa +lb.空间向量加法的运算律要注意以下几点：首尾相接的若干向量之和，等于由起始向量的起点指向末尾向量的终点的向量+ 总& + &am

4、p;& + ? + A,A = 0即：W+ 人 2 人 3 + A3A4 +? + A, -1A, = A A,因此，求空间若干向量之和时，可通过平移使它们转化为首尾相接的向量首尾相接的若干向量若构成一个封闭图形，则它们的和为零向量.即:两个向量相加的平行四边形法则在空间仍然成立因此，求始点相同的两个向量之和时，可以考虑用平行四边形法则.例1已知平行六面体 ABCD - A'B'CD'（如图），化简下列向 量表达式, 并标岀化简结果的向量:(DAB +BC ;(2) AB + AD + AA' ; (3)AB + AD + CC1 * *(4)-(AB

5、+AD +AA').说明：由第2小题可知，始点相同且不在同一个平面内的三个向量之和，等于以这三个向量为棱的平行六面体的以公共始点为始点的对角线所表示的向量，这是平面向量加法的平行四边形法则向空间的推广.1.课本P86, 1、2、2.预习课本P86? P87,预习提纲：怎样的向量叫做共线向量？两个向量共线的充要条件是什么？空间中点在直线上的充要条件是什么？什么叫做空间直线的向量参数表示式？怎样的向量叫做共面向量？鹿邑三高导学案课题：3. 1. 2 课时：2 本期总课时：空间向量及其运算（2）一、课题：空间向量及其运算（2）二、教学目标：1 .理解共线向量定理和共面向量定理及它们的推论；2

6、. 掌握空间直线、空间平面的向量参数方程和线段中点的向量公式三、教学重、难点：共线、共面定理及其应用四、教学过程：（一）复习：空间向量的概念及表示；（二）新课讲解：1. 共线（平行）向量：如果表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，则这些向量叫做共线向量或平行向量。读作：刁平行于段，记作：allb .2. 共线向量定理：对空间任意两个向量 a,b（ bAQYa/b的充要条件是存在实数 2，使a=Ab （ 2唯一）.推 论：如果/为经过已知点 A,且平行于已知向量刁的直线，那么对任一点。，点P在直线 Z上的充要条件是存在实数八 满足等式 OP = OA + tAB?,其中向量刁叫做直线

7、Z的方向 向量。在/上 取AB = a,则式可化为 OP = OA + tAB或0? = （ l f）函+ f而1一 1 一一 y'当t =-时，点P是线段AB的中点，此时 OP = -（ OA + OB）（ D和都叫空间直线的向量参数方程，是线段A3的中点公式./3. 向量与平面平行：已知平面a和向量作0A = a，如果直线0A平行于a或在a内，那么我们说向 量S ?平彳亍于平面 a ,己彳乍： alia.通常我们把平行于同一平面的向量，叫做共面向量说明：空间任意的两向量都是共面的4. 共面向量定理：如果两个向量刁，£不共线，万与向量共面的充要条件是存在实数x,y使p =

8、xa + yb .推论： 空间一点 P 位于平面心 3内的充分必要条件是存在有序实数对 , 使MP = xMA + yMB 或对空间任一点 O, AOP = 0M+ xMA + yMB 上面式叫做平面 MAB 的向量表达式 .（三）例题分析：-1 - 2- 2 -例1.已知A,B,C二点不共线，对平面外任一点，满足条件OP = -0A + -0B + -0C ,试判断：点 P 与 A, 3,C 是否一定共面？解：练习】：对空间任一点。和不共线的三点A,B,C ,问满足向量式0P = x0A + y0B + z0C（其中x + y + z=l）的四点P,A,B, C是否共面?解：例2.已知ABC

9、D，从平面AC夕卜一点。弓I向量0E = k0A,0F = K0B,0G = kVC,0H = k0D ,（1）求证：四点E,F,G,H共面;（2）平面AC 平面EG .解（1）五、课堂练习：课本第 89页练习第1、2、3题.作业:1.已知两个非零向量乌打 2不共线，如果 AB = ex+e2 , AC - 2e< +8e2 , AD = 3ei -3e2 ,求证：A,B,C,D共面.82. 已知 a=3m-2n-4p,b = （x + l） m + Sn+2yp , aAQ, Aa/b 求实数的值3. 如图，E,F,G,H分别为正方体 AC ；的棱AiBi,AiDi,BiCi,D1Ci

10、的中点，求证：（1）E,F,D,B四点共面；（2）平面AEF 平面3OHG.4.已知E,F,G,H分别是空间四边形 ABCD边AB,BC,CD,DA的中点,（1）用向量法证明：E,F,G,H四点共 面；（2）用向量法证明：BD 平面EFGH .鹿邑三高导学案课题：3.1. 3课时：1 本期总课时:3.1.3.空间向量的数量积（1）教学目标：1.掌握空间向量夹角和模的概念及表示方法；2.掌握两个向量的数量积的计算方法，并能利用两个向量的数量积解决立体几何中的一些简单问题。教学重、难点： 空间数量积的计算方法、几何意义、立体几何问题的转化。教具准备：与教材内容相关的资料。教学过程学生探究过程：（一

11、）复习：空间向量基本定理及其推论；（二）新课讲解：1. 空间向量的夹角及其表示：已知两非零向量亢片，在 叫做向量&与段的夹角，记作 <M> ;且规定o>v兀，显然有>=<B,a>；?' L?若8,b>= 一 ,则称&与 b互相垂直，记作： a Lb ；22. 向量的模：设0A = a,则有向线段函的 叫做向量刁的长度或模，记作： I刁I ；3. 向量的数量积：已知向量a,b，贝'a-b -cos <a,b >叫做亢片的数量积，记作 a-b，即 a-b =131-1/?l-cos<5,/? >.已知

12、向量 AB = a和轴/, 2是/上与/同方向的单位向量，作点A在/上的射影 A,作点3在Z上的射影3',则祯叫做向量屈在轴/上或在3上的正射影；可以证明祯的 长度I祯1=1而 Icos刁,=| 刁？初.4. 空间向量数量积的性质 ：cos <a,e >. a -Lb a-b =0 .1 = a-a.5. 空间向量数量积运算律（1）（汨）石=人0石）=刁？（舫）(2) a-b =b-a (交换律).（3）a-（b+c） = a-b+a-c （分配律）.（二）例题分析：例1.用向量方法证明：直线和平面垂直的判定定理。已知：是平面a内的两条相交直线，直线 /与平面a的交点为B，

13、且I ±m,l止求证：I La .证明：在a内作不与重合的任一直线 g ,向量尻，亓不平行，由共面定理可知，存在 ？，.相交在l,m,n,g上取非零向量I ,fh,n,g ,':唯一有序实数对 （x,y）,使,例2.已知空间四边形 ABCD中，AB LCD , AC 1 BD，求证：AD1BC .证明：例 3.如图，在空间四边形 OABC 中，(9A = 8, AB = 6, AC = 4, BC = 5 , ZOAC = 45°ZOAB = 60 °,求OA与BC的夹角的余弦值解：五.巩固练习：课本第 92页练习第1、2、3题。作业：1.已知向量alb,

14、向量u与40的夹角都是 60°,且a=l,b= 2,lcl=3,试求：(1) (a +片) (2) (a + 2A c) (3a-2b)-(b-3c).鹿邑三高导学案高二年级数学学科编写人：朱永波审核人:刘雪纯备课组长签字：毛新正课题：3.1. 3课时：1 本期总课时:向量的数量积(2)一、教学目标：向量的数量积运算同=妒(用于求模运算问题)COSO = gg (用于求角运算问题)知识要点:1)定义： A<a,b>=0,贝膈方=(。的范围为)设 a =（知，1）, b = （x,yA贝注：4方不能写成万，或 4x54方的结果为一个数值2) 投影：5在4方向上的投影为。3)

15、 向量数量积运算律：?ab = ba ? (Aa) b = 2(a b) = a (2b) ?(a + b) c = a c + b c注：没有结合律(a E) c = a (E c)1、 下列命题:若a b = 0 ,则a ,片中至少为6若a。且a b = a c,则方=c(a B) c = a c)(3a + 2b) (3a-2b) = 9|a| 4 时中正确有个数为()A. 0个B. 1个C. 2个D. 3个2、已知 AABC 中，A, B, C 所对的边为 a,b,c且 a=3,b=l,C=30，贝0 BC CA=-3、若 a , b , c 满足 a +片 + c = 0，且 |?|

16、 = 3,|&| = l,|c| = 4 ,则 ab-bc + ac=。4、已知材=时=2，且4与方的夹角为，则 U+方在4上的投影- ）例题讲练1、已知村=2,料=3,且a与方的夹角为：，c = 3a + 2b , d = ma-b求当m为何值时 cld2、已知材 =1,目=1, 忖2 牛 3,贝腼 +牛。3、已知 a 和片是非零向量，且 |4 =目=卞- 耳，求 a 与 a + b 的夹角4、已知村=4,目=2且a和方不共线，求使 a+Xb与a-疝的夹角是锐角 时2的取值范围为三, 则（云 - 公） （-3 云+ 2 公）等于（）5C. - D.82为三, 则下面向量中与 2 公- 芸垂直的是 （）C. el D. e2巩固练习1 、 已知云和公是两个