三铰拱合理轴线的验证

1、三铰拱合理轴线的验证中国市政工程西南设计研究院2007年10月目 录第1部分：圆弧拱11.1 圆弧拱的竖向坐标11.2 合理轴线的验证21.2.1 几何特性21.2.2 材料特性31.2.3 截面特性31.2.4 荷载31.2.5 分析工况31.2.6 分析结果31.3 注意的问题4第2部分：抛物线拱52.1 抛物线拱的竖向坐标52.2 合理轴线的验证52.2.1 几何特性62.2.2 材料特性62.2.3 截面特性62.2.4 荷载72.2.5 分析工况72.2.6 分析结果7第3部分：悬链线拱93.1 悬链线拱的竖向坐标93.2 合理轴线的验证103.2.1 几何特性103.2.2 材料特

2、性113.2.3 截面特性113.2.4 荷载113.2.5 分析工况123.2.6 分析结果12第1部分：圆弧拱1.1 圆弧拱的竖向坐标拱的跨径为L，矢高为f，拱脚A、B点的坐标分别为A(-L/2，0)，B(L/2，0)，线段AB的中点D为坐标原点。图1.1设圆弧的半径为R，OA=R，0D=R-f，AD=L/2，在三角形OAD中有： （式1-1）由（式1-1）可得： （式1-2）因此O点的坐标为：圆弧ACB的方程为： （式1-3）由（式1-3）可得： （式1-4）圆弧ACB上各点均在圆心O点上，其纵坐标大于O点的纵坐标，因此其上各点的纵坐标为： （式1-5）1.2 合理轴线的验证采用sap2

3、000程序验证在静水压力作用下圆弧为三铰拱的合理拱轴线。sap2000有限元模型见本目录下“01_50m圆弧三铰拱.SDB”文件。 几何特性图1.2如图1.2所示，圆弧3铰拱ACB的跨径为L=50m，矢高为10m，受q=100KN/m的静水压力作用。将模型划分为201个节点和200个单元。其中，A、B、C点分别对应于1号、101号和201号节点，其余各节点坐标均由（式1-5）求得，各关键截面的坐标见表1.1。表1.1 关键节点编号节点位置节点编号x坐标y坐标左支点1-250.00L/826-18.754.77L/451-12.57.78L3/876-6.259.46跨中101010.00L5/

4、81266.259.46L3/415112.57.78L7/817618.754.77右支点201250.001.2.2 材料特性假定该拱采用C50混凝土，弹性模量为E=3.45×107KN/m2，泊松比为0.2。 截面特性1200号单元的截面特性如图1.4所示。图1.3 1200号单元截面图（单位：cm）1.2.4 荷载在1200号单元上作用垂直于单元的均布荷载q=-100KN/m。1号节点和201号节点分别约束u1和u3，101号节点分别与100号单元和101号单元相邻，将100号单元的右端和101号单元左端的弯矩释放掉。1.2.5 分析工况对均布荷载q=-100KN/m进行线性

5、分析，分析的有效自由度限定在XOZ平面内。 分析结果表1.2 支点及拱顶点反力表节点位置节点编号Fx(KN)Fy(KN)弯矩(KN-m)左支点1262525000拱顶点101362500右支点201-262525000表1.3 各关键截面计算结果表节点位置节点编号轴力(KN)剪力(KN)弯矩(KN-m)左支点1-3624.97114.4284.55E-13L/826-3624.623-11.83312.98L/451-3625.239-23.447-11.42L3/876-3624.895-52.966-10.205跨中101-3625-1.746E-100L5/8126-3624.89552

6、.966-10.205L3/4151-3625.23923.447-11.42L7/8176-3624.62311.83312.98右支点201-3624.971-14.428-3.3E-14从表1.3中可看出，各关键截面的弯矩相对于轴力均比较小，均不到轴力的1%，只要单元划分足够精确，各截面的弯矩值均可降为0。1.3 注意的问题1竖向分布荷载作用于斜杆，如图1.3所示，线段AB上的竖向荷载为： （式1.6）图1.4理想加载情况是在的情况下得出的，因此若采用当时加载需用来代替，或者使用节点加载。第2部分：抛物线拱2.1 抛物线拱的竖向坐标拱的跨径为L，矢高为f，拱脚A、B点的坐标分别为A(-L

7、/2，0)，B(L/2，0)，线段AB的中点哦O为坐标原点，拱顶C点坐标为C(0，f)。图2.1设抛物线ACB的方程为： (式2-1)因为A、B两点关于原点对称，因此有： (式2-2)将A、C两点的坐标代入（式2-1）中，有： (式2-3)由（式2-3）可得： (式2-4)因此抛物线ACB的方程为： (式2-5)2.2 合理轴线的验证采用sap2000程序验证在均布荷载作用下抛物线为三铰拱的合理拱轴线。sap2000有限元模型见本目录下“02_50m抛物线三铰拱.SDB”文件。2.2.1 几何特性图2.2如图2.2所示，抛物线3铰拱ACB的跨径为L=50m，矢高为10m，受q=100KN/m的

8、均布荷载作用。将模型划分为201个节点和200个单元。其中，A、B、C点分别对应于1号、101号和201号节点，其余各节点坐标均由（式2-5）求得，各关键截面的坐标见表2.1。表2.1 关键节点编号节点位置节点编号x坐标y坐标左支点1-250L/826-18.754.375L/451-12.57.5L3/876-6.259.375跨中101010L5/81266.259.375L3/415112.57.5L7/817618.754.375右支点2012502.2.2 材料特性假定该拱采用C50混凝土，弹性模量为E=3.45×107KN/m2，泊松比为0.2。 截面特性1200号单元的

9、截面特性如图2.3所示。图2.3 1200号单元截面图（单位：cm）2.2.4 荷载在拱ACB上作用竖直向下的q=-100KN/m的均布荷载，相当于在1号节点和201号节点上作用竖直向下的集中荷载，其值为F=-12.5KN，2200号节点上竖直向下的集中荷载为F=25KN。1号节点和201号节点分别约束u1和u3，101号节点分别与100号单元和101号单元相邻，将100号单元的右端和101号单元左端的弯矩释放掉。2.2.5 分析工况对均布荷载q=-100KN/m进行线性分析，分析的有效自由度限定在XOZ平面内。2.2.6 分析结果表2.2 支点及拱顶点反力表节点位置节点编号Fx(KN)Fy(

10、KN)弯矩(KN-m)左支点1312525000拱顶点1013125.02500右支点201-312525000表2.3 各关键截面计算结果表节点位置节点编号轴力(KN)剪力(KN)弯矩(KN-m)左支点1-3994.156-1.858E-104.547E-13L/826-3650.792-1.164E-101.094E-09L/451-3370.39-2.91E-111.416E-09L3/876-3189.3622.037E-101.098E-09跨中101-3125.0255.821E-11-1.164E-16L5/8126-3189.3622.91E-11-3.965E-10L3/41

11、51-3370.390-1.015E-09L7/8176-3650.792-1.164E-10-5.421E-10右支点201-3994.156-3.251E-11-5.245E-13从表2.3中可看出，各关键截面的弯矩相对于轴力均比较小，均不到轴力的1%，只要单元划分足够精确，各截面的弯矩值均可降为0。第3部分：悬链线拱3.1 悬链线拱的竖向坐标对图3.1所示体系，根据桥梁工程（下册）（范立础主编，人民交通出版社，2000）第86页公式（1-2-22），有：图3.1 原悬链线体系 （式3-1）（式3-1）中，m为拱轴系数，的值由下式求得： （式3-2）的表达式为： （式3-3）图3.2 修正

12、坐标系后悬链线体系对图3.2所示体系，相应的悬链线方程为： （式3-4）其中，m为拱轴系数，其表达式为： （式3-5）3.2 合理轴线的验证采用sap2000程序验证在静水压力作用下圆弧为三铰拱的合理拱轴线。sap2000有限元模型见本目录下“03_50m悬链线三铰拱.SDB”文件。3.2.1 几何特性图3.2如图3.2所示，圆弧3铰拱ACB的跨径为L=50m，矢高为10m，受q=100KN/m的静水压力作用。将模型划分为201个节点和200个单元。其中，A、B、C点分别对应于1号、101号和201号节点，其余各节点坐标均由（式3-4）求得，各关键截面的坐标见表3.1。表3.1 关键节点编号节

13、点位置节点编号x坐标y坐标左支点1-250.00L/826-18.754.7124L/451-12.57.7526L3/876-6.259.4531跨中101010.00L5/81266.259.4531L3/415112.57.7526L7/817618.754.7124右支点201250.003.2.2 材料特性假定该拱采用C50混凝土，弹性模量为E=3.45×107KN/m2，泊松比为0.2。 截面特性1200号单元的截面特性如图3.3所示。图3.3 1200号单元截面图（单位：cm）3.2.4 荷载在1200号单元上分布荷载gd=-100KN/m，拱轴系数m=2，则有：gj=

14、-200KN/m。作用于拱上的竖向分布荷载为： （式3-6）根据（式3-6）可确定分布荷载的值，进而确定各节点的集中荷载。表3.2 关键节点荷载节点位置节点编号节点竖向荷载(KN)左支点1-25L/826-38.2191L/451-30.6186L3/876-26.3673跨中1010L5/8126-26.3673L3/4151-30.6186L7/8176-38.2191右支点201-251号节点和201号节点分别约束u1和u3，101号节点分别与100号单元和101号单元相邻，将100号单元的右端和101号单元左端的弯矩释放掉。3.2.5 分析工况对分布荷载gdgj进行线性分析，分析的有效自由度限定在XOZ平面内。3.2.6 分析结果表3.2 支点及拱顶点反力表节点位置节点编号Fx(KN)Fy(KN)弯矩(KN-m)左支点13603.5453288.0240拱顶点1013603.5670.4730右支点201-3603.5453288.0240表3.3 各关键截面计算结果表节点位置节点编号轴力(KN)剪力(KN)弯矩(KN-m)左支点1-4861.3640.2570L/826-4229.4640.184-0.1199L/451-3