一元二次方程全章讲义

1、 一元二次方程的概念与方程的解 【知识点】：1、一元二次方程的概念：方程两边都是整式，只含有一个未知数（一元），并且未知数的最高次数是2（二次）的方程，叫做一元二次方程2、一般地，任何一个关于x的一元二次方程，经过整理，都能化成如下形式ax2+bx+c=0（a0）这种形式叫做一元二次方程的一般形式（其中ax2是二次项，a是二次项系数；bx是一次项，b是一次项系数；c是常数项）3、一元二次方程的解：使一元二次方程等号两边相等的未知数的取值叫作一元二次方程的解（又叫作根）【例题精讲】:例1、下列关于x的方程中，一定是一元二次方程的是 。 k2x + 5k + 6 = 0 ；x2 x = 0 ；3x

2、2 + 2 = 0；3x2 + 2 2 = 0；（3x）2 = 1；（2x1）2 = （x1）（4x + 3）。例2、若关于的方程是一元二次方程，求m的值。 例3、关于x的方程x（3x3）2x（x1）2 = 0，指出该方程的二次项系数、一次项系数和常数项。 例4、关于x的一元二次方程（a1）x2 x + a21 = 0的一根是0，则a的值为（ ） A、1 B、1 C、1或1 D、。 【夯实基础练】：一）、填空题：1、方程（x4）2 = 3x + 12的二次项系数是 ，一次项系数是 ，常数项是 。2、（11滨州）若x=2是关于x的方程的一个根，则a 的值为_.3、已知关于x的方程是一元二次方程，

3、则m2 = 。4、（2012惠山区）一元二次方程（a+1）x2-ax+a2-1=0的一个根为0，则a= 5、已知关于x的方程ax2 + bx + c = 0（a0）的两根为1和1，则a + b + c= ，ab + c = 。 6、关于x的方程（k21）x2 + 2（k1）x + 2k + 2 =0，当k 时，为一元二次方程；当k = 时，为一元一次方程。二）、选择题：1、下列方程中，不是一元二次方程的是（ ）A、 B、 C、 D、2、方程化为一般形式后，a、b、c的值分别为（ ） A、a = 5，b = 3，c = 5 B、a = 5，b = 3，c = 5C、a = 7，b = ，c =

4、5 D、a =8，b = 6，c = 1 三）、解答题： 1、已知关于x的方程（m21）x2 + （m + 1）x + 1 = 0（1）当m为何值时，此方程为一元二次方程？（2）当m 为何值时，此方程为一元一次方程？2、关于x的方程（m + 2）2x2 + 3m2x + m24 = 0有一根为0，求2m24m + 3的值。3、已知x = 2是方程x2mx + 2 =0的一个根，试化简。【能力提高练】：1、试证明关于x的方程（m28m + 17）x2 +2m +1 =0，不论m为何值，该方程都是一元二次方程。 2、已知x2 +3x +1的值为5，则代数式2x2 +6x2的值为多少？3、设是一个直

5、角三角形两条直角边的长，且，求这个直角三角形的斜边长。4、若的值是多少？一元二次方程的解法【知识点】：1、理解解一元二次方程的“降次”思想，将一元二次方程“化成”两个一元一次方程2、直接开平方法：如果方程能化成或的形式，那么直接开平方可得或3、配方法：通过配成完全平方式的形式解一元二次方程的方法，叫作配方法；配方的目的是为了降次，把一元二次方程转化为两个一元一次方程。4、公式法：公式（）称为一元二次方程的求根公式，用此公式解一元二次方程的方法叫公式法；5、利用因式分解使方程化为两个一次式乘积等于0的形式，再使这两个一次式分别等于0，从而实现降次这种解法叫作因式分解法6、一元二次方程根的判别式：

6、b2-4ac叫根的判别式；（1）当b2-4ac>0时，一元二次方程ax2+bx+c=0（a0）有两个不相等实数根即x1=，x2=（2）当b-4ac=0时，一元二次方程ax2+bx+c=0（a0）有两个相等实数根即x1=x2=（3）当b2-4ac<0时，一元二次方程ax2+bx+c=0（a0）没有实数根【例题精讲】:1、用直接开平方法解下列方程：（1）；（2）2、用配方法解下列方程： （1）； （2）3、用公式法解下列方程：（1）5x2+2x-6=0 （2）4x2-7x+2=0 （3）2x2-x-=04、用因式分解法解下列方程：（1）； （2）；（3）； （4）5、已知y =2x2

7、+7x1，当x为何值时，y的值与4x + 1的值相等？x为何值时，y的值与x219的值互为相反数？6、解方程。 7、若，则x+y的值是多少？【夯实基础练】：一）、填空题1、(2011镇江)已知关于x的方程的一个根为2,则m=_,另一根是_.2、如果x2 + mx + 16是一个完全平方式，则m的值为 。3、当x = 时，代数式x2 + 4x + 6有最 值是 ；【提示：配方法】4、方程3x2 +2 =x 中，a = ，b = ，c = ，b24ac = ；5、已知一元二次方程ax2 + 4x + 2 =0 且b24ac = 0，则a = ，x = 。6、（2011上海）如果关于x的方程（m为常

8、数）有两个相等实数根，那么m_8、已知a0，ab，x = 1是方程ax2 + bx 10 =0的一个解，则的值是 。二）、选择题：1、解方程（x +5）23（x +5） =0，较简便的解法是（ ） A、直接开平方法 B、因式分解法 C、配方法 D、公式法2、方程x2 +2x3 = 0的解是（ ） A、x1 =1，x2 =3 ； B、x1 =1 ，x2 =3； C、x1 =1，x2 =3 ； D、x1 =1 ，x2 =3 。3、（2011兰州）用配方法解方程时，原方程应变形为（ ）ABCD4、，则的值是（ ） A、6 B、2 C、2 D、65、（2011安徽）一元二次方程x（x2）=2x的根是（

9、 ）A1B2 C1和2 D1和26、下列是某同学在一次数学测验中解答的题目，其中答对的是（ ） A、若x2 =4 ，则x =2 ； B、若3x2 =6x，则x =2 ；C、若x2 + xk =0的一个根是1，则k =2 ； D、若分式的值为零，则x =2 。7、已知方程x26x + q = 0可以配方成（xp）2 =7的形式，那么x26x +q =2可以配方成下列的（ ） A、（xp）2 =5 ； B、（xp）2 = 9 ；C、（xp +2）2 =9 ； D、（xp + 2）2 =5。8、关于x的方程k2x2 +2（k1）x +1 =0有两个实数根，则k的取值范围是（ ） A、k B、k C、

10、k且k0 D、k且k0三、解答题：1、用直接开平方法解下列方程：（1）； （2）； （3）；2、 用配方法解下列方程：（1）；（2） （3）3、用公式法解方程(1)x2+4x+2=0 ;           (2)3x2-6x+1=0;   (3)4x2-16x+17=0 ;          4、用因式分解法解下列方程：(1)y27y60； (2)t(2t1)3(2t1)； (3)(2

11、x1)(x1)1【能力提高】1、已知一元二次方程x24x +k =O有两个不相等的实数根。（1）求k的取值范围；（2）如果k是符合条件的最大整数，且一元二次方程x24x +k =0与x2 +mx1 =0有一个相同的根，求此时m的值。2、已知 、为三角形的三边, 求证 方程没有实数根 。3、已知9a2-4b2=0，求代数式的值一元二次方程的根的判别式以及根与系数的关系【知识点】1、一元二次方程的根的情况可由来判定，我们把叫做一元二次方程的根的判别式，通常用符号“”来表示。当>0时，有两个不相等实数根；当0时，有两个相等的实数根，当<0时，没有实数根，反过来也成立。2、如果的两个根是，

12、那么3、如果方程的两个根是，那么4、以两个数为根的一元二次方程（二次项系数为1）是【例题选讲】例1：不解方程，判别下列方程的根的情况；（1）； （2）； （3）例2：已知关于x的方程，当k取什么值时，（1）方程有两个不相等的实数根；（2）方程有两个相等的实数根；（3）方程没有实数根。例3：求证：不论a为任何实数，方程总有实数根。例4：利用根与系数的关系，求一元二次方程两个根的（1）平方和；（2）倒数和。例5：（2010孝感）关于x的一元二次方程、 （1）求p的取值范围； （2）若的值.例6：求一个一元二次方程，使它的两个根是4和5。【拓展延伸】例7、设方程的大根为，方程的小根为，则_例8、若，

13、且有及，则 ， 【能力训练】：1（2011德州）若，是方程的两个根，则=_2（2011宜宾）已知一元二次方程的两根为a、b，则的值是_3、设m、n是一元二次方程x23x70的两个根，则m24mn 4、（2013眉山）已知关于x的一元二次方程的两个实数根分别为、，则(+3)(+3)=_5、已知方程两根分别是0和3，那么p+q 。6、（2013绵阳）已知整数k5，若ABC的边长均满足关于x的方程，则ABC的周长是 。7、（2013泸州）设是方程的两个实数根，则的值为（ ） A.5 B.-5 C.1 D.-18、（2011南充） 方程(x+1)(x2)=x+1的解是（ ）（A）2 （B）3 （C）1

14、，2 （D）1，39、（2011福州）一元二次方程根的情况是（ ） A.有两个不相等的实数根 B.有两个相等的实数根 C.只有一个实数根 D.没有实数根10、（2013泸州）若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则实数的取值范围是 A. B.且 C. 且 D. 且11、如果关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，那么的取值范围是（）A B且 C D且12、解答题（1）、（2010 珠海）已知x1=-1是方程的一个根，求m的值及方程的另一根x2。（2）、设是方程的两个根，利用根与系数的关系，求下列各式的值： （3）、（2013乐山）已知一元二次方程x2-(2k+1)x+k2+k=0 .(1

15、)求证：方程有两个不相等的实数根；(2)若ABC的两边AB、AC的长是这个方程的两个实数根，第三边BC的长为5.当ABC是等腰三角形时，求k的值.（4）、（10中山）已知一元二次方程 若方程有两个实数根，求m的范围； 若方程的两个实数根为，且+3=3，求m的值。（5)、（10孝感）已知关于x的方程x22（k1）x+k2=0有两个实数根x1，x2.求k的取值范围；若，求k的值. （6）、已知是一元二次方程的一根，求的值。用一元二次方程解决问题【知识点】1. 列方程解应用题的一般步骤：（1）审题：了解问题的实际意义，分清已知条件和未知量之间的关系。（2）设未知数：一般情况下求什么设什么为未知数。（

16、3）列方程：根据量与量之间的关系，找出相等关系，列出方程。（4）解方程：灵活运用一元二次方程的四种解法。（5）验根：检验一元二次方程的根是否满足题意。（6）答：作答。2. 一元二次方程应用题常见题类型：（1）数字问题。 （2）与面积有关的几何问题。（3）平均变化率问题。 （4）经营问题。（5）行程为题。 （6）工程问题。【经典例题】1、平均变化率问题：平均变化率问题的公式b=a（1+x）n a为变化前的基数，x为变化率（增长时x>0，减小时x<0），n为变化次数，b为变化后的量。例1：某种电脑病毒传播非常快，如果一台电脑被感染，经过两轮感染后就会有81台电脑被感染请你用学过的知识分

17、析，每轮感染中平均一台电脑会感染几台电脑？若病毒得不到有效控制，3轮感染后，被感染的电脑会不会超过700台？例2、（2011日照）为落实国务院房地产调控政策，使“居者有其屋”，某市加快了廉租房的建设力度2010年市政府共投资2亿元人民币建设了廉租房8万平方米，预计到2012年底三年共累计投资9.5亿元人民币建设廉租房，若在这两年内每年投资的增长率相同(1)求每年市政府投资的增长率；(2)若这两年内的建设成本不变，求到2012年底共建设了多少万平方米廉租房【类题练习】：1.（2013黔西南）某机械厂七月份生产零件50万个，若第八、九月的增长率相同，且第三季度生产零件196万个（ ）A、50（1+

18、x2）=196 B、50+50（1+x2）=196 C、50+50（1+x）+50（1+x2）=196 D、 50+50（1+x）+50（1+2x）=1962、（2011广安）广安市某楼盘准备以每平方米6000元的均价对外销售，由于国务院有关房地产的新政策出台后，购房者持币观望，房地产开发商为了加快资金周转，对价格经过两次下调后，决定以每平方米4860元的均价开盘销售。（1）求平均每次下调的百分率。（2）某人准备以开盘价均价购买一套100平方米的住房，开发商给予以下两种优惠方案以供选择：打9.8折销售；不打折，一次性送装修费每平方米80元，试问哪种方案更优惠？3（2011东营） 随着人们经济收

19、入的不断提高及汽车产业的快速发展，汽车已越来越多的进入普通家庭，成为居民消费新的增长点。据某市交通部门统计，2008年底全市汽车拥有量为15万辆，而截止到2010年底，全市的汽车拥有量已达21.6万辆。（1）求2008年底至2010年底该市汽车拥有量的年平均增长率；（2）为了保护环境，缓解汽车拥堵状况，从2011年起，该市交通部门拟控制汽车总量，要求到2012年底全市汽车拥有量不超过23.196万辆；另据估计，该市从2011年起每年报废的汽车数量是上年底汽车拥有量的10%。假定在这种情况下每年新增汽车数量相同，请你计算出该市每年新增汽车数量最多不能超过多少万辆。2、与面积有关的几何问题：熟练运

20、用相关的面积公式列方程，注意有时为了利于计算，需要对图形进行变换或割补等方法。例3、在宽20m，长为32m的矩形耕地上修三条同样宽的耕作道路，使耕地面积为，道路宽应为多少？例4、一块长和宽分别为40厘米和250厘米的长方形铁皮，要在它的四角截去四个相等的小正方形，折成一个无盖的长方体纸盒，使它的底面积为7200平方厘米.那么纸盒的高是多少？例5、如图某农场要建一个长方形的养鸡场，鸡场的一边靠墙（墙长18m），另三边用木栏围成，木栏长35m。鸡场的面积能达到150m2吗？鸡场的面积能达到180m2吗？如果能，请你给出设计方案；如果不能，请说明理由。（3）若墙长为m,另三边用竹篱笆围成，题中的墙长

21、度m对题目的解起着怎样的作用?【类题练习】:1、在一块长10米，宽8米的矩形草坪中央，划出面积为48平方米的矩形草地栽花，使原来矩形四周剩下的草坪的宽度相同，求这个宽度。2、将一条长为20cm的铁丝剪成两段，并以每一段铁丝的长度为周长做成一个正方形.（1）要使这两个正方形的面积之和等于17cm2，那么这段铁丝剪成两段后的长度分别是多少?（2）两个正方形的面积之和可能等于12cm2吗? 若能，求出两段铁丝的长度；若不能，请说明理由.3、（2012湘潭）如图，某中学准备在校园里利用围墙的一段，再砌三面墙，围成一个矩形花园ABCD（围墙MN最长可利用25m），现在已备足可以砌50m长的墙的材料，试设

22、计一种砌法，使矩形花园的面积为300m23、营销问题：总利润=销售总额-总成本-其他费用 总利润=（销售单价-进货单价）×销售数量-其他费用 （注意：销售量的表达式。）例6、国美电器城电视机专卖柜台平均每天售出电视机50台，每台赢利400元，经市场调查发现，若每台电视机降价10元，每天可多卖出5台，店长计划在元旦当天降价促销，且达到30000元利润，问每台电视机应降价多少元？例7、某商店经销一种销售成本为每千克40元的水产品，据市场分析，若每千克50元销售，一个月能售出500kg，销售单价每涨1元，月销售量就减少10kg，针对这种水产品情况，请解答以下问题：（1）当销售单价定为每千克

23、55元时，计算销售量和月销售利润（2）商品想在月销售成本不超过10000元的情况下，使得月销售利润达到8000元，销售单价应为多少?【类题练习】：1.某商店将进货价元的商品按元售出，每天可销售件，在经营中发现该商品每件的售价提高元，其销量就减少件，问该商品每件售价定为多少元，才能使每天利润为元？2. （2011义乌）商场某种商品平均每天可销售30件，每件盈利50元. 为了尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施. 经调查发现，每件商品每降价1元，商场平均每天可多售出 2件设每件商品降价x元. 据此规律，请回答：（1）商场日销售量增加 件，每件商品盈利 元（用含x的代数式表示）；（2）在上述条件

24、不变、销售正常情况下，每件商品降价多少元时，商场日盈利可达到2100元？3、山西特产专卖店销售核桃，其进价为每千克40元，按每千克60元出售，平均每天可售出100千克，后来经过市场调查发现，单价每降低2元，则平均每天的销售可增加20千克，若该专卖店销售这种核桃要想平均每天获利2240元，请回答：（1）每千克核桃应降价多少元？（2）在平均每天获利不变的情况下，为尽可能让利于顾客，赢得市场，该店应按原售价的几折出售？4、（2012南京）某汽车销售公司6月份销售某厂家的汽车，在一定范围内，每部汽车的进价与销售量有如下关系：若当月仅售出1部汽车，则该部汽车的进价为27万元，每多售出1部，所有售出的汽车

25、的进价均降低0.1万元/部，月底厂家根据销售量一次性返利给销售公司，销售量在10部以内（含10部），每部返利0.5万元；销售量在10部以上，每部返利1万元（1）若该公司当月售出3部汽车，则每部汽车的进价为 万元；（2）如果汽车的售价为28万元/部，该公司计划当月返利12万元，那么汽需要售出多少部车？（盈利=销售利润+返利）4、球赛问题：（1）.若是单循环赛，则x个队，每个队需赛（x1）场，共赛x(x1)场（握手问题与此同类）；若每两队之间赛2场，则共赛x(x1)场（互赠贺卡问题与此同类）。例8、.要组织一场篮球联赛, 每两队之间都赛2场,计划安排90场比赛,应邀请多少个球队参加比赛?【类题练习】：1. 元旦期间,一个小组有若干人,新年互送贺卡一张,已知全组共送贺卡132张,则这个小组共有多少人.2.某种植物的主干长出若干数目的支干,每个支干又长出同样数目的小分支,主干,支干和小分支的总数是91,每个支