一元二次方程提优十字相乘韦达定理习题

1、十字相乘法解一元二次方程【十字相乘定义】我们知道，反过来，就得到二次三项式的因式分解形式，即 ，其中常数项6分解成 两个因数的积，而且这两个因数的和等于一次项的系数5，即6= ，且 =5。一般地，由多项式乘法，反过来，就得到 运用 公式，可以把某些二次项系数为1的二次三项式分解因式。把分解因式时：如果常数项q是正数，那么把它分解成 ，它们的符号与 相同。如果常数项q是负数，那么把它分解成 ，其中 相同。对于分解的两个因数，还要看它们的和是不是等于一次项的系由上面例子启发我们，应该如何把二次三项式进行因式分解。我们知道： 反过来，就得到： 我们发现，二次项的系数分解成，常数项分解成，并且把，排列

2、如下：这里按斜线交叉相乘，再相加，就得到+，如果它们正好等于的一次项系数，那么就可以分解成，其中，位于上图的上一行，位于下一行。像这种借助画十字交叉分解系数，从而帮助我们把二次三项式分解因式的方法，通常叫做十字相乘法。【十字相乘习题】例1 （1）=0 （2） =0例2 (1) =0 (2) =0 (3) (4)=0(5) =0 (6) =0 (7) =0 (8) (9) (10) (11) (12) (13) 【作业】(1) a27a+6=0； (2)8x2+6x35=0；(3)18x221x+5=0； (4) 209y20y2=0；(5)2x2+3x+1=0； (6)2y2+y6=0；(7)

3、6x213x+6=0； (8)3a27a6=0；(9)6x211x+3=0； (10)4m2+8m+3=0；(11)10x221x+2=0； (12)8m222m+15=0；(13)4n2+4n15=0； (14)6a2+a35=0；(15)5x28x13=0； (16)4x2+15x+9=0；(17)15x2+x2=0； (18)6y2+19y+10=0；(19) 2(a+b) 2+(a+b)(ab)6(ab) 2=0； (20)7(x1) 2+4(x1)20=0一元二次方程根与系数的关系（韦达定理）【韦达定理】韦达定理：对于一元二次方程，如果方程有两个实数根，那么说明：（1）定理成立的条件

4、（2）注意公式重的负号与b的符号的区别证明：【韦达定理用处】（1）计算对称式的值例 若是方程的两个根，试求下列各式的值：(1) ； (2) ；(3) ；(4) 解：小结：【课堂练习】1设x1，x2是方程2x26x30的两根，则x12x22的值为_2已知x1，x2是方程2x27x40的两根，则x1x2 ，x1·x2 ，（x1x2）2 3已知方程2x23x+k=0的两根之差为2，则k= ;4若方程x2+(a22)x3=0的两根是1和3，则a= ;5若关于x的方程x2+2(m1)x+4m2=0有两个实数根，且这两个根互为倒数，那么m的值为 ;6 设x1,x2是方程2x26x+3=0的两个根

5、，求下列各式的值：(1)x12x2+x1x22 (2) 7已知x1和x2是方程2x23x1=0的两个根，利用根与系数的关系，求下列各式的值：（2）构造新方程理论：以两个数为根的一元二次方程是。例 解方程组 x+y=5            xy=6    解：（3）定性判断字母系数的取值范围例 一个三角形的两边长是方程的两根，第三边长为2，求k的取值范围。解： 【典型例题】例1 已知关于的方程，根据下列条件，分别求出的值(1) 方程两实根的积为5；(2)

6、方程的两实根满足解：例2 已知是一元二次方程的两个实数根(1) 是否存在实数，使成立？若存在，求出的值；若不存在，请您说明理由(2) 求使的值为整数的实数的整数值解：一元二次方程根与系数的关系练习题A 组1一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是()ABCD2若是方程的两个根，则的值为()ABCD3已知菱形ABCD的边长为5，两条对角线交于O点，且OA、OB的长分别是关于的方程的根，则等于()ABCD4若是一元二次方程的根，则判别式和完全平方式的关系是()ABCD大小关系不能确定5若实数，且满足，则代数式的值为()ABCD6如果方程的两根相等，则之间的关系是 _ 7已知一个直角三角形的

7、两条直角边的长恰是方程的两个根，则这个直角三角形的斜边长是 _ 8若方程的两根之差为1，则的值是 _ 9设是方程的两实根，是关于的方程的两实根，则= _ ，= _ 10已知实数满足，则= _ ，= _ ，= _ 11对于二次三项式，小明得出如下结论：无论取什么实数，其值都不可能等于10您是否同意他的看法？请您说明理由12若，关于的方程有两个相等的的正实数根，求的值13已知关于的一元二次方程(1) 求证：不论为任何实数，方程总有两个不相等的实数根；(2) 若方程的两根为，且满足，求的值14已知关于的方程的两根是一个矩形两边的长(1) 取何值时，方程存在两个正实数根？(2) 当矩形的对角线长是时，

8、求的值B 组1已知关于的方程有两个不相等的实数根(1) 求的取值范围；(2) 是否存在实数，使方程的两实根互为相反数？如果存在，求出的值；如果不存在，请您说明理由2已知关于的方程的两个实数根的平方和等于11求证：关于的方程有实数根3若是关于的方程的两个实数根，且都大于1(1) 求实数的取值范围；(2) 若，求的值帮你远离一元二次方程习题中的“陷阱”许多一元二次方程习题常常把很容易忽视的条件放进题中，设计了一些“陷阱”.如果对知识理解不透彻或分析问题不全面,就极易误入“陷阱”，导致错解.为帮助同学们远离这些“陷阱”，下面就对它们逐一进行分析.一. “陷阱”例1.当为何值时,关于的一元二次方程有两

9、个实数根.小结： 二. “陷阱”例2.已知是一元二次方程的两个实数根，且满足不等式，求实数的取值范围.小结： 三. “陷阱”例3.已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根,求的取值范围.小结： 四. “陷阱”例4.关于的方程有实数根,则的取值范围是( )(A) (B) (C) (D)例5.关于的方程有两个实数根,则的取值范围是( )(A) (B) (C) (D)小结: 一元二次方程中的重点习题汇总例1：已知：关于的方程 求证：取任何实数时，方程总有实数根；例2：已知关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，求的值。例3：、是方程的两个根，不解方程，求下列代数式的值：（1） （2） （3）例4：已知关于的方程有两个实数根，并且这两个根的平方和比这两个根的积大16，求