数学231离散型随机变量的均值与方差[1]

1、1 1、离散型随机变量的分布列、离散型随机变量的分布列 XP1xix2x1p2pip2 2、离散型随机变量分布列的性质：、离散型随机变量分布列的性质：(1)pi0，i1，2，；(2)p1p2pi1复习引入复习引入 对于离散型随机变量，可以由它的概率分布列确对于离散型随机变量，可以由它的概率分布列确定与该随机变量相关事件的概率。但在实际问题中，定与该随机变量相关事件的概率。但在实际问题中，有时我们更感兴趣的是随机变量的某些数字特征。例有时我们更感兴趣的是随机变量的某些数字特征。例如，要了解某班同学在一次数学测验中的总体水平，如，要了解某班同学在一次数学测验中的总体水平，很重要的是看平均分；要了解

2、某班同学数学成绩是否很重要的是看平均分；要了解某班同学数学成绩是否“两极分化两极分化”则需要考察这个班数学成绩的方差。则需要考察这个班数学成绩的方差。 我们还常常希望我们还常常希望直接通过数字直接通过数字来反映随机变量的某来反映随机变量的某个方面的特征，最常用的有个方面的特征，最常用的有期望与方差期望与方差. . 如果你期中考试各门成绩为：如果你期中考试各门成绩为： 90、80、77、68、85、91那你的平均成绩是多少？那你的平均成绩是多少？12.nxxxxn算术平均数算术平均数加权平均数加权平均数 你的期中数学考试成绩为你的期中数学考试成绩为70，平时，平时表现成绩为表现成绩为60，学校规

3、定：在你学，学校规定：在你学分记录表中，该学期的数学成绩中分记录表中，该学期的数学成绩中考试成绩占考试成绩占70%、平时成绩占、平时成绩占30%，你最终的数学成绩为多少？你最终的数学成绩为多少？11221.1nnnxa xa xa xaa加权平均数加权平均数 权权：称棰，权衡轻重的数值；：称棰，权衡轻重的数值； 加权平均加权平均：计算若干数量的平均数：计算若干数量的平均数时，考虑到每个数量在总量中所具时，考虑到每个数量在总量中所具有的重要性不同，分别给予不同的有的重要性不同，分别给予不同的权数。权数。1、某人射击、某人射击10次，所得环数分别是：次，所得环数分别是：1，1，1，1，2，2，2，

4、3，3，4；则所得的平均环数是；则所得的平均环数是多少？多少？2104332221111 X把环数看成随机变量的概率分布列：把环数看成随机变量的概率分布列：X1234P10410310210121014102310321041 X权数权数加权平均加权平均 某商场为满足市场需求要将单价分别为某商场为满足市场需求要将单价分别为18元/kg ，24元/kg ，36元/kg 的的3种糖果按种糖果按3：2：1的的 比例混合销比例混合销售，其中混合糖果中每一颗糖果的质量都相等，如售，其中混合糖果中每一颗糖果的质量都相等，如何对混合糖果定价才合理？何对混合糖果定价才合理？2618+24+363定价为定价为

5、可以吗？可以吗？181/2+241/3+361/6=23元/kg假假如如从从这这种种混混合合糖糖果果中中随随机机选选取取一一颗颗，记记X X为为这这颗颗元元糖糖果果所所属属种种类类的的单单价价（）, ,你你能能写写出出X X的的分分布布列列吗吗？kgkg假假如如从从这这种种混混合合糖糖果果中中随随机机选选取取一一颗颗，记记X X为为这这颗颗元元糖糖果果所所属属种种类类的的单单价价（）, ,你你能能写写出出X X的的分分布布列列吗吗？kgkg181/2+241/3+361/6 x 18 24 36 p 1/2 1/3 1/618 2436X解解：随随机机变变量量 可可取取值值为为， 和和1111

6、82436236(), (), ()P XP XP X而而所所以以X X分分布布列列为为=18P(X=18)+24P(X=24)+36P(X=36)=23 随机变量均值随机变量均值（概率意义下的均值）（概率意义下的均值）样本平均值样本平均值合理定价随机变量的每个取值与其对应合理定价随机变量的每个取值与其对应的概率的乘积之和的概率的乘积之和. .1、离散型随机变量均值的定义、离散型随机变量均值的定义 X P 一般地一般地,若离散型随机变量若离散型随机变量X的概率分布为的概率分布为ip2x2pnpix1x1pnx 则称则称 为随机变量为随机变量X的的均值均值或或数学期望数学期望,数学期望又简称为数

7、学期望又简称为期望期望。 1122iinnEXx px px px p它反映了离散型随机它反映了离散型随机变量取值的平均水平变量取值的平均水平。练习练习1 离散型随机变量离散型随机变量 X 的概率分布列为的概率分布列为求求X可能取值的算术平均数可能取值的算术平均数 求求X的均值的均值 X 1 100 P 0.01 0.991 10050 52. 解解：(1)X(1)X21 0 01 100 0 9999 01( ).EX 例题例题1随机抛掷一个均匀的骰子，求所得骰子随机抛掷一个均匀的骰子，求所得骰子的点数的点数X的均值的均值 X 1 2 3 4 5 6 P 1/6 1/6 1/6 1/6 1/

8、6 1/6解：随机变量解：随机变量X的取值为的取值为1，2，3，4，5，6其分布列为其分布列为所以随机变量所以随机变量X的均值为的均值为EX=1 1/6+2 1/6+31/6+4 1/6+5 1/6+6 1/6=3.5你能理解你能理解3.5的含义吗？的含义吗？你能归纳求离散型随机变量均值的步骤吗你能归纳求离散型随机变量均值的步骤吗?变式变式：将所得点数的：将所得点数的2倍加倍加1作为得分数，作为得分数， 即即Y=2X+1，试求，试求Y的均值？的均值？例题例题1随机抛掷一个均匀的骰子，求所得骰子随机抛掷一个均匀的骰子，求所得骰子的点数的点数X的期望的期望 Y 3 5 7 9 11 13 P 1/

9、6 1/6 1/6 1/6 1/6 1/6解：随机变量解：随机变量X的取值为的取值为1，2，3，4，5，6其分布列为其分布列为所以随机变量所以随机变量Y的均值为的均值为 EY =3 1/6+5 1/6+71/6+9 1/6+11 1/6+13 1/6=8你能归纳求离散型随机变量均值的步骤吗你能归纳求离散型随机变量均值的步骤吗?变式变式：将所得点数的：将所得点数的2倍加倍加1作为得分数，作为得分数， 即即Y=2X+1，试求，试求Y的均值？的均值？=2EX+1(3)性质：如果性质：如果X为为(离散型离散型)随机变量，则随机变量，则YaXb(其中其中a，b为常数为常数)也是随机变量，且也是随机变量，

10、且P(Yaxib)P(Xxi)，i1，2，3，n.E(Y)E(aXb)aE(X)b.想一想想一想：随机变量的均值与样本的平均值有何联系与区别？随机变量的均值与样本的平均值有何联系与区别？提示提示(1)随机变量的均值是常数，而样本的均值，随样本随机变量的均值是常数，而样本的均值，随样本的不同而变化的不同而变化(2)对于简单随机样本，随着样本容量的增对于简单随机样本，随着样本容量的增加，样本平均值越来越接近于总体均值加，样本平均值越来越接近于总体均值两点分布与二项分布的均值两点分布与二项分布的均值2XX服从两点分布服从两点分布XB(n，p)E(X)_(p为成功概率为成功概率)_pnp X P ()

11、(),1,2,3iiP YaxbP Xxin而证：设离散型随机变量证：设离散型随机变量X的概率分布为的概率分布为ip2x2pnpix1x1pnx所以所以Y的分布列为的分布列为 Y P ip2axb 2pnpiaxb 1axb 1pnaxb 1122()()()nnEYax b paxb paxb p1122()nna x px px p12()nb pppaEXb若若Y=aX+b,Y=aX+b,则则EY=aEX+bEY=aEX+b1 1、随机变量、随机变量的分布列是的分布列是135P0.50.30.2(1)则则E= . 2 2、随机变量、随机变量的分布列是的分布列是2.4(2)若若=2+1，则

12、，则E= . 5.847910P0.3ab0.2E=7.5,则则a= b= .0.40.11.1.一个袋子里装有大小相同的一个袋子里装有大小相同的3 3 个红球和个红球和2 2个黄个黄球，从中同时取球，从中同时取2 2个，则其中含红球个数的数学个，则其中含红球个数的数学期望是期望是 . .1.21.2 题型一题型一利用定义求离散型随机变量的数学期望利用定义求离散型随机变量的数学期望 袋中有袋中有4只红球，只红球，3只黑球，今从袋中随机取出只黑球，今从袋中随机取出4只球，只球，设取到一只红球得设取到一只红球得2分，取得一只黑球得分，取得一只黑球得1分，试求得分分，试求得分X的数学期望的数学期望思

13、路探索思路探索 先分析得分的所有取值情况，再求分布列，代先分析得分的所有取值情况，再求分布列，代入公式即可入公式即可【例例1】X5678P规律方法规律方法求数学期望的步骤是：求数学期望的步骤是：(1)明确随机变量的取值，明确随机变量的取值，以及取每个值的试验结果；以及取每个值的试验结果；(2)求出随机变量取各个值的概求出随机变量取各个值的概率；率；(3)列出分布列；列出分布列；(4)利用数学期望公式进行计算利用数学期望公式进行计算 在在10件产品中，有件产品中，有3件一等品、件一等品、4件二等品、件二等品、3件三件三等品从这等品从这10件产品中任取件产品中任取3件，求取出的件，求取出的3件产品

14、中一等件产品中一等品件数品件数X的分布列和数学期望的分布列和数学期望【变式变式1】X0123P跟踪训练跟踪训练例例1.篮球运动员在比赛中每次罚球命中得篮球运动员在比赛中每次罚球命中得1分，分，罚不中得罚不中得0分已知某运动员罚球命中的概率为分已知某运动员罚球命中的概率为0.7，则他罚球，则他罚球1次的得分次的得分X的均值是多少？的均值是多少？一般地，如果随机变量一般地，如果随机变量X X服从两点分布，服从两点分布，X10Pp1p则则()10 (1)E Xppp 小结：小结：0.7例例2.篮球运动员在比赛中每次罚球命中得篮球运动员在比赛中每次罚球命中得1分，分，罚不中得罚不中得0分已知某运动员罚

15、球命中的概率为分已知某运动员罚球命中的概率为0.7，他连续罚球，他连续罚球3次；次；（1）求他得到的分数）求他得到的分数X的分布列；的分布列；（2）求）求X的期望。的期望。X0123P33 . 0解解：(1) XB（3，0.7）2133 . 07 . 0 C3 . 07 . 0223 C37 . 0(2)31222333()0 0.310.7 0.320.70.33 0.7E XCC ()2.1E X 7 . 03 一般地，如果随机变量一般地，如果随机变量X服从二项分布，服从二项分布，即即XB（n,p），则），则()E Xnp小结：小结：基础训练基础训练： 3.一个袋子里装有大小相同的一个袋子

16、里装有大小相同的3 个红球个红球和和2个黄球，从中有放回地取个黄球，从中有放回地取5次，则取到红次，则取到红球次数的数学期望是球次数的数学期望是 .3证明：服从二项分布证明：服从二项分布 的随机变量的期望的随机变量的期望),(pnB Enp00111001nnkkn knnnnnnEC p qC p qkC p qnC p q )(0111)1()1(11121111001qpCqpkCqpCqpCnpnnnknkknnnnn npqpnpn 1)(所以，所以，npEpnB 则则若若),(knkknknkknqpCppCkP )1()( 证明：证明：为为提示提示:11kknnkCnC例例3题型

17、二二项分布的均值题型二二项分布的均值【名师点评【名师点评】(1)如果随机变量如果随机变量X服从两点分布服从两点分布,则其则其期望值期望值E(X)p(p为成功概率为成功概率)(2)如果随机变量如果随机变量X服从二项分布即服从二项分布即XB(n,p),则则E(X)np,以上两特例可以作为常用结论以上两特例可以作为常用结论,直接代入求解直接代入求解,从而从而避免了繁杂的计算过程避免了繁杂的计算过程某电视台开展有奖答题活动，每次要求答某电视台开展有奖答题活动，每次要求答30个选择个选择题，每个选择题有题，每个选择题有4个选项，其中有且只有一个正确答案，个选项，其中有且只有一个正确答案，每一题选对得每一

18、题选对得5分，选错或不选得分，选错或不选得0分，满分分，满分150分，规定分，规定满满100分拿三等奖，满分拿三等奖，满120分拿二等奖，满分拿二等奖，满140分拿一等奖，分拿一等奖，有一选手选对任意一题的概率是有一选手选对任意一题的概率是0.8，则该选手有望能拿，则该选手有望能拿到几等奖？到几等奖？解解选对题的个数选对题的个数XB(30，0.8)，故，故E(X)300.824，由于由于245120(分分)，所以该选手有望能拿到二等奖所以该选手有望能拿到二等奖【变式变式2】一次英语单元测验由一次英语单元测验由2020个选择题构成，每个选个选择题构成，每个选择题有择题有4 4个选项，其中有且仅有

19、一个选项是正确个选项，其中有且仅有一个选项是正确答案，每题选择正确答案得答案，每题选择正确答案得5 5分，不作出选择或分，不作出选择或选错不得分，满分选错不得分，满分100100分。学生甲选对任一题的分。学生甲选对任一题的概率为概率为0.90.9，学生乙则在测验中对每题都从，学生乙则在测验中对每题都从4 4个个选项中随机地选择一个。求学生甲和学生乙在选项中随机地选择一个。求学生甲和学生乙在这次英语单元测验中的成绩的均值。这次英语单元测验中的成绩的均值。例题例题3解解： 设学生甲和学生乙在这次英语测验中设学生甲和学生乙在这次英语测验中选择了正确答案的选择题个数分别是选择了正确答案的选择题个数分别

20、是 和和 ，则，则 B(20B(20，0.9)0.9)， B(20B(20，0.25)0.25)，EE20200.90.91818，EE20200.250.255 5由于答对每题得由于答对每题得5 5分，学生甲和学生乙在这分，学生甲和学生乙在这次英语测验中的成绩分别是次英语测验中的成绩分别是55和和55。所以，。所以，他们在测验中的成绩的均值分别是他们在测验中的成绩的均值分别是E(5)E(5)5E5E5 518189090，E(5)E(5)5E5E5 55 52525 随机变量的均值随机变量的均值 样本的平均值？样本的平均值？ 例如取糖果问题，将每次取出的糖果价格例如取糖果问题，将每次取出的糖

21、果价格定为样本，每次取糖果时样本会有变化，定为样本，每次取糖果时样本会有变化，样本的平均值也会跟着变化；而随机变量样本的平均值也会跟着变化；而随机变量的均值是常数。的均值是常数。思考思考甲同学一定会得甲同学一定会得90分吗？分吗？90表示随机变量表示随机变量X的均值；的均值；具体考试甲所得成绩是样本实际平均值；具体考试甲所得成绩是样本实际平均值； 不一定不一定, ,其含义是在多次类似的测试其含义是在多次类似的测试中中, ,他的平均成绩大约是他的平均成绩大约是9090分分 某突发事件在不采取任何预防措施的情况下发生的概率为0.3，一旦发生将造成400万元的损失现有甲、乙两种相互独立的预防措施可供

22、采用单独采用甲、乙预防措施所需的费用分别为45万元和30万元，采用相应预防措施后此突发事件不发生的概率分别为0.9和0.85.若预防方案允许甲、乙两种预防措施单独采取、联合采取或不采取，请确定预防方案使总费用最少(总费用采取预防措施的费用发生突发事件损失的期望值)题型题型三三数学期望的实际应用数学期望的实际应用【例例3】 规范解答规范解答 不采取预防措施时，总费用即损失期望值为不采取预防措施时，总费用即损失期望值为E14000.3120(万元万元)； (2分分)若单独采取预防措施甲，则预防措施费用为若单独采取预防措施甲，则预防措施费用为45万元，万元，发生突发事件的概率为发生突发事件的概率为1

23、0.90.1，损失期望值为损失期望值为E24000.140(万元万元)，所以总费用为所以总费用为454085(万元万元)； (5分分)若单独采取预防措施乙，则预防措施费用为若单独采取预防措施乙，则预防措施费用为30万元，万元，发生突发事件的概率为发生突发事件的概率为10.850.15，损失期望值为损失期望值为E34000.1560(万元万元)，所以总费用为所以总费用为306090(万元万元)； (8分分)若联合采取甲、乙两种预防措施，若联合采取甲、乙两种预防措施，则预防措施费用为则预防措施费用为453075(万元万元)，发生突发事件的概率为发生突发事件的概率为(10.9)(10.85)0.01

24、5，损失期望值为损失期望值为E44000.0156(万元万元)，所以总费用为，所以总费用为75681(万元万元) (11分分)综合综合、，比较其总费用可知，选择联合采取，比较其总费用可知，选择联合采取甲、乙两种预防措施，可使总费用最少甲、乙两种预防措施，可使总费用最少 (12分分)【题后反思【题后反思】 均值反映了随机变量取值的平均水平我均值反映了随机变量取值的平均水平我们对实际问题进行决策时，当平均水平比较重要时，决策们对实际问题进行决策时，当平均水平比较重要时，决策的依据首先就是随机变量均值的大小的依据首先就是随机变量均值的大小据统计，一年中一个家庭万元以上的财产被盗的概据统计，一年中一个

25、家庭万元以上的财产被盗的概率为率为0.01.保险公司开办一年期万元以上家庭财产保险，参保险公司开办一年期万元以上家庭财产保险，参加者需交保险费加者需交保险费100元，若在一年以内，万元以上财产被盗，元，若在一年以内，万元以上财产被盗，保险公司赔偿保险公司赔偿a元元(a100)问问a如何确定，可使保险公司期如何确定，可使保险公司期望获利？望获利？解解设设X表示保险公司在参加保险人身上的收益，表示保险公司在参加保险人身上的收益，则则X的取值为的取值为X100和和X100a，则，则P(X100)0.99.P(X100a)0.01，所以所以E(X)0.991000.01(100a)1000.01a0，

26、所以所以a10 000.又又a100，所以，所以100a10 000.即当即当a在在100和和10 000之间取值时保险公司可望获利之间取值时保险公司可望获利【变式变式3】思考思考1.1.某商场的促销决策：某商场的促销决策： 解解: :因为商场内的促销活动可获效益因为商场内的促销活动可获效益2 2万元万元设商场外的促销活动可获效益设商场外的促销活动可获效益 万元万元, ,则则 的分布列的分布列P 10 40.6 0.4所以所以E =100.6(-4) 0.4=4.4因为因为4.42,所以商场应选择在商场外进行促销所以商场应选择在商场外进行促销. .思考思考2.2. 有场赌博，规则如下：如掷一个

27、骰子，出现有场赌博，规则如下：如掷一个骰子，出现1 1，你赢，你赢8 8元；出现元；出现2 2或或3 3或或4 4，你输，你输3 3元；出现元；出现5 5或或6 6，不输不赢这场，不输不赢这场赌博赌博对你是否有利对你是否有利? ? 11111030 .6236E 对你不利对你不利! !劝君莫参加赌博劝君莫参加赌博. . 根据气象预报根据气象预报,某地区近期有小洪水的概率某地区近期有小洪水的概率为为0.25,有大洪水的概率为有大洪水的概率为0.01.该地区某工地该地区某工地上有一台大型设备上有一台大型设备,遇到大洪水时损失遇到大洪水时损失60000元元,遇到小洪水损失遇到小洪水损失10000元元

28、.为保护设备为保护设备,有有以下以下3种方案种方案: 方案方案1:运走设备运走设备,搬运费为搬运费为3800元元; 方案方案2:建保护围墙建保护围墙,建设费为建设费为2000元元, 但围墙只能防小洪水但围墙只能防小洪水; 方案方案3:不采取任何措施不采取任何措施,希望不发生洪水希望不发生洪水. 试比较哪一种方案好试比较哪一种方案好?例例 4 三家公司为王明提供了面试机会，按面试的时间顺三家公司为王明提供了面试机会，按面试的时间顺序，三家公司分别记为甲、乙、丙，每家公司都提供极好、序，三家公司分别记为甲、乙、丙，每家公司都提供极好、好、一般三种职位，每家公司将根据面试情况决定给予求好、一般三种职

29、位，每家公司将根据面试情况决定给予求职者何种职位或拒绝提供职位若规定双方在面试以后要职者何种职位或拒绝提供职位若规定双方在面试以后要立即决定提供、接受、拒绝某种职位，且不允许毁约，已立即决定提供、接受、拒绝某种职位，且不允许毁约，已知王明获得极好、好、一般职位的可能性分别为知王明获得极好、好、一般职位的可能性分别为0.2，0.3，0.4，三家公司工资数据如下：，三家公司工资数据如下：【示示例例】公司公司职位职位极好极好好好一般一般甲甲3 5003 0002 200乙乙3 9002 9502 500丙丙4 0003 0002 500王明如果把工资数尽量提高作为首要条件，那么他在甲、乙、王明如果把

30、工资数尽量提高作为首要条件，那么他在甲、乙、丙公司面试时，对该公司提供的各种职位应如何决策？丙公司面试时，对该公司提供的各种职位应如何决策？ 思路分析思路分析 根据提供的数据计算三家公司的均值，因为面试根据提供的数据计算三家公司的均值，因为面试有时间先后顺序，所以在解决问题时应先考虑公司丙有时间先后顺序，所以在解决问题时应先考虑公司丙解解由于面试有时间先后，所以在甲、乙公司面试做选择时，由于面试有时间先后，所以在甲、乙公司面试做选择时，还要考虑到后面丙公司的情况，所以应从丙公司开始讨论还要考虑到后面丙公司的情况，所以应从丙公司开始讨论丙公司的工资均值为丙公司的工资均值为4 0000.23 00

31、00.32 5000.400.12 700(元元)，现在考虑乙公司，因为乙公司的一般职位工资只有现在考虑乙公司，因为乙公司的一般职位工资只有2 500元，元，低于丙公司的均值，所以只接受乙公司极好或好的职位，否低于丙公司的均值，所以只接受乙公司极好或好的职位，否则就到丙公司则就到丙公司如此决策时他的工资均值为如此决策时他的工资均值为3 9000.22 9500.32 7000.53 015(元元)，最后考虑甲公司，最后考虑甲公司，由于甲公司只有极好职位的工资超过由于甲公司只有极好职位的工资超过3 015元，所以他只元，所以他只接受甲公司极好职位，否则就到乙公司接受甲公司极好职位，否则就到乙公司

32、所以总的决策为：所以总的决策为：先去甲公司应聘，若甲公司提供极好职位就接受，否则去先去甲公司应聘，若甲公司提供极好职位就接受，否则去乙公司应聘；乙公司应聘；若乙公司提供极好或好的职位就接受，否则就到丙公司；若乙公司提供极好或好的职位就接受，否则就到丙公司；接受丙公司提供的任何职位接受丙公司提供的任何职位工资均值为工资均值为3 5000.23 0150.83 112(元元)方法点评方法点评 由于三家公司提供了三种不同工资的职位，由于三家公司提供了三种不同工资的职位，获得不同职位的可能性也不相同，所以我们考虑到用工资获得不同职位的可能性也不相同，所以我们考虑到用工资的均值来决策这类问题将实际的应用

33、题通过建立的均值来决策这类问题将实际的应用题通过建立“数学数学期望期望”模型得以解决模型得以解决 X P 一般地一般地,若离散型随机变量若离散型随机变量X的概率分布为的概率分布为ip2x2pnpix1x1pnx 则称则称 为随机变量为随机变量X的的均值均值或或数学期望数学期望,数学期望又简称为数学期望又简称为期望期望。 1122iinnEXx px px px p小小 结结()E aXbaEXb(1)随机变量均值的线性性质随机变量均值的线性性质 若若B(n，p)， 则则E= np(2)服从两点分布的均值服从两点分布的均值(3)服从二项分布的均值服从二项分布的均值 若若B(1，p)， 则则E= p提升训练：1.已知随机变量的分布列如下：已知随机变量的分布列如下：P213210121611213141121分别求出随机变量分别求出随机变量21122；的分布列的分布列解：解：且相应取值的概率没有变化且相应取值的概率没有变化的分布列为：的分布列为：1P11012161121314112121212311由由211可得可得的取值为的取值为 、21、0、21、1、231 已知随机变量的分布列如下：已知随机变量的分布列如下：P