专题训练(一)　证明三角形全等四种添加辅助线的方法

1、.专题训练一证明三角形全等四种添加辅助线的方法方法一直接连线构造全等三角形1如图1ZT1，ABAD，BCDC.求证：ABCADC.图1ZT12如图1ZT2，ABAE，ABCAED，BCED，AFCD.求证：F是CD的中点图1ZT23如图1ZT3，AC，BD相交于点O，且ABDC，ACDB.求证：ABODCO.图1ZT3方法二倍长中线构造全等三角形4如图1ZT4，AD是ABC的边BC上的中线，AB4，AC8，求中线AD的取值范围图1ZT45：如图1ZT5，在ABC中，AD是BC边上的中线，E是AD上一点，且BEAC，延长BE交AC于点F.求证：BEDCAD.提示：等腰三角形的两底角相等图1ZT5

2、方法三作垂直构造全等三角形6如图1ZT6所示，四边形ABCD中，BCBA，ADCD，BD平分ABC，求证：AC180.图1ZT67如图1ZT7，AOB90，OM平分AOB，将三角尺的顶点P在射线OM上挪动，两直角边分别与OA，OB相交于点C，D，那么PC与PD相等吗？并说明理由图1ZT7方法四翻折构造全等三角形8如图1ZT8所示，BE平分ABC，E为AD的中点，且BCBACD.求证：CE平分BCD.图1ZT891如图1ZT9，OP是MON的平分线，点A为OM上一点，点B为OP上一点请你利用该图形在ON上找一点C，使COBAOB.参考这个作全等三角形的方法，解答以下问题：2如图，在ABC中，AC

3、B是直角，B60，AD，CE分别是BAC，BCA的平分线，AD，CE相交于点F.请你判断并写出EF与DF的数量关系3如图，在ABC中，假如ACB不是直角，而2中的其他条件不变，那么2中所得结论是否仍然成立？请说明理由图1ZT9详解详析1证明：连接AC.在ABC与ADC中，ABCADCSSS，ABCADC.2证明：如图，连接AC，AD.在ABC和AED中，ABCAEDSAS，ACAD.AFCD，AFCAFD90.在RtACF和RtADF中，RtACFRtADFHL，CFDF，F是CD的中点3证明：连接BC.在ABC和DCB中，ABCDCBSSS，AD.在AOB和DOC中，AOBDOCAAS，AB

4、ODCO.4解析 通过作辅助线，把AB，AD，AC转化到同一个三角形中，如图，证ADBEDC，推出ECAB，在ACE中，利用三角形的三边关系求解解：如图，延长AD到点E，使ADED，连接CE.D是BC的中点，BDCD.在ADB和EDC中，ADBEDCSAS，ECAB4，ACECACAB844，ACCEACAB12.根据三角形的三边关系，得4AE12.AE2AD，2AD6.5证明：如图，延长AD到点G，使得ADGD，连接BG.AD是BC边上的中线，DCDB.在ADC和GDB中，ADCGDBSAS，CADG，BGAC.又BEAC，BEBG，BEDG，BEDCAD.6证明：如图，过点D作DEBA，D

5、FBC，垂足分别为E，F.DEBA，DFBC，DEBDFB90.BD平分ABC，DBEDBF.在DEB和DFB中，DEBDFB，DEDF.在RtDEA和RtDFC中，RtDEARtDFCHL，CEAD.BADEAD180，BADC180.7解：PC与PD相等理由如下：过点P作PEOA于点E，PFOB于点F.OM平分AOB，POEPOF.在OPE与OPF中，OPEOPFAAS，PEPF.AOB90，PEOPFO90，EPF90，EPCCPF90.又CPD90，CPFFPD90，EPCFPD .在PCE与PDF中，PCEPDFASA，PCPD.8解析 在BC上截取BFBA.根据SAS证明BAEBF

6、E，再证明CEFCED即可证明：如图，在BC上截取BFBA，连接EF.BE平分ABC，ABEFBE.在BAE和BFE中，BAEBFE，AEFE.E是AD的中点，DEAEFE.BCBACD，BABF，CDCF.在CED和CEF中，CEDCEFSSS，FCEDCE，即CE平分BCD.9解：1如图所示，COBAOB，点C即为所求2如图，在CA上截取CGCD，连接FG.CE是BCA的平分线，DCFGCF.在CFG和CFD中，CFGCFDSAS，DFGF.B60，AD，CE分别是BAC，BCA的平分线，FACBAC，FCAACB，且EAFGAF，FACFCABACBCA18060，AFC120，CFD60CFG，AFG60.又AFECFD60，AFEAFG.在AFG和AFE中，AFGAFEASA，GFEF，EFDF.3EFDF仍然成立理由：如图，在AC上截取AGAE，连接FG.同2可得EAFGAFSAS，EFGF，EFAGFA.又由题意可知F