专题训练(六)　巧用等腰三角形的性质求解五类问题

1、.专题训练六巧用等腰三角形的性质求解五类问题 类型一证明线段相等1如图6ZT1所示，在等边三角形ABC的AC边上取中点D，BC的延长线上取一点E，使CECD.求证：BDDE.图6ZT12：如图6ZT2，ABAC，D是AB上一点，DEBC于点E，ED的延长线交CA的延长线于点F.求证：ADF是等腰三角形图6ZT2类型二证明两线垂直3如图6ZT3所示，在ABC中，ABAC，ABDACD.求证：ADBC.图6ZT34如图6ZT4，在ABC中，ABAC，D为AC上一点，DBCBAC.求证：ACBD.图6ZT4类型三证明两角相等52019·裕华区校级模拟如图6ZT5，在ABC中，ABAC，BD

2、AC于点D，CEAB于点E，BD，CE相交于点F.求证：BAFCAF.图6ZT56如图6ZT6，AD是BAC的平分线，点E在AB上，且AEAC，EFBC交AC于点F，AD与CE交于点G，与EF交于点H.1求证：AD垂直平分CE；2求证：EDHEHD.图6ZT6类型四证明角的倍分关系7：如图6ZT7所示，AF平分BAC，BCAF，垂足为E，AEED，PB与线段CF，AF分别交于点P，M，FMCD.求证：BAC2MPC.图6ZT8类型五证明线段的倍分关系8如图6ZT8所示，在ABC中，ABAC，A120°，AB的垂直平分线MN与BC，AB分别交于点M，N.求证：CM2BM.图6ZT89如

3、图6ZT9所示，过等边三角形ABC的边AB上一点P，作PEAC于点E，Q为BC延长线上一点，且PACQ，连接PQ交AC边于点D.求证：1PDQD；2DEAC.图6ZT9详解详析1解析 欲证BDDE，只需证DBEE.根据等腰三角形的“三线合一和等边三角形的性质可得DBEABC30°.再根据三角形的外角性质和等边三角形的性质可得E30°.由此可得结论证明：ABC为等边三角形，BD是AC边上的中线，ABCACB60°，BDAC，BD平分ABC，DBEABC30°.CDCE，CDEE.ACB为CDE的外角，ACB60°，CDEE60°，CDE

4、E30°， DBEE，BDDE.等角对等边2证明：ABAC，BC.等边对等角DEBC于点E，FEBFEC90°，BEDBCEFC90°，EFCEDB.等角的余角相等又EDBADF，对顶角相等EFCADF，ADF是等腰三角形3解析 首先证明DBCDCB，可得DBDC，再加上条件ABAC，公共边ADAD，可利用SSS证明ABDACD，进而得到BADCAD，再根据等腰三角形顶角的平分线与底边上的高线重合可证出ADBC.此题通过证明线段AD所在的直线是BC的垂直平分线也可得证证明：如图，延长AD交BC于点M.ABAC，ABCACB.又ABDACD，ABCABDACBACD

5、，即DBCDCB，DBDC.ABAC，DBDC，线段AD所在的直线是线段BC的垂直平分线，ADBC.4解析 首先过点A作AEBC于点E，交BD于点F.由ABAC，根据等腰三角形“三线合一的性质，可得CAEBAC，又由DBCBAC，可得CAEDBC.在ADF与BEF中，易证得ADFBEF90°，即可得ACBD.证明：如图，过点A作AEBC于点E，交BD于点F.ABAC，AEBC，CAEBAC.等腰三角形“三线合一又DBCBAC，CAEDBC.又12，ADF180°2CAE，BEF180°1DBC，ADFBEF.AEBC，BEF90°，ADF90°

6、，ACBD.5证明：ABAC，ABCACB.等边对等角BDAC，CEAB，CEBBDC90°，ECB90°ABC，DBC90°ACB，ECBDBC，等量代换FBFC.等角对等边在ABF和ACF中，ABFACF，SSSBAFCAF.全等三角形的对应角相等6证明：1AEAC，AD是BAC的平分线，AD垂直平分CE.2由1可知D为CE垂直平分线上的点，CDDE，DCEDEC.EFBC，DCECEFDEC，EG平分DEF.EGAD，DEH是等腰三角形，且EDEH，EDHEHD.7解析 先由AF平分BAC证明BAEBAC，再根据等腰三角形“三线合一和线段垂直平分线的性质证明

7、CDEBAE.从而CDEBAC.然后在MDC和MPF中证明MDCMPF，进而得MPCCDEBAC.证明：AF平分BAC，BCAF，BAECAEBAC，CEBE.CEAE，AEED，ACCD，CDECAEBAC.BCAF，CEBE，CMBM，CMABMA.又BMAPMF，CMAPMF.又FMCD，MPF180°FPMF，MDC180°MCDCMA，MPFMDC，MPCCDECAEBAC，BAC2MPC.8证明：连接AM，MN垂直平分AB，AMBM.BAC120°，ABAC，BC30°.AMBM，BBAM30°，MAC120°30°90°.在ACM中，MAC90°，C30°，CM2AM，CM2BM.9导学号：52222282解析 1过点P作BC的平行线交AC于点F，通过证明PFD和QCD全等，可推出PDDQ；2由APF是等边三角形和PEAC，可推出AEEFAF.由PFD和QCD全等，可得出FDCDFC，进而可得DEAC.证明：1如图，过点P作PFBC，交AC于点F.ABC是等边三角形，BACB60°.又PFBC，APFAFPBACB60°，APF是等边三