用三角函数展开法获得高阶色散修正的非线性薛定谔方程广义孤子解

1、第24卷第3期2009年9月湖南科技大学学报（自然科学版）JournalofHunanUniversityofScience&Technology（NaturalScienceEdition）Sept.2009用三角函数展开法获得高阶色散修正的非线性薛定谔方程广义孤子解赵明卓，刘小娟（湖南科技大学物理学院，湖南湘潭411201）摘要：运用三角函数展开法和符号计算软件maple求解高阶色散修正的非线性薛定谔(NLS)方程，获得了扭结孤子解，是一种关键词：三角函数展开法；非线性代数方程组；孤子解中图分类号：O415文献标识码：A文章编号：1672-9102（2009）03-0126-03在

2、光通信领域，光孤子通信系统的重要性越来越被人们意识到.从物理学的观点来看，光孤子是光学系统非线性效应的一种特殊产物，它能够长距离不变形地在光纤中传输，始终保持其波形和速度不变.它完全摆脱了光纤色散对传输速率和通信容量的限制，其传输容量比当今最好的通信系统高出12个数量级，中继距离可达几百公里.它被认为是下一代最有发展前途的传输方式之一.从数学上看，光孤子是某些非线性偏微分方程的一类稳定的、能量有限的不弥散解.由于光孤子固有的特性，是可以实现超长距离、超大容量光通信的良好载体，使得寻求其精确解析解的方法成为该领域很有价值的工作和研究热点.描述皮秒光孤子在非线性色散光纤中传输的一个完全可积模型是非

3、线性薛定谔方程（NLS），其中只考虑了群速度色散和自相位调制.对于亚皮秒和飞秒级的光孤子，高阶色散效应的影响将变得非常重要，此时系统要由高阶色散NLS方程来描述：22i+u+u鄣2鄣22鄣3u+鄣2鄣+3u鄣ui1=0，（1）2uu其中u为电场的复包络，1是三阶色散参数，2是自陡峭参数，3是自频移参数1-2.对于非线性方程，目前已经有了多种求其精确解析解的方法.如：逆散射法3，Hirota变换法4，函数展开（1）.法5-7.本文采用三角函数展开法求解方程1高阶色散NSL方程的行波约化uu为了能够应用三角函数展开法，首先需把（1）式约化为常微分方程.设（1）式具有如下形式的行波解：u=（x）ei

4、(k-)，x=k（-c）.（2）代入（1）式可得ik'+ck'-1c3k3'''+31ck2'-32ck2'-23ck2'+-K+1c2k2''-12+3+3c2k2''-3+3=1120，（3）令其实部和虚部分别为零：k'+ck'-1c3k3'''+31ck2'-（4）32ck2'-23ck2'=0，-k+1c2k2''-12+3+31c2k2''-13+23=0.（5）对（4）式积分一次可得-1c3k

5、3''+（k+ck+31ck2）-（2ck+收稿日期：2009-05-08基金项目：湖南省自然科学基金(09JJ3012)作者简介：赵明卓(1978-)，女，湖南沅江人，硕士生，讲师，主要从事光学系统的量子特性和非线性研究.1262ck3=0（6）3）和（6）的解相容，其系数须满足下为了使方程（5列关系式1c2k2+3c2k2-K-12-311=-1c3k3k+ck+31ck21+3，（7）-2ck+3ck即1+1-23123=，1213）（k+ck+31ck2-12-K=22ck+3ck313.（8）令A=-1c3k3，B=（k+ck+31ck2），C=-2ck-23ck，（

6、9）于是（6）式简写为A''+B+C3=0，（10）B，C为任意值时，方程（10）的解是平凡当A=0，解.当A0，B0，c=0时方程（10）的解为=exp均不为零时的解.（10）式积分一次可得A'2+B2+C4=D，224其中D是积分常数.-x 姨A，当A0，B=0，c0时解为=-1 B，C 姨，此二解均不是孤子解.下面求A，（11）应用三角函数展开法求解约化后的非线性常微分方程（11）设方程（11）的解可展为如下的三角函数形式ii（x）=（Eicos（lw）+Fisin（lw）+G，i=1m（12）Fi，G为待定常数，并取其中Ei，=sin（lw）.（13）dx4的最

7、高因=的最高次幂为m+1，dxdxdx次幂为4m，平衡最高次幂2m+2=4m，（14）得m=1所以方程（11）的解可写为如下形式（x）=Ecos（lw）+Fsin（lw）+G.（15）式代入（11）式可得将（15（1CE4+1AE2l2-1AF2l2-3CE2F2+1CF4）43cos（lw）+（CE3F-CEF3+AEl2F）cos（lw）sin（lw）+32（CE3G-3CEF2G）cos（lw）+（3CE2FG-CF3G）cos（lw）sin（lw）+（BE2+CE2G2-CF2G2-AE2l2-2221CF4-1BF2+1AF2l2+3CE2F23）cos（lw）+2222（BEF+3

8、CEFG2+CEF3-AEl2F）cos（lw）sin（lw）+（BEG+CEG3+3CEF2G）cos（lw）+（BFG+CFG3+CF3G）sin（lw）-D+1BG2+1CG4+3CF2G2+1AE2l2+1CF4+1BF2=0，（16）224243令cos（lw），cos（lw），sin（lw）各项系数为零，可得如下代数方程组1CE4+1AE2l2-1AF2l2-3CE2F2+1CF4=0，42224CE3F-CEF3+AEl2F=0，CE3G-3CEF2G=0，3CE2FG-CF3G=0，1BE2+3CE2G2-3CF2G2-AE2l2-1CF4-1BF2+222221AF2l2+3

9、CE2F2=0，（17）BEF+3CEFG2+CEF3-AEl2F=0，BEG+CEG3+3CEF2G=0，BFG+CFG3+CF3G=0，-D+1BG2+1CG4+3CF2G2+1AE2l2+1CF424224+BF2=0.2用数学软件Maple求得非线性代数方程组（17）的解如下（已略去平凡解）l=l，E=E，D=AE2l2，F=0，B=2Al2，A=A，C=-22，2EG=0，B=-1CF2，F=F，D=0，C=C，A=1CF，E=0，l=l，G=0，F=F，C=C，l=l，G=0，E=iF，B=CF2，D=-CF4，4A=2.（18）l23解的分析方程（6）的一般解为sin（lw）=s

10、inh（lx+x0），cos（lw）=tanh（lx+x0）.（19）其中x0为积分常数.把（9），（19），（12）式和（18）的，127，分别代入（2）式，即可得（1）的解tanh（lx+x0）ei(k-)，-2ck-23ck2=±sinh（lx+x0）ei(k-)，-2ck+23ck3=±sinh（lx+x0）ei(k-)±-2ck-23ckitanh（lx+x0）ei(k-)（.20）-2ck-3ck21c3k3l2当各参数满足关系式>0时1-2ck-3ck3是扭结孤子，是一种广义孤子，此解与通常的光孤子不同，通常的光孤子是脉冲的形式（图1），而解1

11、所描述的孤子形状如图2所示.当各参数满足关系33221ckllim2=±，式>0时，因此解没有物x2ck+3ck理意义，但从纯数学的角度理解此解具有孤子的性质（即传播过程中波形不变，图3）；3是虚解.1=±-10-5-0.5-1.0510姨姨姨图2扭结孤子形状图Fig.2Kinksolitonshapemap10，0005，000-5，000-10，000图3解2所描述的形状图Fig.3Solution2describedintheshapemap参考文献：1KodamaY，HasegawaA.Nonlinearpulsepropagationinamonomode1

12、987，23：dielectricguideJ.IEEEJournalofquanyumelectronics，510-524.李福利.高等激光物理学M.北京：高等教育出版社，2006，151-152.LIFu-li.AdvancedlaserphysicsM.Beijing：HighEducationPress，2006，151-152.GUOGuan-ping，ZHANGJie-fang.NoteonsolvingsolitarywavesolutionbythehyperbolicfunctionmethodJ.ActaPhysSin，2002，51（6）：1159-1162.刘式适，傅

13、遵涛.Jacobi椭圆函数展开法及其在求解非线性波动方程中应用J.物理学报，2001，50（11）：2068-2070.FUZun-tao.ExpansionmethodabouttheJacobiEllipticLIUShi-kuo，functionanditsapplicationstononlinearwaveequationsJ.ActaPhysSin，2001，50（11）：2068-2070.付遵涛，刘式适，刘式达.非线性波方程求解的新方法J.物理学报，2004，53（2）：343-348.FUZun-tao，LIUShi-kuo，LIUShi-da.Anewmethodtocon

14、structsolutionstononlinearwaveequationsJ.ActaPhysSin，2004，53（2):343-348.2345图1光孤子脉冲图Fig.1Opticalsolitonpulsediagram4结论6运用三角函数展开法和符号计算软件maple求解高阶色散修正的非线性薛定谔（NLS）方程，获得了扭结孤子解，是一种广义孤子.作者的方法为求解高阶色散修正的NLS精确解析解提供了另一种途径，其结果对光孤子通信的实验实现是有意义的.7Opticalsolitonsolutiontohigherorderdispersionmodifiednon-linearSchrodingerequationZHAOMing-zhuo，LIUXiao-juan（Collegeofphysics，HunanUniversityofScienceandTechnology，Xiangtan411201，China）Abstract：Kinksolitonsolutionisobtainedbysolvingthehigherorderdispersionm