概率多维随机变量及其分布

1、第三章 多维随机变量及其分布教学目的：（1）使学生掌握多维随机变量的概念及其联合分布，理解并掌握边际分布和随机变量的独立性概念； （2）使学生掌握多维随机变量函数的分布，理解并掌握多维随机变量的特征数；（3）使学生理解和掌握条件分布与条件期望.重 点：本章的重点是多维随机变量的联合分布和边际分布、多维随机变量函数的分布及条件分布、多维随机变量的特征数.难 点：难点是多维随机变量函数的分布及条件分布的求法学 时：18引入：在有些随机现象中，对每个样本点只用一个随机变量去描述是不够的，比如研究儿童的生长发育情况，仅研究儿童的身高或仅研究其体重都是片面的，有必要把和作为一个整体来考虑，讨论它们总体变

2、化的统计规律性，进一步讨论和之间的关系.在有些随机现象中，甚至要同时研究二个以上随机变量.如何来研究多维随机变量的统计规律性呢？仿照一维随机变量，我们先研究联合分布函数，然后研究离散随机变量的联合分布列、连续随机变量的密度函数.3.1 多维随机变量及其联合分布 多维随机变量定义：如果是定义在同一个样本空间上的个随机变量，则称为维（或元）随机变量或随机向量.在实际问题中，多维随机变量的情况是经常会遇到的.譬如·在研究家庭的支出情况时，我们感兴趣的假定是每个家庭（样本点）的衣食住行四个方面，若用分别表示衣食住行的花费占其家庭总收入的百分比，则就是一个四维随机变量. 联合分布函数定义3.1

3、.2：对任意个实数，个事件同时发生的概率 被称为维随机变量的联合分布函数.本章主要研究二维随机变量，二维以上的情况可以类似进行.在二维随机变量场合，联合分布函数是事件与同时发生（交）的概率.如果将二维随机变量看成是平面随机点的坐标，那么联合分布函数在处的函数值就是随机点落在以为右上角的无穷矩形内的概率（见右图）. 定理3.1.1：任何一个二维联合分布函数必具有如下四条基本性质（1） 单调性：分别对或是单调不减的，即·当时，有.·当时，有.（2） 有界性：对任意的和，有，且·；·；·；·.（3） 右连续性：对每个变量都是右连续的，即&#

4、183;；·.（4） 非负性：对任意的有证明(4): 注：任何一个二维联合分布函数必具有以上四条基本性质，还可证明具有以上四条性质的二元函数一定是某个二维随机变量的分布函数.即这四条性质是判定一个二元函数是否为某个随机变量的分布函数的充要条件，比一维情形下多了一个条件.例3.1.1：判定二元函数 是否为某个二维随机变量的分布函数.解: 二元函数的图形如右图 由图显然可知二元函数满足性质（1）（2）（3）， 但是 所以，性质（4）不满足.故不是某个二维随机变量的分布函数.分析：证明某个二元函数是二维分布函数需验证满足二维分布函数的四条性质（1）（2）（3）（4），若证明不是二维分布函数

5、只需验证其中一条性质不满足即可. 联合分布列定义3.1.3：若二维随机变量只取有限个或可列个数对，则称其为二维离散随机变量，称为二维随机变量的联合分布列.还可以用表格表示成如下形式 联合分布列的性质：（1） 非负性：；（2） 正则性：.分析：求二维离散随机变量的联合分布列，关键是写出二维离散随机变量可能取的数对及其发生的概率.例3.1.2：从中任取一个数记为，再从中任取一数记为，求的联合分布列及.解: 为二维随机变量,其中的分布列为： 的可能值也是，若记为的取值，则（1）当时，；（2）当时，由此可以算得事件的概率为： 联合密度函数定义：如果存在二元非负函数，使得二维随机变量的分布函数可表示为则

6、称为二维连续随机变量，称为的联合密度函数.注：在偏导数存在的点上，有.联合密度函数的基本性质（1）非负性（2）正则性 注：给出联合密度函数，就可以求有关事件的概率了.若为平面上的一个可积区域，则事件的概率可表示为在上对密度函数的二重积分在具体使用上式运算时时，要注意代入后的新积分范围是的非零区域与的交集部分，然后设法化二重积分为二次累次积分，最后计算出结果.例3.1.3：设的联合密度函数为 试求：（1）； （2）.解：（1） （2） 常用多维分布一、多项分布（多项分布是重要的多维离散分布，它是二项分布的推广）进行次独立重复的试验，如果每次试验有个可能结果：且每次试验中事件发生的概率均为，设为次

7、独立重复的试验中事件出现的次数，则维随机变量取值为时的概率，即出现次，出现次，出现次的概率为.这个联合分布列称为项分布，又称为多项分布，记为这个概率是多项式的展开式中的一项，故其和为1特别低，当时，为二项分布.例3.1.4：一批产品共有100件，其中一等品60件，二等品30件，三等品10件.从这批产品中有放回地任取3件，以和分别表示取出的3件产品中一等品、二等品的件数，求二维随机变量的联合分布列.解：和的可能取值都是，令 （1）时，有，即 ； （2）时，事件表示：取出的3件产品中有件一等品、件二等品、件三等品的件数，所以有放回地抽取时，对，有此例中的分布又叫三项分布，它是一种特殊的多项分布.二

8、、多维超几何分布多维超几何分布的描述：袋中有只球，其中有只号球，.记，从中任意取出只，若记为取出的只球中号球的个数，则 .例3.1.5：一批产品共有100件，其中一等品60件，二等品30件，三等品10件.从这批产品中不放回地任取3件，以和分别表示取出的3件产品中一等品、二等品的件数，求二维随机变量的联合分布列.解：令（1）时，有，即 ；（2）时，事件表示：取出的3件产品中有件一等品、件二等品、件三等品的件数，所以有放回地抽取时，对，有此例是超几何分布的推广，称为三维超几何分布，它是一种特殊的多维超几何分布.三、多维均匀分布设为中的一个有界区域，其度量（平面上为面积，空间上为体积）为，如果多维随机变量的联合密度函数为则称服从上的多维均匀分布，记为.二维均匀分布所描述的随机现象就是向平面区域中随机投点，如果该点坐标落在的子区域上的概率只与的面积有关，而与的位置无关，则例3.1.6：设为平面上以原点为圆心，以为半径的圆，服从上的二维均匀分布，其密度函数为试求概率.解法一 注：解法二 （求几何概率）因为服从上的二维均匀分布，所以 四、二元正态分布 如果二维随机变量的联合