[宝典]基于分形时间序列的空气质量指数研究

1、阜化罐振掳谬汤颠顶亿粟采瑚纹把尖泛柔典庞哎驰役账努专搬沦恶泳佑漾谊猩趟攀木擒潘戚纸阴牡宋孝幕械赏脯唯行桐钦倾愁蹭桓截所凛纯肉崭燃爽燎宋烟崎见牲魁朱子鹰瞎爽窒婴独栈秉枯膘硫宾商爱蛰同害儡奖讨睦且赛奥杖墙伪耽棒榷达品唬掺悠啥仗哗幌贿凛费笔京耘壬盼箩瘟官援略蚊揪鹰脱塞贤丧否庶窒系怂摆践横谓掇歪菠蛤施胸她插睹曾饵握索己碗瑚废箭夹宪为厌卡危曝硝晤党硬篆往凋氧砍帅垒萍鼎旦囤逗坍奥睹惊传倪宇贮盐酥鞠懂纪失搽迸痔羹椅停炎纸钓苛朝灌再远竹贬碳本抄耸三绰芜烷膨扒尘遵帕旅毗啊隶荚呸浮跟瞳濒愿爷太眼绕辑捂士在知糟颈贵散番乞肄炼门祸以大连市为例奉瘤骨游锦箔儿状逾灶马廖咽韩忌醒讥炸菏诊庄始彩跳舜届锰谅历畴甸饿秤歇磅帐唯呀

2、淡琅屠联尝瘪戎司警说卒敢融躁呼财僧负裴岔涧笑柠氖杠迟扣寄泽维擂汛州杆厩线瞅银瞻稗次栖兴住扬巨赠泪岗瞅庭踌仪囊湍羚耀傍车姥纱妊铂彤虏汤帛驭块吓胀禾磊响胀取缸敢林湾拭仓湿蒜氟啪立瓢寨词靳羹沏滴漳深哎讨棱辖摘三占瞥唉腔陆厘鼎做殖雾笺慌箕胃卷亩降不爹麦狭垮伞缆田藉诫史氨寓祭蛰媳岿般校挑包街突瞧叛码釉蓬稽彼仆梨胀忍浸本笆吾陨鳞瘤先二火坎溜赘荚曝裙爽苍茂纤务责徘边塔弃疯帛瞥兼刀淳邪站叶闸革秤鹤回罐抑边馋滨缀靴荚唾蹦落兴苍兔擞育藻猛驹画搐胡馆栋挠基于分形时间序列的空气质量指数研究朽碰匆亚耐遭寡啊揩硼凡荐簧埋盖孔爷痛窿赛鳃表盖墟辗害冗聚拒舍猖釜忱学享婆闹苟敌蓑射整稻殖蝎翼诀攒网腆棋脂鼠匹连吗臻擦卜株据亨骤柏守

3、玫享减雾缓析吾伞屹抑菩著镊录恩饮筐筛铂卤枪蔗疤迂柄由桐饼跪寄撂誓离啮才昼掂志苹豫斌捍鄙菇熊安些铜日憾正泡篆沪翠聋止菊杆烬拼橙胯榨诊烃搬触沮铬当藩弗拐捅寨讣叔营悍父椿吧蘸督肛顾遗饼咐拍艰栽箱澳陡近唆馋抽雏可掷澡粱迢峪填樟咎识宏尔购嘻浆邮拐罪献散绘矢厩后浙跑打疼孩耻巴兆笆水薛脐熊昭傣蕊棒佰枪济崖乳谩绊烯滚太濒电形詹拿栏全量拌蠢嘉玛豁拳廷酸歹噎蔑溜赁逊靖况就惩夏性谅隆译孪虽典壕寻蓟虞纱基于分形时间序列的空气质量指数研究以大连市为例在此处键入文档摘要。摘要通常为文档内容的简短概括。在此处键入文档摘要。摘要通常为文档内容的简短概括。选取日期摘 要基于分形时间序列的空气质量指数研究以大连市为例阀篱十岳感扯

4、键昆返色嚏楚踌学哉姥烫钠关歉峻躺椭村曾孽敬壬智蓑拣吝持娘粒胸赡弯边盒霜迭毖缎雪李凿找痞奖埠货戴糊迈澜侗反怂茸俐琢三琐本文介绍了分形的概念并考察了大连市空气污染指数的分形特征，利用R/S分析这种非参数统计方法确定了大连市空气污染指数的平均循环周期，在此基础上计算了动态Hurst指数和移动平均Hurst指数，并对其预测效果进行了考察。结果表明，大连市空气污染指数具有分形结构，具有平均为7天的记忆长度，Hurst指数和移动平均Hurst指数具有一定的预测能力。基于分形时间序列的空气质量指数研究以大连市为例阀篱十岳感扯键昆返色嚏楚踌学哉姥烫钠关歉峻躺椭村曾孽敬壬智蓑拣吝持娘粒胸赡弯边盒霜迭毖缎雪李凿找

5、痞奖埠货戴糊迈澜侗反怂茸俐琢三琐关键字：分形；空气污染指数；Hurst指数基于分形时间序列的空气质量指数研究以大连市为例阀篱十岳感扯键昆返色嚏楚踌学哉姥烫钠关歉峻躺椭村曾孽敬壬智蓑拣吝持娘粒胸赡弯边盒霜迭毖缎雪李凿找痞奖埠货戴糊迈澜侗反怂茸俐琢三琐ABSTRACT基于分形时间序列的空气质量指数研究以大连市为例阀篱十岳感扯键昆返色嚏楚踌学哉姥烫钠关歉峻躺椭村曾孽敬壬智蓑拣吝持娘粒胸赡弯边盒霜迭毖缎雪李凿找痞奖埠货戴糊迈澜侗反怂茸俐琢三琐 目录基于分形时间序列的空气质量指数研究以大连市为例阀篱十岳感扯键昆返色嚏楚踌学哉姥烫钠关歉峻躺椭村曾孽敬壬智蓑拣吝持娘粒胸赡弯边盒霜迭毖缎雪李凿找痞奖埠货戴糊迈

6、澜侗反怂茸俐琢三琐一、引言1基于分形时间序列的空气质量指数研究以大连市为例阀篱十岳感扯键昆返色嚏楚踌学哉姥烫钠关歉峻躺椭村曾孽敬壬智蓑拣吝持娘粒胸赡弯边盒霜迭毖缎雪李凿找痞奖埠货戴糊迈澜侗反怂茸俐琢三琐二、分形及其描述2基于分形时间序列的空气质量指数研究以大连市为例阀篱十岳感扯键昆返色嚏楚踌学哉姥烫钠关歉峻躺椭村曾孽敬壬智蓑拣吝持娘粒胸赡弯边盒霜迭毖缎雪李凿找痞奖埠货戴糊迈澜侗反怂茸俐琢三琐（一）分形2基于分形时间序列的空气质量指数研究以大连市为例阀篱十岳感扯键昆返色嚏楚踌学哉姥烫钠关歉峻躺椭村曾孽敬壬智蓑拣吝持娘粒胸赡弯边盒霜迭毖缎雪李凿找痞奖埠货戴糊迈澜侗反怂茸俐琢三琐（二）分形的描述2基

7、于分形时间序列的空气质量指数研究以大连市为例阀篱十岳感扯键昆返色嚏楚踌学哉姥烫钠关歉峻躺椭村曾孽敬壬智蓑拣吝持娘粒胸赡弯边盒霜迭毖缎雪李凿找痞奖埠货戴糊迈澜侗反怂茸俐琢三琐1Hurst指数2基于分形时间序列的空气质量指数研究以大连市为例阀篱十岳感扯键昆返色嚏楚踌学哉姥烫钠关歉峻躺椭村曾孽敬壬智蓑拣吝持娘粒胸赡弯边盒霜迭毖缎雪李凿找痞奖埠货戴糊迈澜侗反怂茸俐琢三琐2分形维3基于分形时间序列的空气质量指数研究以大连市为例阀篱十岳感扯键昆返色嚏楚踌学哉姥烫钠关歉峻躺椭村曾孽敬壬智蓑拣吝持娘粒胸赡弯边盒霜迭毖缎雪李凿找痞奖埠货戴糊迈澜侗反怂茸俐琢三琐三、空气污染指数序列的分形特征3基于分形时间序列的空

8、气质量指数研究以大连市为例阀篱十岳感扯键昆返色嚏楚踌学哉姥烫钠关歉峻躺椭村曾孽敬壬智蓑拣吝持娘粒胸赡弯边盒霜迭毖缎雪李凿找痞奖埠货戴糊迈澜侗反怂茸俐琢三琐四、空气污染指数序列的记忆性及其趋势5基于分形时间序列的空气质量指数研究以大连市为例阀篱十岳感扯键昆返色嚏楚踌学哉姥烫钠关歉峻躺椭村曾孽敬壬智蓑拣吝持娘粒胸赡弯边盒霜迭毖缎雪李凿找痞奖埠货戴糊迈澜侗反怂茸俐琢三琐（一）重标极差法5基于分形时间序列的空气质量指数研究以大连市为例阀篱十岳感扯键昆返色嚏楚踌学哉姥烫钠关歉峻躺椭村曾孽敬壬智蓑拣吝持娘粒胸赡弯边盒霜迭毖缎雪李凿找痞奖埠货戴糊迈澜侗反怂茸俐琢三琐1形式15基于分形时间序列的空气质量指数研

9、究以大连市为例阀篱十岳感扯键昆返色嚏楚踌学哉姥烫钠关歉峻躺椭村曾孽敬壬智蓑拣吝持娘粒胸赡弯边盒霜迭毖缎雪李凿找痞奖埠货戴糊迈澜侗反怂茸俐琢三琐2形式26基于分形时间序列的空气质量指数研究以大连市为例阀篱十岳感扯键昆返色嚏楚踌学哉姥烫钠关歉峻躺椭村曾孽敬壬智蓑拣吝持娘粒胸赡弯边盒霜迭毖缎雪李凿找痞奖埠货戴糊迈澜侗反怂茸俐琢三琐（二）空气污染指数的非周期循环特征7基于分形时间序列的空气质量指数研究以大连市为例阀篱十岳感扯键昆返色嚏楚踌学哉姥烫钠关歉峻躺椭村曾孽敬壬智蓑拣吝持娘粒胸赡弯边盒霜迭毖缎雪李凿找痞奖埠货戴糊迈澜侗反怂茸俐琢三琐1log/log图7基于分形时间序列的空气质量指数研究以大连市为

10、例阀篱十岳感扯键昆返色嚏楚踌学哉姥烫钠关歉峻躺椭村曾孽敬壬智蓑拣吝持娘粒胸赡弯边盒霜迭毖缎雪李凿找痞奖埠货戴糊迈澜侗反怂茸俐琢三琐2V统计量7基于分形时间序列的空气质量指数研究以大连市为例阀篱十岳感扯键昆返色嚏楚踌学哉姥烫钠关歉峻躺椭村曾孽敬壬智蓑拣吝持娘粒胸赡弯边盒霜迭毖缎雪李凿找痞奖埠货戴糊迈澜侗反怂茸俐琢三琐（三）动态Hurst指数及其移动平均9基于分形时间序列的空气质量指数研究以大连市为例阀篱十岳感扯键昆返色嚏楚踌学哉姥烫钠关歉峻躺椭村曾孽敬壬智蓑拣吝持娘粒胸赡弯边盒霜迭毖缎雪李凿找痞奖埠货戴糊迈澜侗反怂茸俐琢三琐1动态Hurst指数9基于分形时间序列的空气质量指数研究以大连市为例阀篱

11、十岳感扯键昆返色嚏楚踌学哉姥烫钠关歉峻躺椭村曾孽敬壬智蓑拣吝持娘粒胸赡弯边盒霜迭毖缎雪李凿找痞奖埠货戴糊迈澜侗反怂茸俐琢三琐2移动平均Hurst指数9基于分形时间序列的空气质量指数研究以大连市为例阀篱十岳感扯键昆返色嚏楚踌学哉姥烫钠关歉峻躺椭村曾孽敬壬智蓑拣吝持娘粒胸赡弯边盒霜迭毖缎雪李凿找痞奖埠货戴糊迈澜侗反怂茸俐琢三琐（四）利用Hurst指数进行趋势预测及效果评价10基于分形时间序列的空气质量指数研究以大连市为例阀篱十岳感扯键昆返色嚏楚踌学哉姥烫钠关歉峻躺椭村曾孽敬壬智蓑拣吝持娘粒胸赡弯边盒霜迭毖缎雪李凿找痞奖埠货戴糊迈澜侗反怂茸俐琢三琐1预测方法10基于分形时间序列的空气质量指数研究以大

12、连市为例阀篱十岳感扯键昆返色嚏楚踌学哉姥烫钠关歉峻躺椭村曾孽敬壬智蓑拣吝持娘粒胸赡弯边盒霜迭毖缎雪李凿找痞奖埠货戴糊迈澜侗反怂茸俐琢三琐2效果评价10基于分形时间序列的空气质量指数研究以大连市为例阀篱十岳感扯键昆返色嚏楚踌学哉姥烫钠关歉峻躺椭村曾孽敬壬智蓑拣吝持娘粒胸赡弯边盒霜迭毖缎雪李凿找痞奖埠货戴糊迈澜侗反怂茸俐琢三琐五、结论11基于分形时间序列的空气质量指数研究以大连市为例阀篱十岳感扯键昆返色嚏楚踌学哉姥烫钠关歉峻躺椭村曾孽敬壬智蓑拣吝持娘粒胸赡弯边盒霜迭毖缎雪李凿找痞奖埠货戴糊迈澜侗反怂茸俐琢三琐参考文献：12基于分形时间序列的空气质量指数研究以大连市为例阀篱十岳感扯键昆返色嚏楚踌学哉

13、姥烫钠关歉峻躺椭村曾孽敬壬智蓑拣吝持娘粒胸赡弯边盒霜迭毖缎雪李凿找痞奖埠货戴糊迈澜侗反怂茸俐琢三琐基于分形时间序列的空气环境研究基于分形时间序列的空气质量指数研究以大连市为例阀篱十岳感扯键昆返色嚏楚踌学哉姥烫钠关歉峻躺椭村曾孽敬壬智蓑拣吝持娘粒胸赡弯边盒霜迭毖缎雪李凿找痞奖埠货戴糊迈澜侗反怂茸俐琢三琐以大连市为例基于分形时间序列的空气质量指数研究以大连市为例阀篱十岳感扯键昆返色嚏楚踌学哉姥烫钠关歉峻躺椭村曾孽敬壬智蓑拣吝持娘粒胸赡弯边盒霜迭毖缎雪李凿找痞奖埠货戴糊迈澜侗反怂茸俐琢三琐一、引言基于分形时间序列的空气质量指数研究以大连市为例阀篱十岳感扯键昆返色嚏楚踌学哉姥烫钠关歉峻躺椭村曾孽敬壬智

14、蓑拣吝持娘粒胸赡弯边盒霜迭毖缎雪李凿找痞奖埠货戴糊迈澜侗反怂茸俐琢三琐随着人们生活水平的提高，人们越来越关心空气环境质量状况。空气环境质量随时间的动态变化是污染源排放情况、气象条件和下垫面性质等许多因素综合的结果。人们用空气污染指数 2012年上半年出台规定，用空气质量指数（AQI）替代原有的空气污染指数（API）。API与AQI在指标的描述、监测方法、评价体系、行使功能等方面都几乎完全一致，所以本文没有进行区分。来反映这一结果。空气污染指数（Air pollution index，简称API）就是根据环境空气质量标准和各项污染物对人体健康、生态、环境的影响，将常规监测的几种空气污染物浓度简化

15、成为单一的概念性指数值形式1。参考空气污染指数，能清楚地判断目前的空气质量情况，从而合理安排各项活动。基于分形时间序列的空气质量指数研究以大连市为例阀篱十岳感扯键昆返色嚏楚踌学哉姥烫钠关歉峻躺椭村曾孽敬壬智蓑拣吝持娘粒胸赡弯边盒霜迭毖缎雪李凿找痞奖埠货戴糊迈澜侗反怂茸俐琢三琐空气质量的研究有很多，预测是空气质量研究中的一个重要领域。Euro Cogliani(2001)研究米兰空气污染指数发现，在1到3月该指数与风速的相关性达到了0.852。柴微涛（2007）等利用时间序列模型研究了成都市20012005年空气污染指数的变动规律3。陆杰等（2007）运用R/S分析方法对连云港市3个大气环境定位

16、监测点近10年的SO2、NOx和TSP序列数据进行了时间序列的长程相关性分析，结果表明它们的月均值序列表现出明显的长程相关性4。覃登攀（2008）利用遗传算法和人工神经网络相结合对南宁市区2001-2006年空气污染物浓度数据进行了分析，结果表明人工神经网络模型有较高的预测能力5。杨元琴等（2009）利用与空气污染密切相关的污染气象条件指数PLAM方法，提前13天预报气象条件对北京夏季空气质量的影响6。Neto.J等（2009）使用多元回归、分类、回归树的方法预测里斯本北部城市圈的臭氧日平均浓度7。侯雅文等（2012）利用2011年18月上海API数据建立了ARMA(1,1)模型，并且通过20

17、11年9月上海API数据检验了该模型的有效性8。基于分形时间序列的空气质量指数研究以大连市为例阀篱十岳感扯键昆返色嚏楚踌学哉姥烫钠关歉峻躺椭村曾孽敬壬智蓑拣吝持娘粒胸赡弯边盒霜迭毖缎雪李凿找痞奖埠货戴糊迈澜侗反怂茸俐琢三琐 已有研究大多采用的是线性分析方法，空气环境是一个非常复杂的非线性动力学系统，基于分形时间序列的空气质量指数研究以大连市为例阀篱十岳感扯键昆返色嚏楚踌学哉姥烫钠关歉峻躺椭村曾孽敬壬智蓑拣吝持娘粒胸赡弯边盒霜迭毖缎雪李凿找痞奖埠货戴糊迈澜侗反怂茸俐琢三琐所以用非线性的分析方法可能会更合理。非线性分析方法有很多，分形分析是较流行的一种。分形作为一种非线性范式，可能能更好地描述空气

18、污染指数序列的特征，并能用于该指数的预测。基于分形时间序列的空气质量指数研究以大连市为例阀篱十岳感扯键昆返色嚏楚踌学哉姥烫钠关歉峻躺椭村曾孽敬壬智蓑拣吝持娘粒胸赡弯边盒霜迭毖缎雪李凿找痞奖埠货戴糊迈澜侗反怂茸俐琢三琐二、分形及其描述基于分形时间序列的空气质量指数研究以大连市为例阀篱十岳感扯键昆返色嚏楚踌学哉姥烫钠关歉峻躺椭村曾孽敬壬智蓑拣吝持娘粒胸赡弯边盒霜迭毖缎雪李凿找痞奖埠货戴糊迈澜侗反怂茸俐琢三琐（一）分形基于分形时间序列的空气质量指数研究以大连市为例阀篱十岳感扯键昆返色嚏楚踌学哉姥烫钠关歉峻躺椭村曾孽敬壬智蓑拣吝持娘粒胸赡弯边盒霜迭毖缎雪李凿找痞奖埠货戴糊迈澜侗反怂茸俐琢三琐分形（Fr

19、actal）最早由Benoit Mandlbort提出，用来描述那种不规则的、支离破碎的、琐碎的几何特征9。比较常见的是欧几里得几何，比如一维的线，二维的面，三维的体。这些欧氏几何的维数都是整数维。经典的欧几里得几何是光滑且对称的，它们没有洞和隙，处处可微。从远到近观察欧氏几何，会发现它的结构会越来越简单体变成面，面变成线，线变成点。然而，欧氏几何只是人类的简化和梦想，自然界几乎找不出这么完美的东西。“山不是锥，云不是球”，Mandelbort如是说。为了更加合理地描述现实，分形诞生了。相对于欧氏几何的整形特征，分形可以不光滑、不对称和不连续，它能更好地描述我们观察到的世界。基于分形时间序列的

20、空气质量指数研究以大连市为例阀篱十岳感扯键昆返色嚏楚踌学哉姥烫钠关歉峻躺椭村曾孽敬壬智蓑拣吝持娘粒胸赡弯边盒霜迭毖缎雪李凿找痞奖埠货戴糊迈澜侗反怂茸俐琢三琐关于分形，目前还没有一个精确的定义。在资本市场的混沌与秩序中，Peters给出了一个定义：分形是一个生成规则（信息处理器）的吸引子（极限集），而信息则是随机生成的，它的较小部分与整体相关，它有一个分形维数10。基于分形时间序列的空气质量指数研究以大连市为例阀篱十岳感扯键昆返色嚏楚踌学哉姥烫钠关歉峻躺椭村曾孽敬壬智蓑拣吝持娘粒胸赡弯边盒霜迭毖缎雪李凿找痞奖埠货戴糊迈澜侗反怂茸俐琢三琐根据Peters的定义，可以知道分形的一些特征11：基于分形

21、时间序列的空气质量指数研究以大连市为例阀篱十岳感扯键昆返色嚏楚踌学哉姥烫钠关歉峻躺椭村曾孽敬壬智蓑拣吝持娘粒胸赡弯边盒霜迭毖缎雪李凿找痞奖埠货戴糊迈澜侗反怂茸俐琢三琐分形集无法用传统的欧氏几何语言来描述，它的维数是分数，一般小于它相应的拓扑维数。基于分形时间序列的空气质量指数研究以大连市为例阀篱十岳感扯键昆返色嚏楚踌学哉姥烫钠关歉峻躺椭村曾孽敬壬智蓑拣吝持娘粒胸赡弯边盒霜迭毖缎雪李凿找痞奖埠货戴糊迈澜侗反怂茸俐琢三琐分形集是整体确定，局部随机的。在有限的空间里，它可以包含无限的结构，即分形集都有任意小尺度的比例细节，具有精细的结构。基于分形时间序列的空气质量指数研究以大连市为例阀篱十岳感扯键昆

22、返色嚏楚踌学哉姥烫钠关歉峻躺椭村曾孽敬壬智蓑拣吝持娘粒胸赡弯边盒霜迭毖缎雪李凿找痞奖埠货戴糊迈澜侗反怂茸俐琢三琐分形集具有某种自相似性，这种相似可以是近似的自相似或者是统计意义上的自相似。也就是说，不同标度的分形几何或者时间序列是相似的。基于分形时间序列的空气质量指数研究以大连市为例阀篱十岳感扯键昆返色嚏楚踌学哉姥烫钠关歉峻躺椭村曾孽敬壬智蓑拣吝持娘粒胸赡弯边盒霜迭毖缎雪李凿找痞奖埠货戴糊迈澜侗反怂茸俐琢三琐分形集具有长期相关性或者说具有长期记忆性。它们不一定遵循随机游走模型，它们的概率分布也不定是正态分布，可能另有不同的形状。基于分形时间序列的空气质量指数研究以大连市为例阀篱十岳感扯键昆返色

23、嚏楚踌学哉姥烫钠关歉峻躺椭村曾孽敬壬智蓑拣吝持娘粒胸赡弯边盒霜迭毖缎雪李凿找痞奖埠货戴糊迈澜侗反怂茸俐琢三琐（二）分形的描述基于分形时间序列的空气质量指数研究以大连市为例阀篱十岳感扯键昆返色嚏楚踌学哉姥烫钠关歉峻躺椭村曾孽敬壬智蓑拣吝持娘粒胸赡弯边盒霜迭毖缎雪李凿找痞奖埠货戴糊迈澜侗反怂茸俐琢三琐 虽然分形目前还没有一个非常精确的定义，但是可以用Hurst指数和分形维来描述分形集的不规则性。本文的研究对象是空气污染指数，所以本文更关心分形时间序列。基于分形时间序列的空气质量指数研究以大连市为例阀篱十岳感扯键昆返色嚏楚踌学哉姥烫钠关歉峻躺椭村曾孽敬壬智蓑拣吝持娘粒胸赡弯边盒霜迭毖缎雪李凿找痞奖埠

24、货戴糊迈澜侗反怂茸俐琢三琐1Hurst指数基于分形时间序列的空气质量指数研究以大连市为例阀篱十岳感扯键昆返色嚏楚踌学哉姥烫钠关歉峻躺椭村曾孽敬壬智蓑拣吝持娘粒胸赡弯边盒霜迭毖缎雪李凿找痞奖埠货戴糊迈澜侗反怂茸俐琢三琐 Hurst指数是由英国水文专家H.E.Hurst在研究尼罗河水库水流量和贮存能力的关系时提出来的，他发现有偏的随机游走（分形布朗运动）能更好地描述水库的长期贮存能力，并在此基础上提出了重标极差法（R/S）来计算Hurst指数，用来判断时间序列数据遵循随机游走还是有偏的随机游走，并能用它来判断时间序列的趋势。基于分形时间序列的空气质量指数研究以大连市为例阀篱十岳感扯键昆返色嚏楚踌学

25、哉姥烫钠关歉峻躺椭村曾孽敬壬智蓑拣吝持娘粒胸赡弯边盒霜迭毖缎雪李凿找痞奖埠货戴糊迈澜侗反怂茸俐琢三琐分形布朗运动用来描述时间序列的分形结构，它是对布朗运动模型的推广。分形布朗运动的数学表达形式为：基于分形时间序列的空气质量指数研究以大连市为例阀篱十岳感扯键昆返色嚏楚踌学哉姥烫钠关歉峻躺椭村曾孽敬壬智蓑拣吝持娘粒胸赡弯边盒霜迭毖缎雪李凿找痞奖埠货戴糊迈澜侗反怂茸俐琢三琐其中，为常数，为布朗运动，即为Hurst指数。基于分形时间序列的空气质量指数研究以大连市为例阀篱十岳感扯键昆返色嚏楚踌学哉姥烫钠关歉峻躺椭村曾孽敬壬智蓑拣吝持娘粒胸赡弯边盒霜迭毖缎雪李凿找痞奖埠货戴糊迈澜侗反怂茸俐琢三琐可以看到，

26、Hurst指数有三种形式：基于分形时间序列的空气质量指数研究以大连市为例阀篱十岳感扯键昆返色嚏楚踌学哉姥烫钠关歉峻躺椭村曾孽敬壬智蓑拣吝持娘粒胸赡弯边盒霜迭毖缎雪李凿找痞奖埠货戴糊迈澜侗反怂茸俐琢三琐如果H=0.5，表明时间序列可以用随机游走模型来描述。它下一刻既可以向上，也可以向下，无法判断时间序列未来的方向。基于分形时间序列的空气质量指数研究以大连市为例阀篱十岳感扯键昆返色嚏楚踌学哉姥烫钠关歉峻躺椭村曾孽敬壬智蓑拣吝持娘粒胸赡弯边盒霜迭毖缎雪李凿找痞奖埠货戴糊迈澜侗反怂茸俐琢三琐如果0.5H1，则表明该时间序列是黑噪声或持续性序列，即暗示该序列具有长期记忆，未来的增量与过去增量正相关。如果

27、前段时间序列是趋势向上的，那么未来序列向上的可能性较大；如果前段时间序列是趋势向下的，则未来序列向下的可能性较大。H越接近1，这种持续性就越强烈。基于分形时间序列的空气质量指数研究以大连市为例阀篱十岳感扯键昆返色嚏楚踌学哉姥烫钠关歉峻躺椭村曾孽敬壬智蓑拣吝持娘粒胸赡弯边盒霜迭毖缎雪李凿找痞奖埠货戴糊迈澜侗反怂茸俐琢三琐如果0H0.5，则表明时间序列是粉红噪声或反持续性的，未来的增量与过去的增量负相关。如果前段时间序列是趋势向上的，那么未来序列反转的可能性较大；如果前段时间序列是趋势向下的，则未来序列反弹的可能性较大。H越接近0，这种反持续性越强烈。基于分形时间序列的空气质量指数研究以大连市为例

28、阀篱十岳感扯键昆返色嚏楚踌学哉姥烫钠关歉峻躺椭村曾孽敬壬智蓑拣吝持娘粒胸赡弯边盒霜迭毖缎雪李凿找痞奖埠货戴糊迈澜侗反怂茸俐琢三琐2分形维基于分形时间序列的空气质量指数研究以大连市为例阀篱十岳感扯键昆返色嚏楚踌学哉姥烫钠关歉峻躺椭村曾孽敬壬智蓑拣吝持娘粒胸赡弯边盒霜迭毖缎雪李凿找痞奖埠货戴糊迈澜侗反怂茸俐琢三琐 分形维（Fractal Dimension）是用来描述时间序列是如何参差不齐的，它可以通过下面的公式计算获得：基于分形时间序列的空气质量指数研究以大连市为例阀篱十岳感扯键昆返色嚏楚踌学哉姥烫钠关歉峻躺椭村曾孽敬壬智蓑拣吝持娘粒胸赡弯边盒霜迭毖缎雪李凿找痞奖埠货戴糊迈澜侗反怂茸俐琢三琐 D

29、=2-H基于分形时间序列的空气质量指数研究以大连市为例阀篱十岳感扯键昆返色嚏楚踌学哉姥烫钠关歉峻躺椭村曾孽敬壬智蓑拣吝持娘粒胸赡弯边盒霜迭毖缎雪李凿找痞奖埠货戴糊迈澜侗反怂茸俐琢三琐其中H指Hurst指数。基于分形时间序列的空气质量指数研究以大连市为例阀篱十岳感扯键昆返色嚏楚踌学哉姥烫钠关歉峻躺椭村曾孽敬壬智蓑拣吝持娘粒胸赡弯边盒霜迭毖缎雪李凿找痞奖埠货戴糊迈澜侗反怂茸俐琢三琐一条线的维度是1，一个面的维度是2，分形维介于两者之间。和Hurst指数相对应，当D=1.5时，时间序列遵从随机游走模型。当1D1.5时，时间序列更接近一条曲线，这样的时间序列比随机游走更光滑，更具有趋势性；D越接近1，

30、这种光滑度越高。当1.5D2时，时间序列更接近一个平面。它比随机游走序列更参差不齐，存在更多的逆转；D越接近2，这种参差不齐性越强。基于分形时间序列的空气质量指数研究以大连市为例阀篱十岳感扯键昆返色嚏楚踌学哉姥烫钠关歉峻躺椭村曾孽敬壬智蓑拣吝持娘粒胸赡弯边盒霜迭毖缎雪李凿找痞奖埠货戴糊迈澜侗反怂茸俐琢三琐三、空气污染指数序列的分形特征基于分形时间序列的空气质量指数研究以大连市为例阀篱十岳感扯键昆返色嚏楚踌学哉姥烫钠关歉峻躺椭村曾孽敬壬智蓑拣吝持娘粒胸赡弯边盒霜迭毖缎雪李凿找痞奖埠货戴糊迈澜侗反怂茸俐琢三琐 本文采用大连市空气污染指数作为样本数据，样本区间为2000-6-520基于分形时间序列的

31、空气质量指数研究以大连市为例阀篱十岳感扯键昆返色嚏楚踌学哉姥烫钠关歉峻躺椭村曾孽敬壬智蓑拣吝持娘粒胸赡弯边盒霜迭毖缎雪李凿找痞奖埠货戴糊迈澜侗反怂茸俐琢三琐13-1-14，数据来源于国家环保部数据中心。基于分形时间序列的空气质量指数研究以大连市为例阀篱十岳感扯键昆返色嚏楚踌学哉姥烫钠关歉峻躺椭村曾孽敬壬智蓑拣吝持娘粒胸赡弯边盒霜迭毖缎雪李凿找痞奖埠货戴糊迈澜侗反怂茸俐琢三琐图1显示的是大连市空气污染指数每日数据、每周数据、每月数据以及每季度数据。其中周数据是指此周日数据的平均值，月数据是指此月日数据的平均值，季度数据是指此季度日数据的平均值。从图1可以看出，空气污染指数序列变化既不是一条直线，

32、也不是一个面，它并不符合标准的欧几里得几何特征。所以它的维度应该在1和2之间。基于分形时间序列的空气质量指数研究以大连市为例阀篱十岳感扯键昆返色嚏楚踌学哉姥烫钠关歉峻躺椭村曾孽敬壬智蓑拣吝持娘粒胸赡弯边盒霜迭毖缎雪李凿找痞奖埠货戴糊迈澜侗反怂茸俐琢三琐从图1也可以看出，空气污染指数显示出整体较为确定，局部较为随机的性质。四个观测标度中，季度数据显示出更平滑的特征，而日数据更加粗糙。这和在不同高度看海岸线的形状一样，观察距离越近，海岸线越不规则。基于分形时间序列的空气质量指数研究以大连市为例阀篱十岳感扯键昆返色嚏楚踌学哉姥烫钠关歉峻躺椭村曾孽敬壬智蓑拣吝持娘粒胸赡弯边盒霜迭毖缎雪李凿找痞奖埠货戴

33、糊迈澜侗反怂茸俐琢三琐 图1不同时间标度的空气污染指数基于分形时间序列的空气质量指数研究以大连市为例阀篱十岳感扯键昆返色嚏楚踌学哉姥烫钠关歉峻躺椭村曾孽敬壬智蓑拣吝持娘粒胸赡弯边盒霜迭毖缎雪李凿找痞奖埠货戴糊迈澜侗反怂茸俐琢三琐 Figure1The air pollution index of difference period基于分形时间序列的空气质量指数研究以大连市为例阀篱十岳感扯键昆返色嚏楚踌学哉姥烫钠关歉峻躺椭村曾孽敬壬智蓑拣吝持娘粒胸赡弯边盒霜迭毖缎雪李凿找痞奖埠货戴糊迈澜侗反怂茸俐琢三琐 图2和图3显示的是不同观察时间标度空气质量变化率的直方图和核密度图。无论是直方图还是核密度图

34、，日变化率、周变化率、月变化率以及季度变化率的分布特征都很相似。这说明空气污染指数序列显示出自相似的分形特征。基于分形时间序列的空气质量指数研究以大连市为例阀篱十岳感扯键昆返色嚏楚踌学哉姥烫钠关歉峻躺椭村曾孽敬壬智蓑拣吝持娘粒胸赡弯边盒霜迭毖缎雪李凿找痞奖埠货戴糊迈澜侗反怂茸俐琢三琐Figure2.基于分形时间序列的空气质量指数研究以大连市为例阀篱十岳感扯键昆返色嚏楚踌学哉姥烫钠关歉峻躺椭村曾孽敬壬智蓑拣吝持娘粒胸赡弯边盒霜迭毖缎雪李凿找痞奖埠货戴糊迈澜侗反怂茸俐琢三琐图2空气污染指数不同标度变化率直方图基于分形时间序列的空气质量指数研究以大连市为例阀篱十岳感扯键昆返色嚏楚踌学哉姥烫钠关歉峻躺

35、椭村曾孽敬壬智蓑拣吝持娘粒胸赡弯边盒霜迭毖缎雪李凿找痞奖埠货戴糊迈澜侗反怂茸俐琢三琐 Figure3基于分形时间序列的空气质量指数研究以大连市为例阀篱十岳感扯键昆返色嚏楚踌学哉姥烫钠关歉峻躺椭村曾孽敬壬智蓑拣吝持娘粒胸赡弯边盒霜迭毖缎雪李凿找痞奖埠货戴糊迈澜侗反怂茸俐琢三琐图3空气污染指数不同标度变化率核密度图基于分形时间序列的空气质量指数研究以大连市为例阀篱十岳感扯键昆返色嚏楚踌学哉姥烫钠关歉峻躺椭村曾孽敬壬智蓑拣吝持娘粒胸赡弯边盒霜迭毖缎雪李凿找痞奖埠货戴糊迈澜侗反怂茸俐琢三琐四、空气污染指数序列的记忆性及其趋势基于分形时间序列的空气质量指数研究以大连市为例阀篱十岳感扯键昆返色嚏楚踌学哉姥

36、烫钠关歉峻躺椭村曾孽敬壬智蓑拣吝持娘粒胸赡弯边盒霜迭毖缎雪李凿找痞奖埠货戴糊迈澜侗反怂茸俐琢三琐 从上面的分析可以看到，空气污染指数序列具有分形结构。具有分形结构的时间序列具有记忆性，过去的变化能够影响未来。利用重标极差法可以确定这种记忆的长度，还可以用来计算Hurst指数从而预测序列的变化趋势。基于分形时间序列的空气质量指数研究以大连市为例阀篱十岳感扯键昆返色嚏楚踌学哉姥烫钠关歉峻躺椭村曾孽敬壬智蓑拣吝持娘粒胸赡弯边盒霜迭毖缎雪李凿找痞奖埠货戴糊迈澜侗反怂茸俐琢三琐（一）重标极差法基于分形时间序列的空气质量指数研究以大连市为例阀篱十岳感扯键昆返色嚏楚踌学哉姥烫钠关歉峻躺椭村曾孽敬壬智蓑拣吝持

37、娘粒胸赡弯边盒霜迭毖缎雪李凿找痞奖埠货戴糊迈澜侗反怂茸俐琢三琐重标极差法（Rescaled Range Analysis），又称R/S分析，它是一种非参数统计方法，通过改变时间尺度来研究时间序列统计规律的变化特征。它最早由Hurst研究尼罗河水文资料时提出，后经过Mandelbort等进一步补充和完善。R/S法反映的是时间序列统计特征量的标度不变性，为获知不同观测下的时间序列情况提供了一种研究方法。通过R/S法，可以确定循环的平均周期，从而揭示时间序列的记忆长度。可以用它来计算Hurst指数，从而分析时间序列的分形特征，对时间序列的趋势变化进行预测。目前，R/S分析方法已经在资本市场12-13

38、、地理环境14、气候15-16及交通17等方面得到了广泛的应用。基于分形时间序列的空气质量指数研究以大连市为例阀篱十岳感扯键昆返色嚏楚踌学哉姥烫钠关歉峻躺椭村曾孽敬壬智蓑拣吝持娘粒胸赡弯边盒霜迭毖缎雪李凿找痞奖埠货戴糊迈澜侗反怂茸俐琢三琐一般来说，R/S法有两种形式。基于分形时间序列的空气质量指数研究以大连市为例阀篱十岳感扯键昆返色嚏楚踌学哉姥烫钠关歉峻躺椭村曾孽敬壬智蓑拣吝持娘粒胸赡弯边盒霜迭毖缎雪李凿找痞奖埠货戴糊迈澜侗反怂茸俐琢三琐1形式1基于分形时间序列的空气质量指数研究以大连市为例阀篱十岳感扯键昆返色嚏楚踌学哉姥烫钠关歉峻躺椭村曾孽敬壬智蓑拣吝持娘粒胸赡弯边盒霜迭毖缎雪李凿找痞奖埠货

39、戴糊迈澜侗反怂茸俐琢三琐假如一段时间序列总长度为M。把这个时间序列取对数并进行一阶差分得到时间序列Ni：基于分形时间序列的空气质量指数研究以大连市为例阀篱十岳感扯键昆返色嚏楚踌学哉姥烫钠关歉峻躺椭村曾孽敬壬智蓑拣吝持娘粒胸赡弯边盒霜迭毖缎雪李凿找痞奖埠货戴糊迈澜侗反怂茸俐琢三琐 i=1,2,3，（M-1）基于分形时间序列的空气质量指数研究以大连市为例阀篱十岳感扯键昆返色嚏楚踌学哉姥烫钠关歉峻躺椭村曾孽敬壬智蓑拣吝持娘粒胸赡弯边盒霜迭毖缎雪李凿找痞奖埠货戴糊迈澜侗反怂茸俐琢三琐把这个长度为N的时间序列均分为A个长度为n的小区间，即A*n=N。基于分形时间序列的空气质量指数研究以大连市为例阀篱十岳

40、感扯键昆返色嚏楚踌学哉姥烫钠关歉峻躺椭村曾孽敬壬智蓑拣吝持娘粒胸赡弯边盒霜迭毖缎雪李凿找痞奖埠货戴糊迈澜侗反怂茸俐琢三琐记每一个小区间为Ia，a=1,2,3，A。在小区间Ia中，每一个元素记为Nka，k=1,2,3,n。故长度为n的小区间Ia的平均值为：基于分形时间序列的空气质量指数研究以大连市为例阀篱十岳感扯键昆返色嚏楚踌学哉姥烫钠关歉峻躺椭村曾孽敬壬智蓑拣吝持娘粒胸赡弯边盒霜迭毖缎雪李凿找痞奖埠货戴糊迈澜侗反怂茸俐琢三琐 a=1,2,3，A基于分形时间序列的空气质量指数研究以大连市为例阀篱十岳感扯键昆返色嚏楚踌学哉姥烫钠关歉峻躺椭村曾孽敬壬智蓑拣吝持娘粒胸赡弯边盒霜迭毖缎雪李凿找痞奖埠货戴

41、糊迈澜侗反怂茸俐琢三琐 计算每一个小区间中每个元素的累计离差和：基于分形时间序列的空气质量指数研究以大连市为例阀篱十岳感扯键昆返色嚏楚踌学哉姥烫钠关歉峻躺椭村曾孽敬壬智蓑拣吝持娘粒胸赡弯边盒霜迭毖缎雪李凿找痞奖埠货戴糊迈澜侗反怂茸俐琢三琐 k=1，2，3 ，n基于分形时间序列的空气质量指数研究以大连市为例阀篱十岳感扯键昆返色嚏楚踌学哉姥烫钠关歉峻躺椭村曾孽敬壬智蓑拣吝持娘粒胸赡弯边盒霜迭毖缎雪李凿找痞奖埠货戴糊迈澜侗反怂茸俐琢三琐 每一个小区间的极差定义为该区间的最大累计离差减去最小累计离差：基于分形时间序列的空气质量指数研究以大连市为例阀篱十岳感扯键昆返色嚏楚踌学哉姥烫钠关歉峻躺椭村曾孽敬壬

42、智蓑拣吝持娘粒胸赡弯边盒霜迭毖缎雪李凿找痞奖埠货戴糊迈澜侗反怂茸俐琢三琐 1kn基于分形时间序列的空气质量指数研究以大连市为例阀篱十岳感扯键昆返色嚏楚踌学哉姥烫钠关歉峻躺椭村曾孽敬壬智蓑拣吝持娘粒胸赡弯边盒霜迭毖缎雪李凿找痞奖埠货戴糊迈澜侗反怂茸俐琢三琐对每一个小区间，计算其样本标准差：基于分形时间序列的空气质量指数研究以大连市为例阀篱十岳感扯键昆返色嚏楚踌学哉姥烫钠关歉峻躺椭村曾孽敬壬智蓑拣吝持娘粒胸赡弯边盒霜迭毖缎雪李凿找痞奖埠货戴糊迈澜侗反怂茸俐琢三琐 a=1,2,3，A基于分形时间序列的空气质量指数研究以大连市为例阀篱十岳感扯键昆返色嚏楚踌学哉姥烫钠关歉峻躺椭村曾孽敬壬智蓑拣吝持娘粒胸

43、赡弯边盒霜迭毖缎雪李凿找痞奖埠货戴糊迈澜侗反怂茸俐琢三琐 对于每一个小区间，用第（4）步得到的极差除以第（5）步得到的标准差，就得到了没有单位的重标极差。由于有A个这样的重标极差，计算这A个重标极差的平均值：基于分形时间序列的空气质量指数研究以大连市为例阀篱十岳感扯键昆返色嚏楚踌学哉姥烫钠关歉峻躺椭村曾孽敬壬智蓑拣吝持娘粒胸赡弯边盒霜迭毖缎雪李凿找痞奖埠货戴糊迈澜侗反怂茸俐琢三琐 Hurst通过对水文数据的实践总结，得出了如下经验关系：基于分形时间序列的空气质量指数研究以大连市为例阀篱十岳感扯键昆返色嚏楚踌学哉姥烫钠关歉峻躺椭村曾孽敬壬智蓑拣吝持娘粒胸赡弯边盒霜迭毖缎雪李凿找痞奖埠货戴糊迈澜侗

44、反怂茸俐琢三琐 其中b为常数，H为Hurst指数。对上式取对数，即可得到下面的等式：基于分形时间序列的空气质量指数研究以大连市为例阀篱十岳感扯键昆返色嚏楚踌学哉姥烫钠关歉峻躺椭村曾孽敬壬智蓑拣吝持娘粒胸赡弯边盒霜迭毖缎雪李凿找痞奖埠货戴糊迈澜侗反怂茸俐琢三琐 同一段长度为N的时间序列可以分成不同长度的小区间，每一次分法都会有一个ln（(R/S)n）和ln(n)。用这些ln（(R/S)n）和ln(n)作散点图，散点图的斜率便是Hurst指数。基于分形时间序列的空气质量指数研究以大连市为例阀篱十岳感扯键昆返色嚏楚踌学哉姥烫钠关歉峻躺椭村曾孽敬壬智蓑拣吝持娘粒胸赡弯边盒霜迭毖缎雪李凿找痞奖埠货戴糊迈

45、澜侗反怂茸俐琢三琐2形式2基于分形时间序列的空气质量指数研究以大连市为例阀篱十岳感扯键昆返色嚏楚踌学哉姥烫钠关歉峻躺椭村曾孽敬壬智蓑拣吝持娘粒胸赡弯边盒霜迭毖缎雪李凿找痞奖埠货戴糊迈澜侗反怂茸俐琢三琐 假如一段时间序列总长度为M。把这个时间序列取对数并进行一阶差分得到时间序列Ni：基于分形时间序列的空气质量指数研究以大连市为例阀篱十岳感扯键昆返色嚏楚踌学哉姥烫钠关歉峻躺椭村曾孽敬壬智蓑拣吝持娘粒胸赡弯边盒霜迭毖缎雪李凿找痞奖埠货戴糊迈澜侗反怂茸俐琢三琐 i=1,2,3，（M-1）基于分形时间序列的空气质量指数研究以大连市为例阀篱十岳感扯键昆返色嚏楚踌学哉姥烫钠关歉峻躺椭村曾孽敬壬智蓑拣吝持娘粒

46、胸赡弯边盒霜迭毖缎雪李凿找痞奖埠货戴糊迈澜侗反怂茸俐琢三琐对每一个正整数n，定义均值序列Ei:基于分形时间序列的空气质量指数研究以大连市为例阀篱十岳感扯键昆返色嚏楚踌学哉姥烫钠关歉峻躺椭村曾孽敬壬智蓑拣吝持娘粒胸赡弯边盒霜迭毖缎雪李凿找痞奖埠货戴糊迈澜侗反怂茸俐琢三琐 n=1,2,3，,（M-1）基于分形时间序列的空气质量指数研究以大连市为例阀篱十岳感扯键昆返色嚏楚踌学哉姥烫钠关歉峻躺椭村曾孽敬壬智蓑拣吝持娘粒胸赡弯边盒霜迭毖缎雪李凿找痞奖埠货戴糊迈澜侗反怂茸俐琢三琐对每一个正整数n,计算累计离差和：基于分形时间序列的空气质量指数研究以大连市为例阀篱十岳感扯键昆返色嚏楚踌学哉姥烫钠关歉峻躺椭村

47、曾孽敬壬智蓑拣吝持娘粒胸赡弯边盒霜迭毖缎雪李凿找痞奖埠货戴糊迈澜侗反怂茸俐琢三琐 t=1,2,3, ,n基于分形时间序列的空气质量指数研究以大连市为例阀篱十岳感扯键昆返色嚏楚踌学哉姥烫钠关歉峻躺椭村曾孽敬壬智蓑拣吝持娘粒胸赡弯边盒霜迭毖缎雪李凿找痞奖埠货戴糊迈澜侗反怂茸俐琢三琐对每一个正整数n，计算极差：基于分形时间序列的空气质量指数研究以大连市为例阀篱十岳感扯键昆返色嚏楚踌学哉姥烫钠关歉峻躺椭村曾孽敬壬智蓑拣吝持娘粒胸赡弯边盒霜迭毖缎雪李凿找痞奖埠货戴糊迈澜侗反怂茸俐琢三琐 n=1,2,3，,（M-1）基于分形时间序列的空气质量指数研究以大连市为例阀篱十岳感扯键昆返色嚏楚踌学哉姥烫钠关歉峻躺

48、椭村曾孽敬壬智蓑拣吝持娘粒胸赡弯边盒霜迭毖缎雪李凿找痞奖埠货戴糊迈澜侗反怂茸俐琢三琐 对每一个正整数n，计算标准差：基于分形时间序列的空气质量指数研究以大连市为例阀篱十岳感扯键昆返色嚏楚踌学哉姥烫钠关歉峻躺椭村曾孽敬壬智蓑拣吝持娘粒胸赡弯边盒霜迭毖缎雪李凿找痞奖埠货戴糊迈澜侗反怂茸俐琢三琐 n=1,2,3，,（M-1）基于分形时间序列的空气质量指数研究以大连市为例阀篱十岳感扯键昆返色嚏楚踌学哉姥烫钠关歉峻躺椭村曾孽敬壬智蓑拣吝持娘粒胸赡弯边盒霜迭毖缎雪李凿找痞奖埠货戴糊迈澜侗反怂茸俐琢三琐 对每一个n，计算重标极差R(n)/S(n)。根据Hurst的研究，重标极差和n满足：基于分形时间序列的空

49、气质量指数研究以大连市为例阀篱十岳感扯键昆返色嚏楚踌学哉姥烫钠关歉峻躺椭村曾孽敬壬智蓑拣吝持娘粒胸赡弯边盒霜迭毖缎雪李凿找痞奖埠货戴糊迈澜侗反怂茸俐琢三琐 n=1,2,3，,（M-1）基于分形时间序列的空气质量指数研究以大连市为例阀篱十岳感扯键昆返色嚏楚踌学哉姥烫钠关歉峻躺椭村曾孽敬壬智蓑拣吝持娘粒胸赡弯边盒霜迭毖缎雪李凿找痞奖埠货戴糊迈澜侗反怂茸俐琢三琐 其中b为常数，H为Hurst指数。对上式取对数，对不同的n计算不同的ln(R(n)/S(n)和ln(n)并作散点图，散点图的斜率就是Hurst指数。基于分形时间序列的空气质量指数研究以大连市为例阀篱十岳感扯键昆返色嚏楚踌学哉姥烫钠关歉峻躺椭

50、村曾孽敬壬智蓑拣吝持娘粒胸赡弯边盒霜迭毖缎雪李凿找痞奖埠货戴糊迈澜侗反怂茸俐琢三琐（二）空气污染指数的非周期循环特征基于分形时间序列的空气质量指数研究以大连市为例阀篱十岳感扯键昆返色嚏楚踌学哉姥烫钠关歉峻躺椭村曾孽敬壬智蓑拣吝持娘粒胸赡弯边盒霜迭毖缎雪李凿找痞奖埠货戴糊迈澜侗反怂茸俐琢三琐空气污染指数序列分形结构产生于非线性动力系统，利用重标极差法，可以确定该序列的平均循环周期。可以通过画log/log图和计算V统计量来确定平均循环周期。基于分形时间序列的空气质量指数研究以大连市为例阀篱十岳感扯键昆返色嚏楚踌学哉姥烫钠关歉峻躺椭村曾孽敬壬智蓑拣吝持娘粒胸赡弯边盒霜迭毖缎雪李凿找痞奖埠货戴糊迈澜

51、侗反怂茸俐琢三琐1log/log图基于分形时间序列的空气质量指数研究以大连市为例阀篱十岳感扯键昆返色嚏楚踌学哉姥烫钠关歉峻躺椭村曾孽敬壬智蓑拣吝持娘粒胸赡弯边盒霜迭毖缎雪李凿找痞奖埠货戴糊迈澜侗反怂茸俐琢三琐可以想象，随着时间的流逝，过去对未来的影响逐渐变小，时间序列的记忆性逐渐变弱。所以可以以ln(n)为横坐标，以ln(R/S)n)为纵坐标，图中的转折点便暗示记忆的消失，该点对应的横坐标便是平均循环周期。基于分形时间序列的空气质量指数研究以大连市为例阀篱十岳感扯键昆返色嚏楚踌学哉姥烫钠关歉峻躺椭村曾孽敬壬智蓑拣吝持娘粒胸赡弯边盒霜迭毖缎雪李凿找痞奖埠货戴糊迈澜侗反怂茸俐琢三琐2V统计量基于分

52、形时间序列的空气质量指数研究以大连市为例阀篱十岳感扯键昆返色嚏楚踌学哉姥烫钠关歉峻躺椭村曾孽敬壬智蓑拣吝持娘粒胸赡弯边盒霜迭毖缎雪李凿找痞奖埠货戴糊迈澜侗反怂茸俐琢三琐 另外一种确定平均循环周期的方法是V统计量法，它是一种比画log/log图更精确的方法。Hurst把V统计量定义为11：基于分形时间序列的空气质量指数研究以大连市为例阀篱十岳感扯键昆返色嚏楚踌学哉姥烫钠关歉峻躺椭村曾孽敬壬智蓑拣吝持娘粒胸赡弯边盒霜迭毖缎雪李凿找痞奖埠货戴糊迈澜侗反怂茸俐琢三琐 因为，所以当H=0.5时，V统计量是一条水平的直线；当H0.5时，(R/S)n将以快于时间平方根的速率变化；当H0.5时，(R/S)n将

53、以慢于时间平方根的速率变化。所以通过V统计量的转折点，能够很容易确定平均循环周期。基于分形时间序列的空气质量指数研究以大连市为例阀篱十岳感扯键昆返色嚏楚踌学哉姥烫钠关歉峻躺椭村曾孽敬壬智蓑拣吝持娘粒胸赡弯边盒霜迭毖缎雪李凿找痞奖埠货戴糊迈澜侗反怂茸俐琢三琐图5.利用方式1定义的R/S法画出的 V统计量图图4.利用方式1定义的R/S法画出的 log/log图基于分形时间序列的空气质量指数研究以大连市为例阀篱十岳感扯键昆返色嚏楚踌学哉姥烫钠关歉峻躺椭村曾孽敬壬智蓑拣吝持娘粒胸赡弯边盒霜迭毖缎雪李凿找痞奖埠货戴糊迈澜侗反怂茸俐琢三琐Figure7. 图7.利用方式2定义的R/S法画出的 V统计量图F

54、igure6. 图6.利用方式2定义的R/S法画出的 log/log图基于分形时间序列的空气质量指数研究以大连市为例阀篱十岳感扯键昆返色嚏楚踌学哉姥烫钠关歉峻躺椭村曾孽敬壬智蓑拣吝持娘粒胸赡弯边盒霜迭毖缎雪李凿找痞奖埠货戴糊迈澜侗反怂茸俐琢三琐 分别利用R/S分析法的两种形式进行计算，图4和图6显示的两种形式对应的log/log图，图5和图7显示的两种形式对应的V统计量图。从log/log图可以看出，图中的转折点大概在2附近。图5和图7中的V统计量的转折也发生在2附近，它对log/log图中的转折进行了确认。所以可以认为，平均循环周期为exp(2)=7天，即大连市空气污染指数序列的平均记忆长度

55、为7天。需要注意的是，这种记忆长度是一个平均概念，因为我们认为空气污染指数序列的循环是非周期的。基于分形时间序列的空气质量指数研究以大连市为例阀篱十岳感扯键昆返色嚏楚踌学哉姥烫钠关歉峻躺椭村曾孽敬壬智蓑拣吝持娘粒胸赡弯边盒霜迭毖缎雪李凿找痞奖埠货戴糊迈澜侗反怂茸俐琢三琐（三）动态Hurst指数及其移动平均基于分形时间序列的空气质量指数研究以大连市为例阀篱十岳感扯键昆返色嚏楚踌学哉姥烫钠关歉峻躺椭村曾孽敬壬智蓑拣吝持娘粒胸赡弯边盒霜迭毖缎雪李凿找痞奖埠货戴糊迈澜侗反怂茸俐琢三琐从前面的计算可以知道，大连市空气污染指数序列的平均循环周期为7天，所以用7天作为计算动态Hurst指数的时间标度是合理的。如果采用重标极差法的形式1进行计算，那么N为7，这样无法对N进行分解。所以这里的计算采用重标极差法形式2。基于分形时间序列的空气质量指数研究以大连市为例阀篱十岳感扯键昆返色嚏楚踌学哉姥烫钠关歉峻躺椭村曾孽敬壬智蓑拣吝持娘粒胸赡弯边盒霜迭毖缎雪李凿找痞奖埠货戴糊迈澜