人教版选修21抛物线抛物线的几何性质讲义

1、案例(二)精析精练课堂 合作 探究重点难点突破知识点 抛物线的几何性质(1)范围:因为，将方程变为，知，由此可知，抛物线上的点在轴上或在轴的右侧(不可能在轴的左侧)，当增大时，也随之增大，开口向右并且向右上方和右下方无限伸展。 (2)对称性 将抛物线中的用代替，方程不变，说明抛物线关于轴对称(结合图形也可看出)。抛物线的对称轴也叫做拋物线的轴。 (3)顶点 在方程中，令，得，(0，0)点是抛物线与它的对称轴(即轴)的交点，我们把抛物线和它的轴的交点叫做抛物线的顶点。由此可见，抛物线的顶点是坐标原点(0，0)。 (4)离心率和开口方向 抛物线的离心率：拋物线上的点到焦点和准线的距离的比，叫做抛物

2、线的离心率，仍用表示。由抛物线的定义易知抛物线的离心率。利用可以将抛物线上的点到焦点的距离转化为点到准线的距离，将距离只用点的横坐标(或纵坐标)来表示，使问题得以简化。 抛物线的开口方向:拋物线开口向右；开口向左；开口向上；开口向下。 抛物线的开口大小：在抛物线中，对于同一个值，越大，也越大，也就是说抛物线的开口也越大。 给出各种标准形式的抛物线方程，能熟练说出开口方向、燕点坐标、准线方程、对称轴；反过来，要能根据抛物线的几何性质，求出抛物线的方程。看到抛物线的标准方程，首先要判断抛物线的对称轴和开口方向。 四种形式的抛物线的几何性质对比如下: 标准方程图象性质焦点准线范围轴轴顶点离心率开口方

3、向向右向左类型图象类型性质焦点准线范围对称轴轴顶点离心率开口方向向上向下典型例题分析题型1 抛物线的几何性质应用【例1】 已知抛物线的顶点在坐标原点，对称轴为轴，且与圆相交的公共弦长等于，求这条抛物线的方程。解析 因为圆和抛物线都关于轴对称，所以它们的交点也关于轴对称，即公共弦被轴垂直平分，于是由弦长等于，可知交点织坐标为。答案 设所求抛物线方程为或。设交点则，即，由对称性知:代入上式得。把代入，得，点在抛物线上，点在抛物线上，或上，所以抛物线方程为或。规律总结 从方程形式看，求抛物线的标准方程仅需确定一个待定系数；而从实际分析，一般需确定和确定开口方向两个条件，否则，应展开相应的讨论。【变式

4、训练1】已知抛物线的一个内接三角形的一顶点在原点，三条高线都通过抛物线的焦点，求这个三角形的外接圆的方程。答案 由题意，三条高都通过抛物线的焦点，则此三角形为以原点为顶点的等腰三角形，如图。设，则。 ， ， 又。 。 设的中点为，则点坐标为，的中垂线方程为：，当时，外接圆圆心坐标为，由正弦定理：，外接圆方程：。 题型2 抛物线的焦点弦问题 【例2】 如图，过抛物线的焦点作倾斜角为的直线，交抛物线于、两点，点在轴上方，求。 解析 设直线的方程，由直线方程和抛物线方程可得到，两点的坐标，然后再根据坐标的意义和平面几何中相似三角形的知识就很容易求出。答案 直线的倾斜角为，且过焦点，可设直线。将代入上

5、面的方程，得解得 。点在轴上方，。规律总结 由直线方程和曲线方程化为关于的二次方程比化为关于的二次方程要好，一是化简的计算简便，二是更容易得出比值。【变式训练2】 过抛物线的焦点作不垂直于对称轴的直线交抛物线于、两点，线段的垂直平分线交轴于，求证:。答案 设抛物线方程为，的中点为，则。两式相减并整理得。是的中点，。直线的方程为。令得点的横坐标。又，。题型3 抛物线的最值问题【例3】 试在抛物线上求一点，使到点与到焦点的距离之和最小。解析 如图所示，易知点在抛物线内，由抛物线定义知，点到点的距离等于到准线的距离，故问题由原来的求最小，转化为求最小，由平面几何知识有移动到位置，使三点共线时值变为最

6、小值，此时的点即为所求。 答案 由已知易得点在抛物线内，准线方程，如图，过作准线于，直线交抛物线于，则为满足题设的最小值。因为轴，坐标为，所以点坐标为。又因点在抛物线上，所以即为所求点，此时最小值为。规律总结 本题在解答过程中，充分运用了抛物线的定义，在定义的应用中将抛物线上的点到准线(或焦点)的距离转化为到焦点(或准线)的距离，是一种常用方法。 【变式训练3】 为抛物线上的动弦，且(为常数且)，求弦的中点离轴的最近距离。答案 如右图，设，点的纵坐标分别为，三点在抛物线准线上的射影分别为，。由抛物线的定义，。，又是线段的中点，。等号成立的条件是三点共线，即为焦点弦。最近距离为。 【例4】 已知

7、定点，试在抛物线上求一点，使得最小。 解析 在抛物线上任取一点，然后利用两点间的距离公式表示出，这样可得到关于的函数，然后对这个函数进行探讨。 答案 设抛物线上任一点为，则有， 。(1)当时，使最小，则； (2)当时，使最小，则。 规律总结 在含有参数时，要注意对参数不同取值进行讨论。 【变式训练4】 抛物线上的点与直线的最短距离为1，求的值。答案 设点是抛物线上任意一点，其到直线的距离为，则。由的判别式得；由得，故由题意应有，解得。题型4 与抛物线有关的定理问题【例5】 已知、是抛物线上的两点，且。(1)求、两点的横坐标之积和纵坐标之积。(2)求证直线过定点。解析 本题题干较为简单，由可得等

8、量关系，可求、两点横、织坐标之积，写出直线的参数方程可得其所过定点。答案 设，(1)， ，。(2)，直线，。，过定点。方法指导 对于抛物线过焦点的弦，其与抛物线交点的坐标满足，在求证直线过定点时，一般是先写出直线方程，再确定所过的点。【变式训练5】 已知过抛物线的焦点的直线交抛物线于两点。求证:(1)为定值；(2)为定值。解析 应用抛物线的定义及直线与抛物线的知识来转化。答案 (1)抛物线的焦点为，设直线的方程为。由消去，得。由根与系数的关系得五=(定值（定值）。当轴时，也成立。(2)由抛物线的定义知，。（定值）。当轴时，上式成立。规律 方法 总结 1.抛物线的离心率为，应区别于椭圆

9、的离心率，双曲线的离心率为。 2.解决与抛物线焦点弦有关问题的关健在于充分利用抛物线的定义，并从几何角度进观察分析，找到简捷的解题方法。3.求有关抛物线的最值问题常见的方法：方法一:建立函数模型，利用函数性质求最值；方法二:利用数形结合先确定取得最值时的情形，进而求出最值。定时 巩固 检测基础训练1.设抛物线的焦点到顶点的距离为3，则抛物线上的点到准线的距离的取值范围是 （ ）A. B. C. D.【答案】D(点拨:抛物线的顶点到准线的距离最短。)2.若抛物线上一点到焦点的距离为5，则点的坐标是（ ）A. B.C. D.【答案】B(点拨：点的纵坐标为4)3.已知正三角形的一个顶点是坐标原点，另外两个顶点、在抛物线上，且的面积等于，则抛物线的方程是（ ）A. B.C. D.【答案】A(点拨:由条件及对称性知，即，故有。)4.抛物线上有一点，它到焦点的距离等于4，求与的值。【答案】 由题意得，且5.顶点在原点，焦点在轴的抛物线截直线所得的弦长，求抛物线的方程。【答案】 设抛物线的方程为，点的坐标为，点的坐标为，或-6，或。能力提升6.抛物线上到直线的距离最短的点坐标是( )A. B（1，1） C. D.(2，4)【答案】B(点拨:用切线平移法处理)7.已知抛物线的焦点为，准线交轴于，过抛物线上点作于，则梯形的面积是( )A.18 B.16 C.14 D.12【