二级倒立摆数学模型的建立

1、二级倒立摆数学模型的建立 专业：自研-09姓名：刘文珍 学号：2009Y01310126一、二级倒立摆系统的组成二级倒立摆主要由以下四部分组成:1.在有限长的轨道L上作直线运动的小车;2.与小车铰接在一起，并能在竖直平面内分别绕q，q点转动的下、上摆;3.驱动小车的直流力矩电机和转轮、钢丝等传动部分;4.使上、下摆稳定在垂直向上的平衡位置，且使小车稳定在轨道中心位置附近的控制器。二级倒立摆的结构简图如图1的监督管理功能，如实时画面，数据采集等;数据采集卡安装在计算机内，用完成模/数、数/模转换;功率放大器用于电压和功率放大;电机是系统的执行元件;电位计是系统的测量元件，它分别检测小车相对于轨道

2、中心点的相对位置、下摆相对于铅垂线的角位移、上摆相对于下摆延长线方向的角位移。图1 倒立摆系统的计算机控制系统二级倒立摆系统的整套机械部件安装在一个钢架上，上面固定着导轨、电机底座和转轮等装置。通过导轨支架安装好小车滑行的导轨，小车用电机和转轮通过传动钢丝实现运动。2、结构参数通过实际物理测量，得到二级倒立摆系统的参数如下:小车的等效质量: =1.0kg;小车与轨道间的滑动摩擦系数:=5.0kg/s;下摆的质量:=0.1481kg;下摆半长:=0.18m;下摆绕其重心的转动惯量:=0.0019;上摆质量:=0.0998kg;上摆半长:=0.24m;上摆绕其重心的转动惯量: = 0.0018;上

3、、下摆重心之间的距离: =0.29m;上、下摆之间的转动摩擦系数: =0.0l/s;下摆和小车之间的转动摩擦系数:=0.01/s;电机及功率放大器的增益: =15Nt/V。3、Lagrange方程介绍Lgarnage方程为(1-1)式中T系统的动能函数，q，Lganarge变量，分别成为广义坐标和广义速度作用于系统上的广义力，(1-2)式中：V系统的势能函数有势力的广义力非有势力的广义力将式(2-2)代入式(2-l)得二、二级倒立摆数学模型的推导二级倒立摆是一个多变量、快速、非线性、强祸合、和绝对不稳定的系统，为了简化建立数学模型的过程，我们做了以下假设:1.上摆、下摆都是一个均匀的刚体;2.

4、力矩电机的输出驱动力与其输入电压成正比，且无滞后地直接作用在小车上;3.车与轨道间的摩擦力仅与小车的速度成正比，下摆与车绞接处的摩擦力仅与摆的角速度成正比，上、下摆绞接处的摩擦力仅与摆的角速度成正比;4.忽略电机的电感;5.忽略钢丝的弹性。在以上假设前提下，我们采用分析力学中的Lganarge方程来建立系统的数学模型。令:为水平导轨运动的位移，拭、氏分别为下摆和上摆偏移竖直方向的角度。由于系统存在着摩擦力，属于一个耗散系统，因此式(2-3)部分应该加上耗能部分，对于同时受到保守力和耗散力作用的倒立摆系统的Lagrange方程为:式中： 广义坐标，即r、非有势广义力，当=r时，=,U为控制量，为

5、增益常数，当=、时，=0T、V、D分别是系统的动能、势能和消耗能、 (1-5)式中： n倒立摆的级数，这里n=2小车和各级倒摆的动能小车和各级倒摆的势能小车和各级倒摆的消耗能将上述各式，(i=0，1，2)代入式(2-4)，得二级倒立摆的数学模型为式(2-6)式是一个非线性向量微分方程。考虑到系统工作时，是在平衡位置附近运动，可将式(2-6)在u=0的平衡位置r=0附近线性化，以线性化后的方程来代替式(2-6)的非线性向量微分方程。具体线性化是忽略二次以上的项(或因为，在以内，故，)，可求出关于dr，d，d的线性化微分方程，而后将dr，d，d改写成r，便可得到系统的状态方程。根据物理模型的实测数

6、据，可求得平衡点处的常数阵: 利用Matlab中的求逆命令，可以解得阵所以，对式（2-6）进行线性化后，系统状态方程为：对于下摆有转角时，取上摆的相对角位移为，故令故式（2-7）可改写为定义状态向量x为则由式（2-8）可得将物理模型的实测参数代入式（2-9），得到二级倒立摆的系数矩阵为由此可知，二级倒立摆系统的数学模型为式中：A= 0 0 0 1.0000 0 0 0 0 0 0 1.0000 0 0 0 0 0 0 1.0000 0 -1.9600 0.0940 -4.8000 0.0040 -0.0040 0 46.1200 -25.0100 18.7600 -0.1300 0.2400

7、0 -51.0100 78.1600 -20.7500 0.2400 -0.5700B= 0 0 0 14.4137 -52.2864 62.2532C= 1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0系统状态图：首先，使用MATLAB，判断系统的能控性矩阵是否为满秩。程序如下：A=0 0 0 1 0 0;0 0 0 0 1 0 ;0 0 0 0 0 1;0 -1.96 0.094 -4.8 0.004 -0.004; 0 46.12 -25.01 18.76 -0.13 0.24;0 -51.01 78.16 -20.75 0.24 -0.57;B=0 0 0 14.

8、4137 -52.2864 62.2532;B1=B'C=1 0 0 0 0 0;0 1 0 0 0 0;0 0 1 0 0 0;rct=rank(ctrb(A,B1)计算结果为：rct = 6根据判别系统能控性的定理，该系统的能控性矩阵满秩，所以该系统是能控的。因为系统是能控的，所以，可以通过状态反馈来任意配置极点。不失一般性，不妨将极点配置在 s1=-6,s2=-6.5,s3=-7,s4=-7.5,s5=-8,s6=-8.5在MATLAB中输入程序：A=0 0 0 1 0 0;0 0 0 0 1 0 ;0 0 0 0 0 1;0 -1.96 0.094 -4.8 0.004 -0.

9、004; 0 46.12 -25.01 18.76 -0.13 0.24;0 -51.01 78.16 -20.75 0.24 -0.57;B=0 0 0 14.4137 -52.2864 62.2532;B1=B'P=-6 -6.5 -7 -7.5 -8 -8.5 ;K=place(A,B1,P)计算结果为：K = 4.8696 28.2425 36.0516 6.3136 7.8320 5.7267因此，求出状态反馈矩阵为 K = 4.8696 28.2425 36.0516 6.3136 7.8320 5.7267采用MATLAB/Simulink构造二级倒立摆状态反馈控制系统的

10、仿真模型，如下图所示。 三、 状态观测器实现状态反馈极点配置及其仿真首先，使用MATLAB，判断系统的能观性矩阵是否为满秩。输入以下程序 A=0 0 0 1 0 0;0 0 0 0 1 0 ;0 0 0 0 0 1;0 -1.96 0.094 -4.8 0.004 -0.004; 0 46.12 -25.01 18.76 -0.13 0.24;0 -51.01 78.16 -20.75 0.24 -0.57;B=0 0 0 14.4137 -52.2864 62.2532;B1=B'C=1 0 0 0 0 0;0 1 0 0 0 0;0 0 1 0 0 0;rob=rank(obsv(

11、A,C)rob = 6因为该系统的能观测性矩阵满秩，所以该系统是能观测的。因为系统是能观测的，所以，可以设计状态观测器。而系统又是能控的，因此可以通过状态观测器实现状态反馈。设计状态观测器矩阵，使的特征值的实部均为负，且其绝对值要大于状态反馈所配置极点的绝对值。通过仿真发现，这样才能保证状态观测器有足够快的收敛速度，才能够保证使用状态观测器所观测到的状态与原系统的状态充分接近。不妨取状态观测器的特征值为： 输入以下命令：A=0 0 0 1 0 0;0 0 0 0 1 0 ;0 0 0 0 0 1;0 -1.96 0.094 -4.8 0.004 -0.004; 0 46.12 -25.01 18.76 -0.13 0.24;0 -51.01 78.16 -20.75 0.24 -0.57;A1=A'C=1 0 0 0 0 0;0 1 0 0 0 0;0 0 1 0 0 0;C1=C'P=-20 -21 -22 -23 -24 -25;G1=place(A1,C1,P);G=G1'求出状态观测器矩阵为：G = 38.2600 0.1197 -0.2836 17.7903 44.7264 0.7555 -17.4652 0.6889 46.5137 275.9610 1.1437 -5.5261 690.80