与焦半径相关的圆锥曲线的解题技巧

1、焦半径、焦点弦、焦点三角形的巧妙应用提示：会推导、会运用，可以简化运算（一）焦半径有两种计算方式：根据离心率、坐标；根据离心率、焦准距、倾斜角。1）焦半径 根据离心率、坐标计算，焦半径的代数形式椭圆： （图1） （图2）F1、F2为椭圆的焦点，椭圆的一点A（x，y），A与F1、F2的线段AF1、AF2叫做焦半径，分别设为r1、r2，根据椭圆第二定义有： 左焦半径 右焦半径 椭圆的焦半径：左加右减。长轴在y轴上可以比照，易得上减下加。左边下边都为负，不足都要加。双曲线： （图3）（图4）双曲线为双支，焦半径可能在一支上，也可能在两支上。在一支上时，称之为内焦半径，通常也叫焦半径。在两支上叫外焦半

2、径。以焦点在左支上为例，推导左焦半径公式。设内焦半径AF1为r1，根据双曲线第二定义有： 同理，右支 双曲线焦半径，与椭圆有两点相反，左减右加，半长轴取反。实轴在y轴上，可以比照，易得上加下减。联想特征：左边下边都为负，要减一起减。可以从图形上理解，双曲线的左半支相当于抛物线的右半支。以左焦点为起点的外焦半径，根据双曲线第二定义有： 同理，以右焦点为起点的外焦半径公式： 双曲线外焦半径，与椭圆相同。不作要求，高考中未见。抛物线：抛物线，C(x,y)为抛物线上的一点，焦半径|CF|=|x|+ 。例1 （2000年高考（理工）22题）已知梯形ABCD中，|AB|=2|CD|，点E分有向线段 所成的

3、比为 ，双曲线过C、D、E三点，且以A、B为焦点。当 ，求双曲线的离心率的取值范围。解析：这是一道高考压轴题，难度较大。建立坐标系，给出A、B坐标，由|AB|=2|CD|和对称性可知C的坐标为（ ），h为梯形的高。由定比分点公式可求出E的坐标，而E、C都在双曲线上，代入双曲线方程。这是常规处理方式，很费事。常规解法见 。这里用焦半径概念求解。根据向量知识或定比分点公式，先求出E、C的横坐标，再求焦半径AE、AC，这样，只用处理 和c的关系，关系简单纯粹。AE= ，AC= ，EC=AC-AE=，将 ， 代入上式，则 即。再由，得到，即 。2）焦半径 根据离心率、焦准距、倾斜角计算，焦半径的统一公

4、式长焦半径r= ，短焦半径r=。根据图象判断，如椭圆的左上支，椭圆的右下支，就是长焦半径，无需记忆。同样，双曲线、抛物线也是根据图象判断长短。外焦半径，只有双曲线才有，比较复杂，且高考中，暂未发现此类题目，只简单介绍。（图5） （图6）内外焦半径推导如下：椭圆的左半边、双曲线右支、开口向右的抛物线的内分焦半径推导： （*）椭圆的右半边、双曲线左支、开口向左的抛物线的内分焦半径推导： BF也可根据AF直接写出， 为线段与正方向的夹角，这时为+。外分焦半径，仅双曲线拥有，这里以从左焦点伸向右支为例(不作要求)：P叫焦准距，p=（椭圆、双曲线） 。例2 （2012 江苏高考19题）如图，在平面直角坐

5、标系xOy中，椭圆 的左右焦点分别为F1（-c，0），F2（c，0）。已知（1，e）和（e，）都在椭圆上，其中e为椭圆的离心率。（1） 求椭圆的方程；（2） 设A，B是椭圆上位于X轴上方的两点，且直线AF1与直线BF2平行，AF2、BF1交于点P。（i） 若AF1-BF2= ，求直线AF1的斜率；（ii） 求证PF1+PF2是定值。解析：这道题压轴题，很难，据闻得分率很低。（1）代入两已知点易求得a、b的值；（2）的（i）按通法应设出AF1、BF2方程，分别与椭圆方程联立，得出AF1、BF2的长。可设x=my-1或x=my+1。（ii）一看就知可能要用平面几何的平行线性质。显然用焦半径的统一公

6、式或者焦半径的代数形式能简化运算。解：（1）将两已知点代入椭圆方程有 所以椭圆方程是 。（2）解一：焦半径的统一形式（i）设AF1X=，则 ， 又 ，代入上式解得 （舍）所以AF1的斜率= 。解二：焦半径的代数形式设A(x1,y1)、B（x2，y2），AF1X=， 则AF1=a+ex1，BF2=a-ex2。又AF1BF2，所以 。联立则得（舍）所以，因为A、B在X轴上方，且AF1BF2，所以k0，即k= 。 （ii） ，所以解一：焦半径的统一形式将代入上式得 ：解二：焦半径的代数形式AF1=a+ex1，BF2=a-ex2，由前知道。将一起代入，则AF1·BF2=，AF1+BF2=，所

7、以 解三：向量方法设A(x1,y1)、B(x2,y2)、P(x0,y0)，AF2的方程，BF1的方程，解得y0=。又 ，所以PF1+PF2= 将y0值代入，则有。注：1、也可以把BF2迁移为F1A1，然后用参数方程来解。或者迁移后用通法解决。2、要指明k0或者说明k0的理由。3、应能根据题设条件知道，P点实际上在另一个椭圆上。按此求解，可把问题转化为 。然后设出A（x1，y1）、B（x2，y2）、P（x，y），求出x1、y1、x2、y2用x、y表示的表达式，然后代入椭圆方程整理可得到 4、这道题的（ii）可以直接算出，因为AF1、BF2已经求出，所以AF2、BF1都能求出，进而可以求得PF1、

8、PF2的长度。（二）焦点弦焦点弦长=两个焦半径的和。1）根据离心率e和坐标，代数形式特别地，抛物线，焦点弦长=|x1|+|x2|+p 。2）根据离心率、焦准距和倾斜角 ，统一形式AB=通径，过焦点且垂直于长轴或实轴的弦称为通径。令=90°，则得椭圆、双曲线的通径为2ep= ，抛物线的通径为2p。特别地，抛物线的焦点弦长= 例3 过双曲线 的右焦点作一倾斜角为 的直线l，求l被双曲线截得的弦长。解析：这个弦长，与一般的弦长有所不同，那就是过焦点。当然可以把它当成普通的弦长来处理：直线方程与双曲线联立，检验后，用韦达定理的固定套路来解决。L= 。也可以用直线的参数方程代入双曲线方程，然后

9、|t1-t2|就是所求的线段长。这里用焦点弦的弦长公式计算：e= ，由直线l的倾斜角知道，这是一种内分弦，焦点弦长L=。L= 。这种处理，比联立方程简单多了。也可以不区分内分弦、外分弦，统一用含绝对值的公式即可。（三）焦点三角形推导如下：椭圆的焦点三角形（上左图）F1PF2=，F1F2=2c，由余弦定理得 ： 到了这里，对上式的变形非常重要，即把配成。即解得，所以三角形面积= 双曲线的焦点三角形（上右图）F1PF2=，F1F2=2c，由余弦定理得 ： 到了这里，对上式的变形非常重要，即把配成。即解得，所以三角形面积= 。面积公式中的半角易当成整个角。例4 （2004湖北高考）已知椭圆 的左右焦

10、点分别是F1、F2，点P在椭圆上，若P、F1、F2是直角三角形的顶点，则点P到X轴的距离为( )。A. B. C. D. 或解析：求高，用2倍三角形的面积除以底边长即可得到。这里的直角顶点显然不是确定的，要分类讨论。若F1、F2是直角顶点，显然高为半通径= 。若点P是直角顶点，=90°，面积=9。又面积= ，所以h= 。答案是D。如果不记得面积公式，但知道用余弦定理，并知道配成（PF1+PF2）的平方，也能求出。例5 （2007年高考全国卷21题）如图，已知椭圆的左、右焦点分别为F1，F2，过F1的直线交椭圆于B,D两点，过F2的直线交椭圆于A,C两点，且ACBD，交点为P。（I）

11、设P点坐标为(x0,y0)，证明： （II） 求四边形面积的最小值。解析： 压轴题，（II）难度较大。（I）P在F1F2为直径的圆上，因此易证结论。（II）解法一：常规解法BD不会平行于x轴和y轴，可设BD斜率为K，写出直线方程，与椭圆方程联立，根据韦达定理和弦长公式得出BD的表达式。因为AC，BD有交点，且互相垂直，所以直接把k替换成就是AC的表达式。 解法二：焦点弦方程由已知条件知， 。设DB倾斜角为，则AC的倾斜角为。 ，所以 DB·AC=用焦半径的统一形式或代数形式，都可以避开斜率是否存在的讨论。练习：1、 已知椭圆 的两个焦点为F1、F2，P为椭圆上一点，且 ，则|PF1|PF2|的值为( )。A. 1 B. C. D. 2、已知椭圆的中心在原点，F1、F2为左右焦点，P为椭圆上一点，且 ，F1PF2面积为 ，准线方程为x=，求椭圆的标准方程。注意：演算后会得到两个方程，但有个方程的F1PF2的角度最大为60°，不合要求舍弃。标准方程： ，（舍弃）。3、（2014湖北）已知F1、F2是椭圆和双曲线的公共焦点，P是他们的一个公共