习题课6不定积分

1、习题课（六）内容： 不定积分的概念及积分方法基本要求：1理解原函数与不定积分的概念。 2掌握不定积分的性质及不定积分与导数的关系。 3掌握不定积分的积分方法。 4会求简单的有理函数、无理函数、三角函数有理式的不定积分。内容与方法精讲：一 原函数与不定积分的概念1 原函数定义：在区间上，若（即），称函数是函数在区间上的一个原函数。2 原函数存在的条件：若函数在区间上连续。则在区间上有原函数。3 不定积分：函数在区间上的所有原函数称为在区间上的不定积分，记作.4 不定积分与导数的关系：（1） 先积分再求导（或微分） ，或 ；（2） 先求导（或微分）再积分 ，或 .5 不定积分的线性性：（1）；（2

2、）. 二基本积分公式（略）三不定积分的方法1 拆项积分法：利用不定积分的线性性，将一个复杂的不定积分拆成若干个基本积分公式中的积分，从而进行积分。（关键体现在拆项上，例如：通过有理化；利用三角公式；在分子上加一项，减一项等都是常用的手段）。2 凑微分法：.主要用来解决复合函数的积分（确切地说是复合函数与之间变量导数之积的积分）。要熟练常用的几个凑微分式子： （1） ； （2）； （3）； （4）； （5）； （6）； （7）； （8）； （9）； （10）； （11） 多用于解决无理函数的积分。要掌握几个常用的固定换元：换元名称被积函数特点具体换元公式换元目的三角换元含有去根号化为有理函数或三

3、角函数有理式的积分含有含有根式换元根式换元含有含有倒代换分母幂次比分子幂次较高降低分母幂次4 分部积分法： 或 主要用来解决两类不同的简单函数乘积的积分。关键是掌握好与的选取，原则是好找原函数，的导数简单，积分积分容易（至少不难）。要掌握以下几种常见类型的分部积分：被积函数类型条件取作取作目的幂函数三角函数正整数次幂幂函数三角函数降低幂次幂函数指数函数正整数次幂幂函数指数函数降低幂次幂函数对数函数实数次幂对数函数幂函数去掉对数函数幂函数反三角函数实数次幂反三角函数幂函数去掉反三角函数指数函数三角函数与任取，用两次分部积分，出现“打回头”四几类特殊函数的积分例题精讲1若，求函数 解：（本题考核导

4、数与积分的关系。给出不定积分，求被积函数，只需对等式两边求导） 对等式两边同时求导，有2若函数满足，且，求函数 解：（本题也是考核导数与积分的关系。给出导数，求原函数，只需对等式两边求积分。本题要注意积分变量是，或先将式子改写为，再两边求积分） 对等式两边同时求积分，有 ） 所以，由，得，于是3设函数 求不定积分 解：（这是分段函数求不定积分问题，要注意原函数在分界点处应连续） 当时，； 当时，. 有，有，得. 所以，4若的一个原函数为，求不定积分 解：（尽管这也是考核原函数概念的题目，但是由于在被积函数中出现了一个函数与的导数乘积的形式，因此首先要进行分部积分） 由的一个原函数为，即，所以.

5、于是，5设函数是在时的一个原函数，满足，且，. 求函数. 解：（本题还是考核原函数概念。由于在条件中同时出现了与，为方便都统一于，然后再积分） 由是的一个原函数及，有，对上式两边同时求积分，得 . 由及，得，且， 所以，.6求下列不定积分（本例都是典型的、常见的凑微分类型，有些题目要经过多次凑微分） （1）； （2）； （2）； （4）； （5）； （6）. 解：（1） .（2） .（3）.（4） .（5）.（6） .7求下列不定积分（本例都是有理函数的积分，有理函数的积分不一定都拆成部分分式） （1）； （2）； （3）. 解：（1）(本题除了利用部分分式，没有太好的办法。) （2）(本题属

6、于型, 可以凑成兴) （3）(本题由于分母的幂次相对于分子的幂次较高, 因此应当用到代换.) 令, 则, 于是 8求下列不定积分（本例都是三角函数有理式的积分，能不用万能代换的，尽量不用万能代换，通常都可以用凑微分求解） （1）； （2）； （3）； （4）. 解：（1）（本题属于型） （2）（本题属于型，可作代换. 也可以直接凑微分） （3）（本题有两个关键点，一是要统一角度，二是要将分母上的两项之和化为一项） （4）（本题解法很多，下面仅介绍几种有代表型的解法） 方法一：本题可以通过拆项的方法求解 方法二：记，. 则 两式相加，得方法三：为将分母化为一项，分子、分母同乘，则 方法四：分子、

7、分母同乘，通过两角和公式将分母唤为一项，则 方法五：分子、分母同除，然后令，则，于是方法六：用万能代换，令，则 9求下列不定积分（本例都是无理函数积分，如果能够通过凑微分求解，当然最好；如果不能用凑微分求解，就要设法去根号）（1）； （2）；（3）； （4）.解：（1）本题属于类型，直接凑微分即可，当然也可以用三角代换 方法一： 方法二：令，则，于是 （2）方法一：时，令，（时，方法类似，结果相同） 方法二：本题也可以通过双曲函数代换达到去根号的目的。当时，令ch（），（当时，方法类似，结果相同） 方法三：本题特别，作代换，也可以达到去根号的目的。 当时，令，则，于是 当时，方法类似，令，则，

8、结果相同 方法四：由于分母上x的幂次比分子上x的幂次高一些，因此可考虑倒代换，令，则. 于是，当时，有 . 当时，. （3）本题解法也较多，各种解法的目的都是取根号。 方法一：按类型作。 令，则，于是 方法二：分子、分母同乘，转化为型 （注：转化为后，也可以用代换求解） 方法三：令，则，于是 （4）本题不是常见的典型题，这里出现了复合函数，当一时看不到解法时，可以考虑用中间变量作代换进行试解。如该题可考虑的换元有：、或，通过试解，发现第二和第四种换元更好一些。 方法一：不妨设（时也类似）令，则，于是 （注：转化为后，也可以再作代换求解） 方法二：令，则，于是 10求下列不定积分（本例都属于分部

9、积分类型） （1）； （2）； （3）； （4）； （5）， （6）. 解：（1）本题属于幂函数（正整数次幂）三角函数类型的积分，要试图先将三角函数凑到微分号后面，即先求出三角函数部分的积分。 （2）本题属于幂函数（非正整数次幂）对数函数类型的积分，要试图先将幂函数凑到微分号后面，微分号外面只留对数函数。 （3）本题属于幂函数（非正整数次幂）反三角函数类型的积分，要试图先将幂函数凑到微分号后面，微分号外面只留反三角函数。 （4）本题也属于幂函数（非正整数次幂）反三角函数类型的积分，直接将幂函数凑到微分号后面有一定困难，可以先单独进行这部分的积分。因为 ， 所以 （5）本题属于幂函数（正整数次幂

10、）指数函数类型的积分，要试图先将指数函数凑到微分号后面。 对积分，令，则，于是 （6）本题比较特殊，困难在于含有对数函数，这时可以先将对数以外的东西凑到微分号内，微分号外只留对数函数，通过分部积分进行试解。 11求下列不定积分（本例又是一种积分类型。在这种积分中，其中有一部分是不能进行积分的（即原函数不能用初等函数表示），这一部分暂时不要管它，先对其它部分进行积分，在积分过程中会产生出不能进行积分的部分的相反的值，从而将那部分抵消掉） （1）； （2）. 解：（1） （2） 同步练习:1求. ( )2求. ( )3求. ( )4求. ( )5求. ( )6求. ( )7求. ( )8求. ( )9求. ( )10求. (