两点边值问题的不同迭代法比较及matlab实现

1、两点边值问题的不同迭代法比较及matlab实现问题：考虑两点边值问题：容易知道它的精确解为：为了将微分方程离散，把0,1区间n等分，令h=1/n，得到差分方程，从而得到迭代方程组的系数矩阵A。 对=1，a=1/2,n=100,分别用jacobi，G-S，超松弛迭代法分别求线性方程组的解，要求4位有效数字，然后比较与精确解的误差。对=0.1，=0.01，=0.001，考虑同样问题。思想：利用书上的迭代公式即可。注意问题：迭代矩阵是n-1阶的，不是n阶；等号右端向量b的最后一项，不是ah2，而是ah2-eps-h精确解：带入a=1/2,=1代码： clear x=linspace(0,1);tru

2、y=(1-0.5)/(1-exp(-1/1)*(1-exp(-x./1)+x.*0.5;figure;plot(x,truy,g,LineWidth,1.5);hold on;Grid图：三种方法的实现Jacobi法：代码见附录Eps=1结果：迭代次数k：22273结果与精确解的比较图（绿色粗线是精确解，黑色细线是迭代结果）Eps=0.1结果：迭代次数k：8753结果与精确解的比较图（绿色粗线是精确解，黑色细线是迭代结果）Eps=0.01结果：迭代次数k：661结果与精确解的比较图（绿色粗线是精确解，黑色细线是迭代结果）G-S迭代法：代码见附录Eps=1结果：迭代次数k：11125结果与精确解

3、的比较图（绿色粗线是精确解，黑色细线是迭代结果）Eps=0.1结果：迭代次数k：4394结果与精确解的比较图（绿色粗线是精确解，黑色细线是迭代结果）Eps=0.01结果：迭代次数k：379结果与精确解的比较图（绿色粗线是精确解，黑色细线是迭代结果）超松弛法：代码见附录Eps=1 w=1.56结果：迭代次数k：3503结果与精确解的比较图（绿色粗线是精确解，黑色细线是迭代结果）Eps=0.1 w=1.56结果：迭代次数k：1369结果与精确解的比较图（绿色粗线是精确解，黑色细线是迭代结果）Eps=0.01 w=1.56结果：迭代次数k：131结果与精确解的比较图（绿色粗线是精确解，黑色细线是迭代

4、结果）结果：Jacobi、G-S、超松弛法，三者都能够取得对精确解的良好逼近，但是，在相同的精度条件下，三者的收敛速度是不一样的，jacobiG-S超松弛，也就是说，在迭代次数相同的条件下，精度：jacobiG-Sj L(i,j)=-A(i,j);end endendU=zeros(n-1);for i=1:n-1 for j=1:n-1 if ij U(i,j)=-A(i,j); end endendB=D(L+U);g=Db;while 1 z=B*y+g; if norm(z-y,inf)j L(i,j)=-A(i,j);end endendU=zeros(n-1);for i=1:n-

5、1 for j=1:n-1 if ij U(i,j)=-A(i,j); end endendB=D(L+U);g=Db;while 1 z=(D-L)U*y+(D-L)b; if norm(z-y,inf)j L(i,j)=-A(i,j);end endendU=zeros(n-1);for i=1:n-1 for j=1:n-1 if ij U(i,j)=-A(i,j); end endendB=D(L+U);g=Db;Lw=(D-w*L)-1)*(1-w)*D+w*U);while 1 z=Lw*y+w*(D-w*L)-1*b; if norm(z-y,inf)delta break; end y=z;k=k+1;end x=linspace(0,1);truy=(1-a)/(1-exp(-1/eps)*(1-exp