与圆的切线有关的计算与证明

1、与圆的切线有关的计算与证明（1）类型之一与切线的性质有关的计算或证明【经典母题】如图Z121，O的切线PC交直径AB的延长线于点P，C为切点，若P30°，O的半径为1，则PB的长为_1_ 图Z121 经典母题答图【解析】 如答图，连结OC.PC为O的切线，PCO90°，在RtOCP中，OC1，P30°，OP2OC2，PBOPOB211.【思想方法】(1)已知圆的切线，可得切线垂直于过切点的半径；(2)已知圆的切线，常作过切点的半径，得到切线与半径垂直【中考变形】2017·天津已知AB是O的直径，AT是O的切线，ABT50°，BT交O于点C，E是

2、AB上一点，延长CE交O于点D.(1)如图Z122，求T和CDB的大小；(2)如图，当BEBC时，求CDO的大小图Z122解：(1)如答图，连结AC，AT是O的切线，AB是O的直径，ATAB，即TAB90°，ABT50°，T90°ABT40°，由AB是O的直径，得ACB90°，CAB90°ABC40°，CDBCAB40°； 中考变形答图 中考变形答图(2)如答图，连结AD，在BCE中，BEBC，EBC50°，BCEBEC65°，BADBCD65°，OAOD，ODAOAD65°

3、，ADCABC50°，CDOODAADC65°50°15°.【中考预测】2017·宿迁如图Z123，AB与O相切于点B，BC为O的弦，OCOA，OA与BC相交于点P.(1)求证：APAB；(2)若OB4，AB3，求线段BP的长 图Z123 中考预测答图解：(1)证明：OCOB，OCBOBC，AB是O的切线，OBAB，OBA90°，ABPOBC90°，OCAO，AOC90°，OCBCPO90°，APBCPO，APBABP，APAB；(2)如答图，作OHBC于H.在RtOAB中，OB4，AB3，OA5，APA

4、B3，PO2.在RtPOC中，PC2，PC·OHOC·OP，OH，CH ，OHBC，CHBH，BC2CH，BPBCPC2.类型之二与切线的判定有关的计算或证明【经典母题】已知：如图Z124，A是O外一点，AO的延长线交O于点C，点B在圆上，且ABBC，A30°，求证：直线AB是O的切线 图Z124 经典母题答图 证明：如答图，连结OB，OBOC，ABBC，A30°，OBCCA30°，AOBCOBC60°.ABO180°(AOBA)180°(60°30°)90°，ABOB，又OB为O半径

5、，AB是O的切线【思想方法】证明圆的切线常用两种方法“作半径，证垂直”或者“作垂直，证半径”【中考变形】12016·黄石如图Z125，O的直径为AB，点C在圆周上(异于A，B)，ADCD.(1)若BC3，AB5，求AC的值；(2)若AC是DAB的平分线，求证：直线CD是O的切线 图Z125 中考变形1答图解：(1)AB是O直径，C在O上，ACB90°，又BC3，AB5，由勾股定理，得AC4；(2)证明：如答图，连结OC，AC是DAB的平分线，DACBAC，又ADDC，ADCACB90°，ADCACB，DCACBA，又OAOC，OACOCA，OACOBC90

6、6;，OCAACDOCD90°，直线CD是O的切线22017·南充如图Z126，在RtACB中，ACB90°，以AC为直径作O交AB于点D，E为BC的中点，连结DE并延长交AC的延长线点F.(1)求证：DE是O的切线；(2)若CF2，DF4，求O直径的长 图Z126 中考变形2答图【解析】 (1)连结OD，欲证DE是O的切线，需证ODDE，即需证ODE90°，而ACB90°，连结CD，根据“等边对等角”可知ODEOCE90°，从而得证；(2)在RtODF中，利用勾股定理建立关于半径的方程求解解：(1)证明：如答图，连结OD，CD.AC

7、是O的直径，ADC90°.BDC90°.又E为BC的中点，DEBCCE，EDCECD.ODOC，ODCOCD.EDCODCECDOCDACB90°.ODE90°，DE是O的切线；(2)设O的半径为x.在RtODF中，OD2DF2OF2，即x242(x2)2，解得x3.O的直径为6.【中考预测】如图Z127，AB是O的直径，点C，D在O上，A2BCD，点E在AB的延长线上，AEDABC.(1)求证：DE与O相切；(2)若BF2，DF，求O的半径图Z127 中考预测答图解：(1)证明：如答图，连结OD.AB是O的直径，ACB90°，AABC90&#

8、176;，BOD2BCD，A2BCD，BODA，AEDABC，BODAED90°，ODE90°，即ODDE，DE与O相切；(2)如答图，连结BD，过点D作DHBF于点H.DE与O相切，ACDBCDODBBDE90°，ACDOBD，OBDODB，BDEBCD，AEDABC，AFCDBF，AFCDFB，ACF与FDB都是等腰三角形，FHBHBF1，HD3，在RtODH中，OH2DH2OD2，即(OD1)232OD2，OD5.即O的半径是5.与圆的切线有关的计算与证明（2）1.如图8，CD是0的切线，切点为A,AB是0的直径.E,F0上的点,(1)求证：DAE=FDE/

9、A B.(2)若EF/CD,求证:AEF是等腰三角形2.如图70的半径为1，过点A(2，0)的直线切 0于点B，交y轴于点C. (1)求线段AB的长； (2)求以直线AC为图象的一次函数的解析式3、在ABC中，AB=AC，内切圆O与边BC、AC、AB分别切于D、E、F.（1）求证：BF=CE；（2）若C=30°，求AC.4.如图10，在O中，ACB=BDC=60°，AC=，（1）求BAC的度数； （2）求O的周长5 已知：如图，AB是O的直径，AD是弦，OC垂直AD于F交O于E，连结DE、BE，且C=BEDCEDAFOB（1）求证：AC是O的切线；（2）若OA=10，AD=

10、16，求AC的长6. 如图，切于点直线交于点、，弦(1)求证：MPAOCB(2补充)连结CM,当四边形BCMO为菱形时,求P的度数或反过来问:当时,判断四边形BCMO的形状,并说明理由.AOBMNC 7. 如图，在中，以为直径的交于点，于点（1）求证是的切线；（2）若，求图中阴影部分的面积8 如图，ABC内接于半圆，AB是直径，过A作直线MN，若MAC=ABC MNAEDCGBF（1）求证：MN是半圆的切线；（2）设D是弧AC的中点，连结BD交AC 于G，过D作DEAB于E，交AC于F 求证：FDFG9. 如图，半圆的直径，点C在半圆上，（1）求弦的长；PBCEA（2）若P为AB的中点，交于点E，求的长AOECDB10. 已知：如