专题一不等式与线性规划教师

1、专题一第2讲不等式与线性规划考情解读1.在高考中主要考查利用不等式的性质进行两数的大小比较、一元二次不等式的解法、基本不等式及线性规划问题基本不等式主要考查求最值问题，线性规划主要考查直接求最优解和已知最优解求参数的值或取值范围问题.2.多与集合、函数等知识交汇命题，以选择、填空题的形式呈现，属中档题1四类不等式的解法(1)一元二次不等式的解法先化为一般形式ax2bxc>0(a0)，再求相应一元二次方程ax2bxc0(a0)的根，最后根据相应二次函数图象与x轴的位置关系，确定一元二次不等式的解集(2)简单分式不等式的解法变形>0(<0)f(x)g(x)>0(<0)

2、；变形0(0)f(x)g(x)0(0)且g(x)0.(3)简单指数不等式的解法当a>1时，af(x)>ag(x)f(x)>g(x)；当0<a<1时，af(x)>ag(x)f(x)<g(x)(4)简单对数不等式的解法当a>1时，logaf(x)>logag(x)f(x)>g(x)且f(x)>0，g(x)>0；当0<a<1时，logaf(x)>logag(x)f(x)<g(x)且f(x)>0，g(x)>0.2五个重要不等式(1)|a|0，a20(aR)(2)a2b22ab(a、bR)(3)(

3、a>0，b>0)(4)ab()2(a，bR)(5) (a>0，b>0)3二元一次不等式(组)和简单的线性规划(1)线性规划问题的有关概念：线性约束条件、线性目标函数、可行域、最优解等(2)解不含实际背景的线性规划问题的一般步骤：画出可行域；根据线性目标函数的几何意义确定最优解；求出目标函数的最大值或者最小值4快速判断二元一次不等式表示的平面区域区域不等式区域B>0B<0AxByC>0直线AxByC0上方直线AxByC0下方AxByC<0直线AxByC0下方直线AxByC0上方主要看不等号与B的符号是否同向，若同向则在直线上方，若异向则在直线下方，

4、简记为“同上异下”，这叫B值判断法5两个常用结论(1)ax2bxc>0(a0)恒成立的条件是(2)ax2bxc<0(a0)恒成立的条件是热点一一元二次不等式的解法(1)已知一元二次不等式f(x)<0的解集为，则f(10x)>0的解集为()Ax|x<1或x>lg 2Bx|1<x<lg 2Cx|x>lg 2Dx|x<lg 2(2)已知函数f(x)(x2)(axb)为偶函数，且在(0，)单调递增，则f(2x)>0的解集为()Ax|x>2或x<2 Bx|2<x<2Cx|x<0或x>4 Dx|0<

5、x<4思维启迪(1)利用换元思想，设10xt，先解f(t)>0.(2)利用f(x)是偶函数求b，再解f(2x)>0.答案(1)D(2)C解析(1)由已知条件0<10x<，解得x<lglg 2.(2)由题意可知f(x)f(x)即(x2)(axb)(x2)(axb)，(2ab)x0恒成立，故2ab0，即b2a，则f(x)a(x2)(x2)又函数在(0，)单调递增，所以a>0.f(2x)>0即ax(x4)>0，解得x<0或x>4.故选C.思维升华二次函数、二次不等式是高中数学的基础知识，也是高考的热点，“三个二次”的相互转化体现了转化

6、与化归的数学思想方法(1)不等式0的解集为()A(，1 B，1C(，)1，)D(，1，)(2)已知p：x0R，mx10，q：xR，x2mx1>0.若pq为真命题，则实数m的取值范围是()A(，2) B2,0)C(2,0) D0,2答案(1)A(2)C解析(1)原不等式等价于(x1)(2x1)<0或x10，即<x<1或x1，所以不等式的解集为(，1，选A.(2)pq为真命题，等价于p，q均为真命题命题p为真时，m<0；命题q为真时，m24<0，解得2<m<2.故pq为真时，2<m<0.热点二基本不等式的应用(1)(2014·湖

7、北)某项研究表明：在考虑行车安全的情况下，某路段车流量F(单位时间内经过测量点的车辆数，单位：辆/时)与车流速度v(假设车辆以相同速度v行驶，单位：米/秒)、平均车长l(单位：米)的值有关，其公式为F.如果不限定车型，l6.05，则最大车流量为_辆/时；如果限定车型，l5，则最大车流量比中的最大车流量增加_辆/时(2)(2013·山东)设正实数x，y，z满足x23xy4y2z0，则当取得最大值时，的最大值为()A0 B1 C. D3思维启迪(1)把所给l值代入，分子分母同除以v，构造基本不等式的形式求最值；(2)关键是寻找取得最大值时的条件答案(1)1 900100(2)B解析(1)

8、当l6.05时，F1 900.当且仅当v11 米/秒时等号成立，此时车流量最大为1 900辆/时当l5时，F2 000.当且仅当v10 米/秒时等号成立，此时车流量最大为2 000 辆/时比中的最大车流量增加100 辆/时(2)由已知得zx23xy4y2，(*)则1，当且仅当x2y时取等号，把x2y代入(*)式，得z2y2，所以211，所以当y1时，的最大值为1.思维升华在利用基本不等式求最值时，要特别注意“拆、拼、凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”(即条件要求中字母为正数)、“定”(不等式的另一边必须为定值)、“等”(等号取得的条件)的条件才能应用，否则会出现错误(1)若点A(m，n)在

9、第一象限，且在直线1上，则mn的最大值为_(2)已知关于x的不等式2x7在x(a，)上恒成立，则实数a的最小值为()A1 B. C2 D.答案(1)3(2)B解析(1)因为点A(m，n)在第一象限，且在直线1上，所以m，n>0，且1.所以·()2(当且仅当，即m，n2时，取等号)所以·，即mn3，所以mn的最大值为3.(2)2x2(xa)2a2·2a42a，由题意可知42a7，得a，即实数a的最小值为，故选B.热点三简单的线性规划问题某旅行社租用A、B两种型号的客车安排900名客人旅行，A、B两种车辆的载客量分别为36人和60人，租金分别为1 600元/辆和

10、2 400元/辆，旅行社要求租车总数不超过21辆，且B型车不多于A型车7辆则租金最少为()A31 200元 B36 000元C36 800元 D38 400元思维启迪通过设变量将实际问题转化为线性规划问题答案C解析设租A型车x辆，B型车y辆时租金为z元，则z1 600x2 400y,x、y满足画出可行域如图直线yx过点A(5,12)时纵截距最小，所以zmin5×1 6002 400×1236 800，故租金最少为36 800元思维升华(1)线性规划问题一般有三种题型：一是求最值；二是求区域面积；三是确定目标函数中的字母系数的取值范围(2)解决线性规划问题首先要找到可行域，再

11、注意目标函数所表示的几何意义，利用数形结合找到目标函数的最优解(3)对于应用问题，要准确地设出变量，确定可行域和目标函数(1)已知实数x，y满足约束条件，则w的最小值是()A2 B2 C1 D1(2)(2013·北京)设关于x、y的不等式组表示的平面区域内存在点P(x0，y0)，满足x02y02，求得m的取值范围是()A. B.C. D.答案(1)D(2)C解析(1)画出可行域，如图所示w表示可行域内的点(x，y)与定点P(0，1)连线的斜率，观察图形可知PA的斜率最小为1，故选D.(2)当m0时，若平面区域存在，则平面区域内的点在第二象限，平面区域内不可能存在点P(x0，y0)满足

12、x02y02，因此m<0.如图所示的阴影部分为不等式组表示的平面区域要使可行域内包含yx1上的点，只需可行域边界点(m，m)在直线yx1的下方即可，即m<m1，解得m<.1几类不等式的解法一元二次不等式解集的端点值是相应一元二次方程的根，也是相应的二次函数图象与x轴交点的横坐标，即二次函数的零点；分式不等式可转化为整式不等式(组)来解；以函数为背景的不等式可利用函数的单调性进行转化2基本不等式的作用二元基本不等式具有将“积式”转化为“和式”或将“和式”转化为“积式”的放缩功能，常常用于比较数(式)的大小或证明不等式或求函数的最值或解决不等式恒成立问题解决问题的关键是弄清分式代

13、数式、函数解析式、不等式的结构特点，选择好利用基本不等式的切入点，并创造基本不等式的应用背景，如通过“代换”、“拆项”、“凑项”等技巧，改变原式的结构使其具备基本不等式的应用条件利用基本不等式求最值时要注意“一正、二定、三相等”的条件，三个条件缺一不可3线性规划问题的基本步骤(1)定域画出不等式(组)所表示的平面区域，注意平面区域的边界与不等式中的不等号的对应；(2)平移画出目标函数等于0时所表示的直线l，平行移动直线，让其与平面区域有公共点，根据目标函数的几何意义确定最优解，注意要熟练把握最常见的几类目标函数的几何意义；(3)求值利用直线方程构成的方程组求解最优解的坐标，代入目标函数，求出最

14、值.真题感悟(2014·山东)已知实数x，y满足ax<ay(0<a<1)，则下列关系式恒成立的是()A.> Bln(x21)>ln(y21)Csin x>sin y Dx3>y3答案D解析因为0<a<1，ax<ay，所以x>y.采用赋值法判断，A中，当x1，y0时，<1，A不成立B中，当x0，y1时，ln 1<ln 2，B不成立C中，当x0，y时，sin xsin y0，C不成立D中，因为函数yx3在R上是增函数，故选D.(2014·浙江)当实数x，y满足时，1axy4恒成立，则实数a的取值范围是

15、_答案1，解析画可行域如图所示，设目标函数zaxy，即yaxz，要使1z4恒成立，则a>0，数形结合知，满足即可，解得1a.所以a的取值范围是1a.为了迎接2014年3月8日的到来，某商场举行了促销活动，经测算某产品的销售量P万件(生产量与销售量相等)与促销费用x万元满足P3，已知生产该产品还需投入成本(102P)万元(不含促销费用)，产品的销售价格定为(4)万元/万件则促销费用投入 万元时，厂家的利润最大？()A1 B1.5C2 D3答案A解析设该产品的利润为y万元，由题意知，该产品售价为2×()万元，所以y2×()×P102Px16x(x>0)，所

16、以y17(x1)17213(当且仅当x1，即x1时取等号)，所以促销费用投入1万元时，厂家的利润最大，故选A.若点P(x，y)满足线性约束条件点A(3，)，O为坐标原点，则·的最大值为_答案6解析由题意，知(3，)，设(x，y)，则·3xy.令z3xy，如图画出不等式组所表示的可行域，可知当直线yxz经过点B时，z取得最大值由解得即B(1，)，故z的最大值为3×1×6.即·的最大值为6.配套课时作业1(1)设函数f(x)则满足f(x)2的x的取值范围是()A1,2B0,2C1，) D0，)(2)(2012·江苏高考)已知函数f(x)x

17、2axb(a，bR)的值域为0，)，若关于x的不等式f(x)c的解集为(m，m6)，则实数c的值为_思路点拨(1)分x1和x>1两种情况求解(2)由函数的值域解定a，b的关系，再利用一元二次不等式的解集与对应方程根的关系求解解析(1)当x1时，由21x2，得1x1，x0，0x1；当x>1时，由1log2x2，得log2x1，x，x>1.综上知x0.(2)由题意知f(x)x2axb2b.f(x)的值域为0，)，b0，即b.f(x)2.又由f(x)<c，得2<c，即<x<.，得26，c9.答案(1)D(2)9若f(x)x22x4ln x，则f (x)>

18、;0的解集为()A(0，) B(1,0)(2，)C(2，) D(1,0)解析：选C法一：令f (x)2x20，利用数轴标根法可解得1x0或x2.又因定义域为x|x>0，故x>2.法二：令f(x)2x2>0，由函数的定义域可排除B，D，取x1代入验证，可排除A，故选C.设函数f(x)若f(a)>f(a)，则实数a的取值范围是()A(1,0)(0,1)B(，1)(1，)C(1,0)(1，)D(，1)(0,1)解析：选C由已知得或即或解得a>1或1<a<0.不等式(x2)0的解集为_解析：或x290，即或x±3，即x3或x3.答案：(，33已知集合

19、AxR|x3|x4|9，BxR|x4t6，t(0，)，则集合AB_.解析：不等式|x3|x4|9等价于或或解不等式组，得A4,5，又由基本不等式，得B2，)，所以AB2,5答案：2,5某公司生产甲、乙两种桶装产品已知生产甲产品1桶需耗A原料1千克、B原料2千克；生产乙产品1桶需耗A原料2千克，B原料1千克每桶甲产品的利润是300元，每桶乙产品的利润是400元公司在生产这两种产品的计划中，要求每天消耗A、B原料都不超过12千克通过合理安排生产计划，从每天生产的甲、乙两种产品中，公司共可获得的最大利润是()A1 800元B2 400元C2 800元 D3 100元思路点拨根据题意，列出线性约束条件

20、及目标函数，作出可行域求其最值解析设生产甲产品x桶，乙产品y桶，每天利润为z元，则z300x400y.作出可行域，如图阴影部分所示作直线300x400y0，向右上平移，过点A时，z300x400y取最大值，由得所以A(4,4)，所以zmax300×4400×42 800.答案C若2m2n<4，则点(m，n)必在()A直线xy20的左下方B直线xy20的右上方C直线x2y20的右上方D直线x2y20的左下方解析：选A由4>2m2n2得，2mn<22，即mn2<0，则点(m，n)在直线xy20的左下方设变量x，y满足约束条件则目标函数z3xy的取值范围是

21、()A. B.C1,6 D.解析：选A不等式组表示的平面区域如图所示，目标函数的几何意义是直线在y轴上截距的相反数，其最大值在点A(2,0)处取得，最小值在点B处取得，即最大值为6，最小值为.已知实数x，y满足若zyax取得最大值时的最优解(x，y)有无数个，则a的值为()A2 B1C0 D1解析：选B依题意，在坐标平面内画出题中的不等式组表示的平面区域，如图所示要使zyax取得最大值时的最优解(x，y)有无数个，则直线zyax必平行于直线yx10，于是有a1.若正数x，y满足x3y5xy，则3x4y的最小值是()A.B.C5 D6思路点拨将已知条件转化为×1，再利用基本不等式求解解

22、析x>0，y>0，由x3y5xy，得×1.3x4y(3x4y)××2×5(当且仅当x2y时取等号 )，3x4y的最小值为5.答案C下列不等式一定成立的是()Alglg x(x0)Bsin x2(xk，kZ)Cx212|x|(xR)D.1(xR)解析：选C取x，则lglg x，故排除A；取x，则sin x1，故排除B；取x0，则1，故排除D.已知向量a(x，1)，b(y1,1)，x，yR，若ab，则txy的最小值是()A4 B5C6 D8解析：选B由ab，得xy1，tt(xy)(xy)12325，当xy时，t取得最小值5.已知直线x2y2分别与

23、x轴、y轴相交于A，B两点，若动点P(a，b)在线段AB上，则ab的最大值为_解析：法一：A(2,0)，B(0,1)且a2b2，aba·2b2，当且仅当a2b，即a1，b时取等号法二：依题意a2b2，a>0，b>0，则a2b2，得1，ab，当且仅当a2b1时取等号答案：某公司购买一批机器投入生产，据市场分析每台机器生产的产品可获得的总利润y(单位：万元)与机器运转时间x(单位：年)的关系为yx218x25(xN*)则当每台机器运转_年时，年平均利润最大，最大值是_万元解析：每台机器运转x年的年平均利润为18，而x>0，故1828，当且仅当x5时，年平均利润最大，最大

24、值为8万元答案：58若函数y2 x图像上存在点(x，y)满足约束条件则实数m的最大值为()A.B1C. D2思路点拨作出可行域，找出y2x与xy30的交点，从图形上直观分析即可解析可行域如图中的阴影部分所示，函数y2x的图像经过可行域上的点，由得即函数y2x的图像与直线xy30的交点坐标为(1,2)，当直线xm经过点(1,2)时，实数m取到最大值为1.答案B已知点P(x，y)的坐标满足条件那么x2y2的取值范围是()A1,4 B1,5C. D.解析：选D作出不等式组所表示的平面区域，如图中的阴影部分所示，显然，原点O到直线2xy20的距离为，此时可得(x2y2)min；点(1,2)到原点O的距

25、离最大，为，此时可得(x2y2)max5.配套课时作业21已知a，bR，下列四个条件中，使a>b成立的必要而不充分的条件是()Aa>b1Ba>b1C|a|>|b| D2a>2b解析：选A由a>ba>b1，但由a>b1不能得出a>b，所以a>b1是a>b成立的必要而不充分条件；由a>b1a>b，但由a>b不能得出a>b1，所以a>b1是a>b成立的充分而不必要条件；易知a>b是|a|>|b|的既不充分也不必要条件；a>b是2a>2b成立的充分必要条件2小王从甲地到乙地往返

26、的时速分别为a和b(a<b)，其全程的平均时速为v，则()Aa<v< BvC.<v< Dv解析：选A设甲、乙两地的距离为S，则从甲地到乙地所需时间为，从乙地到甲地所需时间为，又因为a<b，所以全程的平均速度为v<，>a，即a<v<.3已知a>0，b>0，且2ab4，则的最小值为()A. B4C. D2解析：选C由2ab4，得24，即ab2，又a>0，b>0，所以.当2ab，即b2，a1时，取得最小值.4.已知函数yf(x)的图像如图所示，则不等式f>0的解集为()Ax|x<1 B.C.D.解析：选D

27、由图像可知，当x<2时，f(x)>0，所以由f>0，得<2，解得x<1或x>，即解集为.5若关于x的不等式x2axa3的解集不是空集，则实数a的取值范围是()A2，) B(，6C6,2 D(，62，)解析：选D由已知得方程x2axa30有实数根，即a24(a3)0，故a2或a6.6已知变量x，y满足约束条件若目标函数zyax仅在点(3,0)处取到最大值，则实数a的取值范围为()A(3,5) B.C(1,2) D.解析：选B如图所示，在坐标平面内画出不等式组表示的平面区域及直线yax0，要使目标函数zyax仅在点(3,0)处取到最大值(即直线zyax仅当经过该

28、平面区域内的点(3,0)时，在y轴上的截距才达到最大)，结合图形可知a>.7若不等式|kx4|2的解集为x|1x3，则实数k_.解析：由|kx4|2可得2kx6，所以1x3，所以1，故k2.答案：28设z2xy，其中x，y满足若z的最大值为6，则(1)k的值为_；(2)z的最小值为_解析：在坐标平面内画出题中的不等式组表示的平面区域及直线 2xyz，结合图形分析可知，要使z2xy的最大值是6，直线yk必过直线2xyz与xy0的交点，即必过点(2,2)，于是有k2；平移直线2xy6，当平移到经过该平面区域内的点(2,2)时，相应直线在y轴上的截距达到最小，此时z2xy取得最小值，最小值是z

29、2×(2)22.答案：(1)2(2)29在平面直角坐标系中，不等式组(a>0)表示的平面区域的面积为5，直线mxym0过该平面区域，则m的最大值是_解析：平面区域如图所示，A(a,2a)，B.所以SOAB××aa25，所以a2，即A(2,4)，B(2，1)又mxym0过定点(1,0)，即ymxm，斜率m的最大值为过A点时的值，.答案：10已知函数f(x)(x2)|x2|.(1)若不等式f(x)a在3,1上恒成立，求实数a的取值范围；(2)解不等式f(x)>3x.解：(1)当x3,1时，f(x)(x2)|x2|(x2)(2x)x24.3x1，0x29.于

30、是5x244，即函数f(x)在3,1上的最大值等于4.要使不等式f(x)a在3,1上恒成立，实数a的取值范围是4，)(2)不等式f(x)>3x，即(x2)|x2|3x>0.当x2时，原不等式等价于x243x>0，解得x>4或x<1.又x2，x>4.当x<2时，原不等式等价于4x23x>0，即x23x4<0，解得4<x<1，满足x<2.综上可知，原不等式的解集为x|x>4或4<x<111如图，建立平面直角坐标系xOy，x轴在地平面上，y轴垂直于地平面，单位长度为1千米，某炮位于坐标原点已知炮弹发射后的轨迹在

31、方程ykx(1k2)x2(k0)表示的曲线上，其中k与发射方向有关炮的射程是指炮弹落地点的横坐标(1)求炮的最大射程；(2)设在第一象限有一飞行物(忽略其大小)，其飞行高度为3.2千米，试问它的横坐标a不超过多少时，炮弹可以击中它？请说明理由解：(1)令y0，得kx(1k2)x20，由实际意义和题设条件知x0，k0，故x10，当且仅当k1时取等号所以炮的最大射程为10千米(2)因为a0，所以炮弹可击中目标存在k0，使3.2ka(1k2)a2成立关于k的方程a2k220aka2640有正根判别式(20a)24a2(a264)0a6.所以当a不超过6(千米)时，可击中目标12已知函数f(x)x3a

32、x2bx.(1)若a2b，试问函数f(x)能否在x1处取到极值？若有可能，求出实数a，b的值；否则说明理由(2)若函数f(x)在区间(1,2)，(2,3)内各有一个极值点，试求wa4b的取值范围解：(1)由题意f(x)x2axb，a2b，f(x)x22bxb.若f(x)在x1处取极值，则f(1)12bb0，即b1，此时f(x)x22x1(x1)20，函数f(x)为单调递增函数，这与该函数能在x1处取极值矛盾，该函数不能在x1处取得极值(2)函数f(x)x3ax2bx在区间(1,2)，(2,3)内分别有一个极值点，f(x)x2axb0在(1,2)，(2,3)内分别有一个实根，画出不等式表示的平面

33、区域如图所示，当目标函数wa4b过N(5,6)时，对应的w29；当目标函数wa4b过M(2，3)时，对应的w10.故wa4b的取值范围为(29,10)(推荐时间：50分钟)一、选择题1(2014·四川)若a>b>0，c<d<0，则一定有()A.> B.<C.> D.<答案D解析令a3，b2，c3，d2，则1，1，所以A，B错误；，所以<，所以C错误故选D.2下列不等式一定成立的是()Alg>lg x(x>0)Bsin x2(xk，kZ)Cx212|x|(xR)D.>1(xR)答案C解析应用基本不等式：x，y>

34、;0，(当且仅当xy时取等号)逐个分析，注意基本不等式的应用条件及取等号的条件当x>0时，x22·x·x，所以lglg x(x>0)，故选项A不正确；运用基本不等式时需保证一正二定三相等，而当xk，kZ时，sin x的正负不定，故选项B不正确；由基本不等式可知，选项C正确；当x0时，有1，故选项D不正确3(2013·重庆)关于x的不等式x22ax8a2<0(a>0)的解集为(x1，x2)，且x2x115，则a等于()A. B.C. D.答案A解析由x22ax8a2<0，得(x2a)(x4a)<0，因a>0，所以不等式的解集

35、为(2a,4a)，即x24a，x12a，由x2x115，得4a(2a)15，解得a.4(2014·重庆)若log4(3a4b)log2，则ab的最小值是()A62 B72C64 D74答案D解析由题意得所以又log4(3a4b)log2，所以log4(3a4b)log4ab，所以3a4bab，故1.所以ab(ab)()77274，当且仅当时取等号故选D.5已知变量x，y满足约束条件，则zx2y1的最大值为()A9 B8C7 D6答案B解析约束条件所表示的区域如图，由图可知，当目标函数过A(1,4)时取得最大值，故zx2y1的最大值为12×418.二、填空题6已知f(x)是R上的减函数，A(3，1)，B(0,1)是其图象上两点，则不等式|f(1ln x)|<1的解集是_答案(，e2)解析|f(1ln x)|<1，1<f(1ln x)<1，f(3)<f(1ln x)<f(0)，又f(x)在R上为减函数，0<1ln x<3，1<ln