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1、第五章涡旋动力学基础二、为何要研究涡旋动力学®®：z = Ñ ÙV º 0 （排除个别点），就称此流体1、 流体运动区域中， 若整个区域运动是无旋运动。®®z 只要在一部分区域中 ：= Ñ ÙV ¹ 0 ，有旋运动。在自然界中，出现的流体运动多数是有旋运动。大气运动中，有旋运动也占多数。例：桥墩后的涡旋区；船尾后形成的涡旋，大气中的台风等。2、 因此研究流体涡旋运动有意义：实际意义： 飞机、船后产生的涡旋会消耗动能（不利）。 飞机、船后产生的涡旋会形成阻力。可以想办法涡旋运动以消耗水能，来保护堤

2、坝（有利）。 气旋的形成和变化（与人类生活密切相关）。三、概念复习（准备）1、正压大气与斜压大气2、非均匀加热与斜压大气的产生 3、斜压大气与海（局地环流）的产生（例子）2第五章涡旋动力学基础正压大气：barotropic atmosphere密度的分布只依赖于气压分布的一种理想化的模式大气。在正压大气中，等压面，等密度面和等温面是重合的，因此，在等压面上没有等温线，水平温度梯度为零，热成 为零。在正压大气中，等压面上各点的温度相同，两个等压面之间的厚度也处处相同，等压面彼此是平行的，而且各个等压面上的一样，因此，可以用某一个等压面上的运动状态，代表整层大气的运动状态，这种模式称为正压模式。在

3、实践中，常近似地把 500 百帕等压面当作正压场，用它代表整层大气的情况。由于正压模式处理简单，而且可以改变其中的某些参数使其与斜压大气更接近，因此，正压模式至今仍有效地应用。在低纬大气中，等压面上的等温线很稀疏，此时可用正压大气去近似。在正压大气中，扰动发展的能源主要来自平均运动的动能。斜压大气：baroclinic atmosphere密度的分布既依赖于气压又依赖于气温的大气。与正压大气不同，斜压大气中的等压面、等密度面和等温面是彼此相交的。而且，等压面上的等温线越密集(温度梯度越大)，斜压性越强，反之，等压面上的等温线越稀疏（温度梯度越小），斜压性越弱。因为地转风随高度的变化依赖于两等压

4、面间的平均温度梯度，所以，在斜压大气中才有热成风，有地转风随高度的变化。在大气中斜压性较强的区域，常伴有运动状态的急剧变化或带来强烈的天气变化，例如，大气中的锋面区域。在斜压大气中，天气系统既有水平变化，也有一定的铅直结构，大气的运动状态，在不同高度上不同。因此， 决不能用一个层次的状态来概括整个大气层的情况，而需用多层次的不同情况来分别描写，即用斜压模式。在斜压大气中，扰动发展的能源主要来自大气全势能的。引自百科3第五章涡旋动力学基础§1环流定理一、概念1、涡旋和涡度®®z涡旋：在流体运动区域中，只要在一部分区域中 ：= Ñ ÙV ¹

5、; 0 ，就是有（涡）旋运动。所以涡旋运动是对流体宏观整体运动的一种划分。®®z涡度： 定义为:= Ñ ÙV ,所以它描述流体质点或流体的旋转特征。2、涡度与速度环流®®G = òV · d ll速度环流定义为：（5.6）®（速度V 在封闭曲线上的分量沿封闭曲线的求和）根据线-面积转换公式，速度环流（5.6）又可以变为：®®®®®®G = òV · d l = òò n · (Ñ 

6、17;V )ds = òòz · nds = òòz n ds（5.7）sssl（关系式，形式）dG dsz=微分形式：（5.8）nz®®法向n 上的分量。其中的 n 是涡度矢z 在面元ds（5.7）（5.8） ：环流与涡度的关系。所以速度环流又从另一个角度反映了中的旋转特征。4第五章涡旋动力学基础环流守恒定理二、环流守恒定理： 理想正压流体在有（如重力）作用下，速度环流不随时间变化。下面的任务就是证明这一定理：已知： 理想流体： m = 0 。 正压流体： r = f ( p)密度只与有关。（与之相对的是斜压流体， r =

7、 f ( p,T )密度与和温度关。正压或斜压是描述流体密度分布状态的两种分类。） 有（如重力）： 则F = -ÑF 曲线 l 是封闭的物质线。（它可以合拢、散开、可移动， 但始终由这些物质组成类似于流点的概念。）®®G = òV · d ll证明： 从速度环流的定义出发：®dV®· d (d l )dG = d®®®®dtdt òVòlòV· d=l· d+l则：（5.9）dt(1)dtll(2)可见，使速度环流 G 产生变

8、化 dG ¹ 0（使速度环生度）的dt有：5dG要求证明： dt = 0dG = 0dt第五章涡旋动力学基础 Dt 时间里，速度矢有变化。曲线不断在改变形状。先看(5.9)的0下面先看右边第二项：®®®®VV 2dòVlòVòd l ) =· d= d () = 0（5.11）· (dt2ll这样一来，右边的第二项就没有了，只剩下第一项®，dVdG = d®®®dtdt òVòl· d=· dlldt(1)即：（5.

9、9）l它的含义是： 环流的度=度的环流再看(5.9)的再看第一项：®dV第一项中有，让我们想到了运动方程（N-S 方程）：dt®dV®F= - 1 Ñp +（5.12）（理想流体）rdtF = -ÑF先看（b ），因为：®®·d= - ÑF · d=( ¶F) d l + () · d=( ¶F)dl =dF = 0dn¶F®®®®ò Flòlòlòlòllll

10、82;ldl¶ndn¶l再看(a)：预备知识可以证明：对正压流体：6®ò dV · d ® = -ò 1 Ñp · d ® + ò ® · d ®dtlrlFllll(1)(a)(b)第五章涡旋动力学基础证明： 令： W( p) = ò dp（*）r则有： dW( p) = 1（*）rdp对（*）求梯度： Ñò dp = ÑW( p) = dW (¶p + ¶p ) = dW Ñp =

11、=Ñ 1(*)prrdp ¶x¶ydp这样(a)的为：Ñp · d= - Ñ· d= - ÑW( p) · d= - ( ¶W)d l = - dW = 0®®®1rdpòlòòlòlòlòl-lllr¶l（结论：）记住此结论， 下面要用到综合起来（5.9）式中的两是零了。从而证明了定理。三、亥姆定理（Helmholtz）不做多要求，看书讲。（如右图，的箭头线为涡线，由涡线管壁的流体管道为涡管）四

12、、环流变化定理前面已经讲了速度环流守恒的条件，就是环流守恒定理中的前三个已知条件。换言之，这三个条件中，只要有一个不满足，环流就要发生变化。下面就具体从完整的 N-S 方程出发分析一下哪些会使速度环流发生变化。7®òÑA · d l = 0l- 1 Ñp = -Ñò dp = -ÑW( p)rr第五章涡旋动力学基础对于粘性可压缩流体 N-S 方程为：®dV=- 1 Ñp + n Ñ(Ñ ·) +nÑ®®®VV(4)F(2)2（

13、 2.51 ）r(3)dt(1)3步骤（1） 对 NS 变形(5)（5.17）下面要对（4）（5）项变形，需要用到下面矢量公式：（A）®®®fÑ Ù (j f ) = Ñj Ù+ jÑ Ùf(B)利用公式（A）（B），（5.17）中的第（4）（5）变成：n3®®®4Ñ(Ñ ·V ) +nÑ2 V =nÑD -nÑ Ù z3（2.51 或 5.17）变成：®dV®=- 1 Ñp

14、+n ( 4 ÑD - Ñ Ù z )®F（5.17）rdt3步骤（2） 对 NS 变形对 N-S 方程（5.17）求环量：®dV®G®d®® 1r®4®lzòlò Flòlò· d=l· d-lp · d+n (ÑlD - Ñ Ù) · dÑdtdt3l4n3®òlÑD · d= 0lQ上面环流为：8®dG = &#

15、242;® · d ® - ò 1 Ñp · d ® -n(Ñ Ù z ) · d ®dtFlrlòllll(a) (b)(c)®®®®Ñ2 V = Ñ(Ñ · V) - Ñ Ù Ñ ÙV = ÑD - Ñ Ù z第五章涡旋动力学基础（5.20）可见引起速度环流变化的作用有三个：(a)必须要有非有的作用。（如电磁力，柯氏力）&#

16、236;ï= 0®F=-Ñp非有®®有¹ 0òF· d l = íïîl（例如科氏力： F = -2W ÙV ，则单独看科氏力引起环流变化这一项dG =®®òò· d= -2(W Ù V ) d lFl为：dt这一项的作用和含义会再ll动力气象中详细讲解）(b)-密度力的作用。(c )粘性：粘性可使局部地方的涡度发生扩散。（粘性涡度扩散）。下 面 具体看看-密度 力的 作 用： 1®· d l 线

17、1r®®1r1r®ò rÑpsslß等于零任一物理量的梯®11sòòÙ Ñp) · d= -òò ( r 2 Ñr Ù Ñp) · ds=(Ñ（ ）度再取零恒为r所以： 对斜压、理想流体在有的作用下，环流的变化只有斜压的作用（-密度力）9ò 1 Ñp · d ® = ì= 0正压Ñr Ù Ñp = 0,Ñr与Ñ

18、;p平行rlí ¹ 0斜压Ñr Ù Ñp ¹ 0Ñr与Ñp不平行lî第五章涡旋动力学基础(5.20)斜压、理想流体在有的作用下 ÞÞÞ（5.23）（5.23）又称为定理，它表明密度力引起的速度环流变化，对大气而言，就是大气斜压性的作用，称它为项。（例子：山谷风，海，湖的形成）§ 2涡度方程本节内容： 一、涡度方程的推导二、涡度方程的物理意义三、对涡度方程的进一步讨论一、涡度方程的推导 （涡度方程是一个派生方程）®Ñ Ù 速度 Þ

19、;Þ 涡度z1、推导思路：®d z dtÑ Ù（运动方程，例如N - S方程）ÞÞ 涡度方程= L2、数学准备（工具）： 矢量公式(a)Ñ( f · g) = f Ù (Ñ Ù g) + g Ù (Ñ Ù f ) + ( f · Ñ)g + (g · Ñ) f(b)Ñ Ù ( f Ù g) = (g · Ñ) f - ( f · Ñ)g + (&#

20、209; · g) f - (Ñ · f )gÑ2f = Ñ(Ñ · f ) - Ñ Ù (Ñ Ù f )(c)10dG = -òòÑ( 1 ) Ù Ñp · ds® = òò ( 1 Ñr Ù Ñp) · dsdtrr 2ss®dG = ò® · d ® - ò 1 Ñp ·

21、d ® -n ò (Ñ Ù z ) · d ®dtFlrlllll(a) (b)(c)第五章涡旋动力学基础®®V 2®®(d )(V · Ñ)V = Ñ() -V Ù Ñ ÙV2(e)Ñ Ù Ñj º 0( f )Ñ · Ñ Ù f º 0（ Ñ · z º 0 ）3、具体推导过程： Ñ Ù (N

22、- S方程)®¶Vn®®+（ · Ñ)=- 1 Ñp +nÑ2 V +Ñ(Ñ ·3®®®)VV(2)V(6)Ñ ÙFr¶t(1)(3)(4)(5)且（重力） F = g一项一项看：任一物理量的梯®®¶z=Ñ Ù ¶V度再取零恒为Ñ Ù (1) ÞÞ¶t¶tV 2(d )ùÑ Ù

23、ë(V ·Ñ)V û =Ñ Ù (Ñ-V Ù Ñ Ù V ) = Ñ Ù (-V Ù z )éÑ Ù (2) ÞÞ2(b) = - éë(z ·Ñ)V - (V ·Ñ)z + (Ñ · z )V - (Ñ ·V )z ùû此项º0Ñ Ù g = Ñ Ù

24、; (Ñ(-gz) = 0ßÑ Ù (3) ÞÞÑ Ù é- 1 Ñpù = -Ñ 1 Ù Ñp =Ñr Ù Ñp1Ñ Ù (4) ÞÞêúrrr 2ëûÑ Ù V (Ñ ·V ) - Ñ Ù z = -Ñ Ù Ñ Ù z(C )Ñ 

25、17; (5) ÞÞÑ= Ñ Ù Ñ2(C )=Ñ2 z - Ñ(Ñ · z )= Ñ2 zÑ Ù Ñ(Ñ ·V )= 0Ñ Ù (6) ÞÞ11第五章涡旋动力学基础最后整理得到：涡度方程：（5.28）®®d z dt¶z¶t®®®®®®®1z= -Ñ() Ù 

26、9;p + (z · Ñ)V - z (zÑ ·) +nÑ=+（ · Ñ)VV2r(1)(3)(2)(4)是重力作用下的涡度方程。若正压：则（5.28）中的（1）为零。若理想流体：则（5.28）中的（4）为零。若还有非有，则（5.28）中还要加一项。二、涡度方程各项的物理意义1r 2Ñr Ù Ñp或- Ñ( 1 ) Ù Ñp1、项：r是-密度力引起流体涡度的变化，当是斜压时，它才不为零，所以又称斜压作用项。当流体是斜压时，等密度面与等压面不平行，是斜交的，如图（5.

27、1），在中就了管状分布，称之为。即： 当流体的等密度面与等压面斜交时，以相邻等密度面与相邻等压面为周界，可以一条管道，称之为。当流体正压时，等密度面与等压面平行，不可能。力管零。®®2、散度项： - z (Ñ ·V )12第五章涡旋动力学基础ì > 0 (辐散）ÞÞ z 减少假设z > 0 ， 则 D = Ñ · Víî< 0 （辐合）ÞÞ z 增加例如：溜冰。物理意义：考虑流点有散度（有相对体积变化），则辐散使涡度减少，辐合使涡度增加。®

28、;®3、扭曲项： (z · Ñ)V（涡度矢方向发生扭曲）假设只有扭曲项在涡度方程右边：®¶z¶t®®= (z · Ñ)V它的分量形式是：ì ¶z x¶u + z¶u + z ¶u= zï¶tx¶xy¶y¶v¶y¶w¶yz¶z¶v¶z¶w¶zï ¶z¶vïy= z+ z+ z（#）

29、íxyz¶t¶xï¶z¶w¶xïz = z+ z+ zïîxyz¶t为了看出扭曲项的含义，对流体运动作如下假设：z x = 0,z y = 0,z z ¹ 0u = 0, w = 0, v = v(z),则¶v ¶z ¹ 0,其它切变为零t = t0 ,¶z y¶v ，这样一来，方程（#）变成：= z涡线是直线。如图 5.3。¶tz¶z也就是说，在新的时刻，不仅z z ¹ 0 ，而且z y 从t0

30、 时刻的等于零，变成了z y ¹ 0 ，这样一来，z 的涡线形状就由（z y,z z ）共同决定了， 自然不同于初始时刻的直线型涡线，而是发生了形状的变化（扭®曲），具体变化（扭曲）成什么形状就要看V 场的具体分布了。13第五章涡旋动力学基础®nÑ2 z4、粘性扩散项：®若涡度方程右边中只有这一项： ¶z®= nÑ2 z，这是一个扩散¶t方程，表示物理量随时间的扩散，其作用是使物理量分布趋于均匀化。粘性扩散项的作用：使得流体中的涡度矢分布趋于均匀化。见图 5.4。三、对涡度方程的进一步讨论1、当不考虑流体

31、粘性时，粘性扩散项不出现。2、散度扭曲项对个别流点可引起其涡度变化，但对流体整体而言，这两项引起流体整体涡度的变化。（流体中辐散和辐合共存， 所以其作用也是使涡度重新分布，但不改变整体结果.）(扭曲项的作用也是使涡度重新分配。)3、真正直接引起流点涡度矢变化的是流体的斜压性。四、补充涡度方程和环流定理间的进一步说明环流定理：（5.20）（非有> （斜压作用）（粘性扩散项）14®dG = ò® · d ® - ò 1 Ñp · d ® -n (Ñ Ù z ) · d &#

32、174;dtFlrlòllll(a) (b)(c)第五章涡旋动力学基础涡度方程： （有作用下的涡度方程）（斜压作用） （扭曲项） （散度项）（粘性扩散项）对比看到： 环流定理和涡度方程都是描写大气涡旋运动规律（包括时空变化，以及引起变化的）的，只不过，环流定理是形式，而涡度方程是微分形式。即：对涡度方程进行面积就是环流定理。 在环流定理中不出现扭曲散度项，这两项是迁移变化项，是对运动方程取Ñ Ù 后派生出来的。这说明这两项对流体整体涡度强度的变化无贡献，尽管它们可以使场内运动流点的涡度发生变化。因此说这两项只造成场内涡度的重新分布，而不能使整个场产生涡度或消失涡度

33、。§3涡度场和散度场所确定的速度场一、问题的提出：1、实际中常常遇到只在流场内部某一部分（甚至是一个点）出现涡旋运动，其它部分不。那么这个有涡旋区域会在其它区域15®®d z¶z®®1®®®®®=+（V · Ñ)z = -Ñ() Ù Ñp + (z · Ñ)V - z (Ñ ·V ) +nÑ2 zdt¶tr(1)(3)(2)(4)第五章涡旋动力学基础产生出速度场，叠加到原来的速

34、度场上去，使整个流场发生变化。例如：大气中出现旋风。圆柱后呈现的涡对。为此，要研究根据涡旋场强度来确定所产生出的速度场。本节的讨论中不涉及任何力的作用，所以也不讨论涡旋产生或消失（即随时间变化），只是讨论运动学问题。已知： 在一个很大的流场中内，只有在某个区域t 内有涡旋和散度（为了更普遍些，加上散度的情况），其强度为已知的，而t 外区域则无旋无散。ttD, z¹ 0 ，且已知。即：内：D,z = 0外:求： 上述涡度场和散度场在整个流体空间所产生的速度场，即任一点的速度。2、预备知识：（1） 流场分解成:有旋无散场+无旋有散场相应的, 速度矢的线性分解：旋转风+ 散度风V = Vr

35、+ Vj其中：在t 内：16第五章涡旋动力学基础VrVjÑ Ù Vr = zÑ Ù Vj = 0Ñ ·Vr = 0,Ñ ·Vj = D,满足有旋无辐散条件：满足有辐散无旋条件：（2） 散度与涡度的定义散度 ： D = Ñ · V，含义：体积的流体体积通量。D0： 辐散，该点有向外流的流体体积通量。“源”。D<0： 辐合，流体向该点汇合。“汇”。涡度：z= Ñ Ù V ，含义：面积的速度环流。（z ：面积的涡强。D：体积的源强。）二、确定Vj（散度风）1、分析：速度场与势

36、函数的关系Ñ Ù Vj = 0总可以找到一个函数（称为势函数），使得：Vj = -ÑjQÑ Ù Ñj º 0Ñ · Ñ Ù f º 0(e)( f )（两个矢量运算的恒等式：）D = Ñ ·Vj = Ñ · (-Ñj) = -Ñ2j则：或：（5.36）泊松方程¶ 2¶ 2¶ 2（其中+ += Ñ 2 ，称为三维拉斯算符）¶x 2¶y¶z 2（ 势函

37、数与速度分量： u = - ¶j ， v = - ¶j ,w = - ¶j ）jjj¶x¶y¶z（5.36）显示出速度场与散度场的互求关系：17Ñ 2j = -D第五章涡旋动力学基础 （*）已知散度，则要先求解（5.36）的泊松方程，得到因此，现在已知的散度，则要通过松方程（5.36）得到势函数，从而得到速度场。2、求松方程，得到势函数（1）点源：假如在流体中散度均为零，只有在坐标原点处D ¹ 0 ，此种散度不为零的孤立点称为点源。 若此点 D>0，则为正点源，单位时间内有一定的流量流出。若此点 D<0

38、，则为负点源（或点汇），周围流体流向此点汇集。（2）求松方程（5.36）设 M 点是一个点源，它是对称向外（内）的。dt 是包围 M 的体积元量。见图 SS5-2。P(x,y,z)r把 M 点的坐标记为：M（X，Y，Z），其它点M(X,Y,Z)用（x,y,z）。dt (x, y, z)图 SS5-2 点源由于流体是对称的，则速度在球坐标18下面看如何松方程。w = - ¶j ，求出风场V。j¶zj势函数j 后，再使用势函数与速度分量的关系： u = - ¶j ，v = - ¶j ,j¶xj¶y（*） 已知速度场V ，则做运算： 

39、09; ·V = D ，就得到散度。第五章涡旋动力学基础中可以写成：= - dj(r) rV（5.38）jdrr由于流体是不可压缩的，则从点源中流出的流体应该等于包围该点源的任意曲面上的流体体积通量，即：®®®®®奥高公式òòVj · ds= òòVj · nds =òòòÑ ·Vj dt = òòò Ddt（5.37）sstt（s 是以 r为半径的球的球面。）这是将二重化成三重（面体）后的结果，

40、 若= - dj(r) rV不进行三重转换，而是把（5.38）带入 二重jdrr就有：®®dj(r) rrdj(r)®®òòVj · dss= òòVj · nds = òò -ds = òò -sds·drssr（）n =这个表示对整个球面，由于对称性，所以在某一固定球体的整个球体面上任意处的速度一样， dj(r)只是 r 的函数，dr可以移到号外，从而把求出，如下：®®dj(r) rdj(r)®®r&#

41、242;òVj · dss= òòVj · nds= -òòds = -òòds·drsss（5.39）= - dj(r) òò dsdj(r) dr=- 4pr 2drs（ òò ds 是求球面面积，它等于： 4pr 2 ）s（5.37）和（5.39）是等的，就有：19rdrrrrdrr第五章涡旋动力学基础dj(r) = òòò Ddt- 4pr 2drt（5.40）Þ dj(r) = - 1òò

42、;òDdt4pr 2drt当小体元t 无限缩小时， òòò Ddt ® Ddt = m ，是点源的强度。t（对 5.40 关于 r）Ddt 4pr 14pÞ j(r) =(dt = dXdYdZ, r =(x - X )2 + ( y - Y )2 + (z - Z )2 )D( X ,Y , Z )dXdYdZÞ j(r) =(x - X )2 + ( y - Y )2 + (z - Z )2（5.42）（5.42） 是站在一个点源，从微观的形式它所得到的势函数形式，将它推广到整个流体，在流体中有无数个点源，无数的（5.4

43、2），那么，它们的累积效果就了整体的势函数，如下：（5.45）就是某一体积内由散度场求得的势函数。于是速度：（￥）®Vr三、由涡度场确定（旋转风）20®是有旋无散的部分。满足： Ñ ·V = 0,Ñ Ù V = zVrrr®Vj = -grad 1 òòòD( X ,Y , Z )dXdYdZ4pt(x - X )2 + ( y - Y )2 + (z - Z )2nj(x, y, z) = 1 limåD( X ,Y , Z )dXdYdZ4p n®¥ i=1(x

44、 - X )2 + ( y - Y )2 + (z - Z )2dt ®0= 1 òòòD( X ,Y , Z )dXdYdZ4p t(x - X )2 + ( y - Y )2 + (z - Z )2第五章涡旋动力学基础Ñ · (Ñ Ù q) º 0从矢量公式：得到一个启示，能否找到一个矢量 Ar（称它为矢量位势），使其取后就等于速度矢。即满足：（5.47）Vr = Ñ Ù Ar但是能够满足（5.47）条件的可能有很多，它们彼此间可以差一个Ñf ，如：或Ar ' =

45、 Ar + Ñf代入（5.47）后：Ar ' = Ar - ÑfVr = Ñ Ù Ar = Ñ Ù Ar ' - Ñ Ù (Ñf ) = Ñ Ù Ar '可见， Ar 和 Ar ' 都满足（5.47），不唯一，所以需要加些条件。需要加什么条件呢？下面看一下涡度：z = Ñ Ù V = Ñ Ù Ñ Ù A = Ñ(Ñ · A ) - Ñ2 A（5.49）rr

46、rr（5.49）中若能使Ñ(Ñ · Ar ) = 0 或进一步说，若Ñ · Ar = 0 成立，则（5.49）就变成一个泊松方程了。所以，让Ar 满足：ìÑ Ù Ar = Vrí Ñ · A = 0îr就得到了确定唯一一个 Ar 的泊松方程：Ñ2 A = -z（5.51）r类似上一部分得到势函数的结论，直接写出（5.51）的解：z (,)14pdXdYdZZYXòòòt(,x,)Ayz=r22-+Z-z)+Y(2)-y(X)再由求出。V

47、r = Ñ Ù ArVrz ( X ,Y , Z )dXdYdZ14pV (x, y, z) = Ñ Ù òòòtr(x - X )2 + ( y - Y )2 + (z - Z )2（￥）21第五章涡旋动力学基础四、有旋有散流体所产生的速度场V = Vr + Vj=（￥）+（￥）§4两直线涡旋及其运动作为前节的特例，现研究线状分布的涡度场（定常的）所引起的流体运动速度的空间分布。本节要以下内容：一、一线涡所引起的流体速度场二、一直线涡所引起的流体速度场。（相当于点涡所引起的平面运动）三、n 个点涡所引起的速度场（

48、是二维的）。四、2 个点涡的相互作用。一、一个线涡所引起的流体速度场线涡： 在流场中有一线状分布的涡度场，称它为线涡（旋）。现在假设此线涡是定常的线涡，下面来研究它所引起的流体运动速度的空间分布。22第五章涡旋动力学基础®zZ(X,Y,Z)rPY图 5.5涡线周围的流速X如图 5.5 ，空间有一个涡线，线外为无旋，设涡线无限细的截面积。我们已经得到由涡度场产生的速度场为：（￥）则速度的三个分量由下面行列式计算得到：（5.54）（前面还要加上系数 1/4 p ）x,z y ,z z 是涡度矢z 在三个坐标轴上的分量。可见，若z x,z y ,z z 的形式确定，速度的三个分量就确定了。

49、下面看看z x,z y ,z z 的形式：z线元dl在 XYZ 三个方向的余弦为：23쮶z¶zï i :ò z dt -ò y dt ijkï¶yr¶zr¶¶¶= ﮶z¶zí j :ò x dt -ò z dt¶x¶y¶zï¶zr¶xrzzz﮶z y¶¶z x ò x

50、 dtò y dtò z dtïk : ¶ òdt - ¶ òdt rrrîxryrV (x, y, z) = Ñ Ù 1z ( X ,Y , Z )dXdYdZr4p òòò222t(x - X ) + ( y - Y ) + (z - Z )为 ds ，涡线线元为 dl ，则涡线的小体元为dt = dXdYdZ = ds × dl第五章涡旋动力学基础dX ,dl(cos(dX , dl),dY ,dlcos(dY , dl),dZ dlcos(dZ ,

51、 dl)所以有：（5.55）以前我们已经知道涡度和环流的关系：dG dsz=（5.8）n（ z n 是涡度矢z 在法线方向的分量）。另一方面，本节是线涡，若取截面就是点，成为微观了，所以（5.8）的 dG中就用G 表示了。这样一来，对本节问题就有：Gdsz=称作线涡强度，对于同一线涡取。有了线涡强度的定义（它给出了线涡与环流的关系），（5.55）的三个分量就可以用线涡强度表示如下了：又根据： dt = dXdYdZ = ds × dl（5.56）ÞÞÞ24z dt =GdX dt = GdX ,xdsdlz dt =GdY dt = GdY ,yds d

52、lz dt =GdZ dt = GdZzds dlz= z dX =GdX ,xdldsdlz= z dY =GdY ,ydlds dlz= z dZ =GdZzdlds dl中，涡度矢z 只在法线方向有，即涡度矢z 的大小就是z nz= z dX ,z= z dY ,z= z dZxdlydlzdl第五章涡旋动力学基础ÞÞÞÞÞÞ ÞÞÞï所以 X 方向的速度分量就等于求以下了：éùG¶¶114p êò ¶( )dZ - &

53、#242; ¶ ( )dY úu =（5.57）yrz rë lûlù- 12¶1¶y - Yé( ) =(x - X )2 + ( y - Y )2 + (z - Z )2= -而êú¶y r¶y ëû3r¶ 1z - Z¶x - X1（以及：( ) = -( ) = -,¶z r¶x rr 3r 3从而得到速度的三个分量：（5.58）可以合写成矢量形式：25z= GdX ,xdtz= GdY ,ydtz= GdZ

54、zdtu = G é (Y - y )dZ -( Z - z )dY ù4p êòr 3òr 3úë llûv = G é ( Z - z )dX -( X - x )dZ ù4p êòr 3òr 3úë llûw = G é ( X - x )dY -(Y - y )dX ù4p êòr 3òr 3úë llûì® :( ¶z

55、 z dt - ¶z y dt ) ´ 1ï i¶y ò r¶z ò r4pïï ®¶z¶z1í j :(ò x dt -ò z dt ) ´ï¶zr¶xr4p﮶z y¶¶z1ïk : (òdt -òx dt ) ´ïî¶xr¶yr4p代入 5.54ìGdZGdY&

56、#239;¶dt¶dt1ï u = (¶y ò rdt - ¶z ò rdt ) ´ 4pïïGdXGdZï v = ( ¶dt dt - ¶dt dt ) ´ 1 í¶z òr¶x ò r4pïïGdYGdXﶶ1 ïw = (¶ ò dt dt - ¶ ò dt dt ) ´ pïx

57、ryr4第五章涡旋动力学基础（5.59）i(x - X )dXj( y - Y )dYk(z - Z )dZr Ù dl =（ 注：）（5.59）就是由任意曲线涡旋所决定的速度场。二、直涡线所产生的速度场（是上面的特例）作为以上情况的特例，设涡线是一条沿着 Z 方向的直线，则有：（5.58）（5.60） w = 0为了求出这个，取书上 P138 上图 5.6，将 r 和 dZ 都转化成 R和角度的函数，并认为对某一点R 不变，就通过把（5.61）代入（5.60）后，得到速度三个分量形式： w = 0，（5.62）上面（5.62）就是直线涡旋所引起的流体运动速度的空间分布。看看速度值的

58、大小：26v = G x - X , 2pR2u = - G y - Y2pR 2u = G é (Y - y )dZ ù4p êòr 3úë lûv = - G é ( X - x )dZ ù4p êòr 3úë lûz x, = 0,z y = 0,dX = 0, dY = 0, dZ = dl®Gr Ù dlV = -ò34p lr第五章涡旋动力学基础G24p 2G2pR12= u + v=ÞÞ

59、22;=22VVR 2G则：（5.63）V R = const2p（R 是空间点与直线涡旋的垂直距离）。还可以求出流体运动的流线：dx= dy ÞÞÞ (（5.64）后）ÞÞ (x - X )2 + ( y - Y )2 = constuv可见：直线涡引起的流体运动的流线是以直线涡为圆心的同心圆族。或说，流体绕直线涡旋作平面圆运动。其旋转方向由G 的正负号决定， G > 0 时逆时针转， G < 0 时顺时针转。圆周运动的速度跟 R 成反比，R 越小，速度越大，即越靠近直线涡，流体作圆运动的旋转速度越快。按照（5.63），就有： R

60、 ® 0, V® ¥ ，为了避免这一极限解，将直线涡旋内部想为具有R0 半径的刚体核，认为在刚体核内，速度随 R 的减少而线形地减少，当R ® 0, V® 0 。即：ìïR ³ R0 ,(5.63) 成立íR £ RµVRïî0直线涡旋引起的空间问题，相当于点涡动的平面问题。（与 z 坐标无关）。三、n 个点涡所确定的流场（5.62）的推广）利用上面的第点，现在来讨论 n 条平行直线涡旋问题。根据，这就相当于讨论 n 个点涡所产生的流体平面运动。27第五章涡旋动力学

61、基础对于流体中任一 M（x, y），第 k 个点涡对它所产生的速度，按（5.62）有：G y - YG x - X ,（ u = -， v =（5.62）w = 02p2pR 2R2（5.65）（ ( X k ,Yk ) 为第 k 个点涡旋所在的位置）（ G k是第 k 个点涡旋的强度，可正，可负）（ R =(x - X )2 + ( y - Y是M 点到第k 个点涡的垂直)2kkk距离）情况 1非点涡点那么，n 个点涡在 M 点所产生的速度应该是（M 点是非点涡的点）：情况 2点涡点倘若 M 点正好位于 n 个点涡中的第 j 个点涡的位置上，则其它 n-1个点涡将会使得第 j 个点涡发生运动，其速度同样由（5.66）决定，但要把自身那个点（k=j 点）的作用去掉，为：28视为 n-1 个点涡对系统中第j 个点涡作用所引起的流速变化之和。nnGk Yj - Yk u j = å uk (M ) = å - 2pR2k =1k =1jkk ¹ jk ¹ jv(M ) = ånv (M ) = n GkX