第13讲巧解弦图与面积

1、 才子教育 小学奥数系列第13讲 巧解“弦图”与面积巧点睛方法和技巧三国时期，吴国数学家赵爽在为数学巨著周髀算经注释时，就得用“弦图”对勾股定理作出了严格而简捷的证明。“弦图”是由八个完全一样的直角三角形拼成四个相同的长方形围成的，中间空出一个小下方形，如图所示。“弦图”的特点：（1）小长方形长宽之各=大正方形边长；（2）小长方形长宽之差=小正方形边长。根据“弦图”中大、小正方形与长方形的关系，我们可以得到一些面积问题的解题思路。巧指导例题精讲A级 冲刺名校基础点睛【例1】 如右图，正方形与阴影长方形的边分别平行，正方形边长为10，阴影长方形的面积为6，那么图中四边形ABCD的面积是 。解 由

2、题给条件“正方形与阴影长方形的边分别平行”（或直观上观察）知，正方形四角处的四个四边形都为长方形，而四边形ABCD的各边都分别平分这四个长方形，所以，四边形ABCD的面积=四角处四个长方形面积和的一半+6=（1010-6）2+6=47+6=53。做一做1 四个一样的长方形和一个小正方形拼成了一个大正方形（如右图），大正方形的面积是49平方米，小正方形的面积是4平方米。问：长方形的短边是几米？【例2】如图1，有一大一小两个正方形，对应边之间的距离都是1厘米。如果夹在两正方形之间的面积是12平方厘米，那么大正方形的面积是多少？分析 要求出大正方形的面积，只要先求出大正方形或小正方形的边长即可。图1

3、下面设法求这两个量中的某个量。图2与图1有类似之处，添辅助线将图1变成图2，就成了一人“弦图”。图2中小正方形外围的四个长方形的形状和面积都一样，这样其中一个的面积为124=3（厘米2）。又因为这个长方形的宽为1厘米，所以长方形的长为31=3（厘米）。大正方形的边长为4厘米，这样就可以求出面积了。解法1 一个长方形的面积：124=3（厘米2），长方形的长：31=3（厘米），图2大下正方形的边长：3+1=4（厘米），大正方形的面积：44=16（厘米2）。采用与解法1类似的想法还可以找到下面的一此解法。解法2 添辅助线，将图2变成图3，先求出图3中长方形A的面积。因为大正方形四角都是边长为1厘米的

4、正方形，而剩下的四个长方形的形状和面积都一样，所以A的面积为AA图3（12-14）4=2（厘米2）又因为长方形A的宽为1厘米，它的长为21=2（厘米），所以大正方形的为12+22=16（厘米2）解法3 添辅助线，将图2变为图4。图4中4个梯形的形状和面积都一样，所以每个梯形的面积为124=3（厘米2）。图4梯形面积等于上、下底之和乘以高再除以2，每个梯形上、下底（即大、小正方形的两个边长）之和为321=6（厘米），而大、小正方形的边长差为2厘米，所以大正方形的边长为4厘米。大正方形的面积为44=16（厘米2）。解法4 适当移动小正方形后，再添辅助线，将图2变为图5。因图5中两个梯形的面积与形状

5、都一样，所以一个梯形的面积为122=6（厘米2）。和解法3类似，可求出梯形上、图5下底之和与差分别为6厘米和2厘米。故梯形的上底（即大正方形的边长）为4厘米，大正文武有的面积为44=16（厘米2）。答：大正方形的面积是16平方厘米。小结 以上解法各有千秋，你还有其他的解法吗？做一做2 计划修一个正方形的花坛，并在花坛的周围铺上宽2米的草坪，草坪的面积是40平方米，问：修建花坛需占地多少平方米？【例3】 2002年在北京如开了国际数学家大会，大会会标如图所示，它是由四个相同的直角三角形拼成的（直角边长为2和3）。问：大正方形的面积是多少？解 一个直角三角形的面积为32=3。中间空出来的一块恰好是

6、正方形，它的边长为3-2=1。所以，大正方形的面积为34+11=13。小结 利用此图可以作出极具中国特色的勾股定理证明。设直角三角形的两条直角边分别为a和b（ab，勾和股），斜边为c（弦），则4个直角三角形的面积等于4ab=2 ab，中间小正方形的边长为a-b，从而有c2=2ab+（a-b）2，c2=a2+b2。这就是著名的勾股定理：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。做一做3 如图，如果长方形ABCD的面积是56平方厘米，那么四边形MNPQ的面积是多少平方厘米？【例4】同样大小的22个小纸片摆成如图所示的图形，已知小纸片的长是18厘米，求图中阴影部分的面积之和。分析与解 仔细观察图形，

7、可发现中间三个图形的形状一样，且小长方形的长与宽之和愉好是大正方形的边长。由于5个小纸片的长等于3个小纸片的长加上3个小纸片的宽，所以3个小纸片的宽等于2个小纸片的长。每个小纸片的长为18厘米，所以3个小纸片的宽为36厘米，每个小纸片的宽为12厘米。一个阴影小正方形的边长等于箍方形长与宽的差，即小正方形的边长为18-12=6（厘米）。因此，一个阴影小正方形的面积为66=36（厘米2），3个阴影部分的面积之和为363=108（厘米2）答：图中阴影部分的面积之和为108平方厘米。做一做4 38个长为4厘米的小纸片摆成如右图的所示的图形。求图中阴影部分面积的和。B级 培优竞赛更上层楼【例5】从一个正

8、方形的木板上锯下宽0.5米的一个长方形木条后，剩下的长方形的面积为5平方米。问：锯下的长方形的面积等于多少？分析与解 先瘵题目中的已知条件画成图1同，我们先看图1中下面剩下的那个长方形已知它的面积等于5平方，它的长与宽的差为0.5米。根据“弦图”的启示，我们可以将这样形状的四个长方形拼成一个如图2那样的“弦图”。图2是一个正方形，它的边长等于长方形的长与宽之和。中间那个小正方形的这长等于长方形长与宽之差，即等于0.5米。这样，小正方形的面积为0.50.5=0.25（米2）那么，大正方形的面积为（54+0.25）=20.25（米2）所以，大正方形的边为为4.5米，即长与宽的和为4.5米。而长与宽

9、的差为0.5米，又已知公式：（和+差）2=大数，根据这两个公式中的任一个，可求出长方形的长。原正方形的边长为（4.5+0.5）2=2.5（米）锯下的小长方形木条的面积为2.50.5=1.25（米2）答：锯下的小长方形木条的面积为1.25平方米。做一做5 做一块正方形玻璃上裁下宽为16分米的一个长方形条后，剩下的那块长方形面积为336平方分米。求：原正方形的面积是多少平方分米？【例6】 在下图的长方形内，有四对正方形（符号相同的两个正方形为一对），每一对都是相同的正方形，那么中间正方形的面积是多少？分析与解 观察图形知：大长方形的宽是两个正方形一、二的边长之和国；大长方形的长是正方形地、二、三的

10、三边之和。长-宽=15-11=4是正方形三的边长，宽是两个正方形三与中间小正方形的边之和，可以求出中间小正方形的边长为11-42=3，最后求出面积。长-宽=15-11=4，中间正方形的边长为11-42=3，中间正方形的面积为33=9。答：中间正方形的面积为9。做一做6 如右图，一个长方形的纸盒内，放着9张正方形的纸片，其中正方形A和B的边长分别为4和7，那么长方形（纸盒）的面积是多少？C级（选学）决胜总决赛勇夺冠军【例7】 用尺寸为99的正方形纸片一张，剪成34和25的两种长方形。为使余料最少，那么，应剪成多少个34的长方形？分析与解 列表枚举，可得 剪法编号34长方形的个数25长方形的个数余

11、 料160925213433434552576169从上表中知第2种剪法的余料为1（最少）。借助弦图的知识，剪法如右上图所示。做一做7 一张长14厘米、宽11的长方形纸片，最多能剪出多少个长4厘米、宽1厘米的纸条？怎样剪？请画图说明。巧练习温故知新（十三）A级 冲刺名校基础点睛123456789101112131415161718192021222324251.一张55的方络纸，每个方格都编了号码（如右图）。挖去一个方格后，可以剪成8个13的长方形，那么应挖去的方格是编号是几？2.用同样的长方形条砖，在一丛花的周围镶成一个正方形边框（见右图）。边框的外周长为264厘米，里面小正方形的面积为90

12、0平方厘米。问：每块长方形条砖的长与宽各是多少厘米？3.大、小两个长方形摆成如右图所示的形状，小长方形的长是宽的2倍。如果大、小两个长方形对应边之间的距离是1厘米，夹在大、小两个长方形之间那部分图形的面积是40厘米，那么大、小长方形的面积各是多少平方厘米？4.一个直角三角形斜边长为9，两直角边之差为1，求这个直角三角形的面积。5.如右图，正方形与阴影长方形的边分别平行，正方形边长为10，阴影长方形的面积为6，那么图中四边形ABCD的面积是多少？B级 培优竞赛更上层楼6.已知右图所示的长方形是由若干个相同的长方形拼成的，它的长比宽多30厘米。求阴影小正方形的总周长。7.用6张大小不同的小正方形纸

13、片拼成如右图所示的图形。已知最小的正方形面积是1，问：图中红色正方形的面积是多少？8.如右图，四边形ABCD与四边形DEFG是边长分别为3和5的下文形，且G在BA的延长线上。求 CDE的面积是多少？9.如图，一张边长为20厘米的正方形纸片，从顶点起5厘米处，沿45O角剪开，中间形成一个小正方形。问：小正方形的面积是多少平方厘米？A10.如图，P是正方形ABCD外面一点，PB=12厘米， APB的面积是90平方厘米， CPB的面积是48平方厘米。请问：正方形ABCD的面积是多少平方厘米？BBCPC级 （选学）决胜总决赛勇夺冠军8厘米A11.如右图，一个直角三角形的周长为18厘米，斜边长为8厘米，求它的面积。CB12