九无穷级数(14)节习题及答案

1、九无穷级数（一）常数项级数的概念及性质1. 判定下列级数的收敛性：(1) ; (2) ; (3) ; (4) ;(5) ; (6) 解：（1），则，级数发散。（2）由于，因此原级数是调和级数去掉前面三项所得的级数，而在一个级数中增加或删去有限项不改变级数的敛散性，所以原级数发散。（3），则，级数发散。（4）因而不存在，级数发散。（5）级数通项为，由于，不满足级数收敛的必要条件，原级数发散。（6）级数通项为，而不存在，级数发散。2. 判别下列级数的收敛性，若收敛则求其和：(1) ； (2) ;(3) ; (4) 解：（1）因为所以该级数的和为即（2）由于，则所以该级数的和为即（3）级数的通项为，

2、由于，不满足级数收敛的必要条件，所以原级数发散。（4）由于因而不存在，原级数发散。（二）常数项级数审敛法1. 判定下列正项级数的敛散性：(1) ; (2) ； (3) (a0); (4) ；(5) ; (6) ；(7) ; (8) 解：（1）由于，而级数收敛，由比较判别法知收敛。（2）因为，而p-级数收敛，由比较判别法的极限形式知收敛。（3）若，通项，级数显然发散；若，有，不满足级数收敛的必要条件，级数发散；若，有，而级数收敛，由比较判别法知收敛。（4）通项，则，所以由比值判别法知，级数发散。（5）通项，则，所以由比值判别法知，级数发散。（6）通项，则，所以由比值判别法知，级数收敛。（7）通项

3、，则，所以由根值判别法知，级数收敛。（8）由于，而级数收敛，由比较判别法推论知级数收敛。2. 判定下列级数是否收敛，如果是收敛级数，指出其是绝对收敛还是条件收敛：(1) ; (2) ; (3) ；;() ; （5）； (6) ;(7) ; （8）解：（1）这是一个交错级数，,且，由莱布尼兹判别法知收敛但发散，故条件收敛。（2）由于，而级数收敛，所以收敛，故绝对收敛。（2），由，知级数收敛，故绝对收敛。（4）由于，而级数收敛，所以收敛，故绝对收敛。（5）1）对于级数，由，知级数绝对收敛，易知条件收敛，故条件收敛。（6）当n充分大时，除去级数前面有限项，这是一个交错级数，,且有，由莱布尼兹判别法知

4、收敛但发散（），故条件收敛。（7）由于，而级数收敛，所以收敛，故绝对收敛。（8）记，而发散，故发散，令，当时，故在区间内单调增加，由此可知，又，故收敛，但非绝对收敛，即为条件收敛。（三）幂级数1. 求下列幂级数的收敛域：(1) ； (2) ；(3) ； (4) (5) ； (6) 解：（1）因为，故收敛半径当时，原级数显然发散。因此，原级数的收敛域为。（2）因为，故收敛半径。当时，原级数为，由于，即，级数不满足级数收敛的必要条件，因此原级数发散；当时，原级数为，同样不满足级数收敛的必要条件，原级数发散。因此，原级数的收敛域为。（3）因为，故收敛半径。当时，原级数为，此时原级数收敛；当时，原级数

5、为，此时原级数收敛。因此，原级数的收敛域为。（4）令，则，于是，当，即时，原级数绝对收敛；当，即时，原级数发散；故原级数收敛半径为。当时，原级数为，此时原级数收敛；当时，原级数为，此时原级数收敛。因此，原级数的收敛域为。（5）因为，故收敛半径。当时，原级数为，此时原级数发散；当时，原级数为，此时原级数收敛。因此，原级数的收敛域为。（6）因为，故收敛半径。当时，原级数为，此时原级数发散；当时，原级数为，此时原级数收敛。因此，原级数的收敛域为。2. 求下列幂级数的和函数：(1) ； (2) 解：（1）所给幂级数收敛半径为，收敛区间为。因为，在区间内成立，则所以。（2）3. 求下列级数的和：(1) ； (2) 解：（1）由于则。所以（2）因为所以。（四）函数展开成幂级数1. 将下列函数展开成x的幂级数： (1) ； (2)