第2章平面体系的几何组成分析

1、第第2章章 平面体系的几何平面体系的几何构造构造分析分析 几何组成分析几何构造分析机动分析 2.1 概概 述述几何不变体系 假定体系由刚体组成，则体系的几何形状不变 （外因和内部条件确定 形状变化确定） 几何可变体系 假定体系由刚体组成，体系的几何形状仍可变 几何构造分析的任务就是从几何学的角度，来判定平面体系几何形状的可变性或机动性，因此有时又称几何组成分析或机动分析。掌握了几何构造分析的规律，便可论证与某平面体系对应的结构方案是否成立，以免平面体系在成为“工程结构”之前“先天不足”。2.2 几个重要的概念几个重要的概念1.刚片：平面体系中不变形的刚体称为刚片（a）直杆（b）曲杆（c）折杆(

2、d）多根杆构成的组合体2 .自由度 自由度 体系独立运动方式的个数 体系定位所需独立参数 或 坐标 的个数 几何不变体系：自由度0 几何可变体系：自由度0 平面内一个质点：自由度2（图a） 平面内一个刚片：自由度3（图b） 图2-2Oxyxy(a)Oxyxy(b)AB 3. 约束 约束（或联系 ） 减少自由度的装置 约束数自由度减少的个数一链杆连接两刚片(图a)， 自由度5 一单铰连接两刚片 (图b)，自由度4一单刚结点连接两刚片 (图c)，自由度3 1个链杆 1个约束 1个单铰 2个约束 1个单刚结点 3个约束 Oxyxy(a)(a)Oxyxy(b)(b)Oxy(c)(c)推论： 1个单铰2

3、个链杆（连接相同的两个刚片） 1个单刚结点3根链杆（连接相同的两个刚片）复铰和复刚结点（图a、b） 连接 n个刚片的复铰 (n2) (n -1) 个单铰 2(n -1) 个约束 连接 n个刚片的复刚结点 (n2) (n -1) 个单刚结点 3(n -1) 个约束(a)复铰(a)复刚节点4. 平面体系的计算自由度平面体系的计算自由度 设某体系共有m个刚片，h个单铰(复铰可换算为单铰)和r根链杆(包括刚片之间的链杆，以及刚片与地基之间的支座链杆简称支杆)。则该体系的总自由度为3m，单铰及链杆所减少的自由度为(2h+r),体系剩余的自由度为： W=3m-(2h+r)2.3几何不变体系的判定规则几何不

4、变体系的判定规则2.3.1 三刚片规则三刚片规则三个刚片之间用三个不在同一直线上的铰两三个刚片之间用三个不在同一直线上的铰两两相连，构成没有多余约束的几何不变体系两相连，构成没有多余约束的几何不变体系ABCACBABC铰结点链杆1链杆2ACB12354（a）三刚片规则示意（b）“二元体”装置 2.3.2 二元体规则所谓“二元体”是指由两根不共线的链杆连接一个新结点的装置。在某刚片上增加二元体后的体系为几何不变且无多余约束推断：在某体系上增加或拆除若干对二元体，并不改变原体系的几何构造性质（不变或可变）2.3.3 两刚片规则 两个刚片之间用一个铰和一根不通过该铰的链杆（含其延长线）相连，构成无多

5、余约束的几何不变体系。两刚片规则也可表述为： 两个刚片之间用三根既不互相平行，也不交于一点（含延长线）的链杆相连，构成无多余约束的几何不变体系。2.4 瞬变及常变体系瞬变及常变体系几何瞬变 :经微小位移后可转变为几何不变的“暂时可变体系”称为瞬变体系常变体系:三根链杆互相平行且等长,两刚片可继续相对运动，属常变体系Ao2.5 几何构造分析应用示例几何构造分析应用示例例2-2 试对图2.12a所示体系进行几何构造分析。BCDEFABCDEABCDEA分析：DEB与AD通过铰D相连，AD与地基通过铰A相连，DEB通过两个连杆形成的虚铰与地基相连，此三铰不共线，故为无多余约束的几何不变体系。图2.1

6、2a例 2-3 试对图2.13a所示体系进行几何构造分析ABCFGHKDE分析：将ABH看做一个钢片，将BCK看做一个钢片，将DEA看做一个钢片。其中，钢片ABH通过A铰相连，钢片BCK通过B铰与钢片ABH相连，钢片BCH与钢片DAE相连，三铰共线，故原体系为几何瞬变。图2.13（a）(b)例2-4 试对图2.14a所示体系进行几何构造分析。AFBCEDAFEDCBAB图2.14分析：先去二元体，将DFE看做二元体，将BEC看做二元体，可先去掉，剩下拱AB体系几何不变且有一个多余约束。(a)例2-5 试对图2.15a所示体系进行几何构造分析。DACBDFGGDFGFGEFGooHHHEACBD

7、FEAQ( , )BP( , )( , )CE图2.15（a）(b)(c)分析分析：将DF看做钢片，将BEC看做钢片，钢片DF与钢片BEC通过虚铰P相连，钢片DF通过虚铰Q与地基相连，钢片BEC通过虚铰C与地基相连，三铰不共线，因此原体系为无多余约束的几何不变体系。2.6 虚铰在无穷远处的几何构造分析虚铰在无穷远处的几何构造分析 一个虚铰在无穷远处 （a）不互相平行（b）平行且不等长 （c）平行且等长由两刚片规则可知，当等效链杆3与平行链杆1、2不平行时，刚片、之间的连接满足两刚片规则，为几何不变体系；若平行且三者不等长（图2.16b），则为瞬变体系；若平行且等长则为常变体系（图2.16c）。

8、图2.16 两个虚铰在无穷远处两个虚铰在无穷远处（1）一组同方向的平行直线相交于同一个无穷远点；不同方向的平行直线相交于不同的无穷远点。（2）平面上的所有无穷远点均位于同一条直线上，该直线称为无穷远线（任何有限远点均不在该直线上）。射影几何学射影几何学三个虚铰在无穷三个虚铰在无穷远处远处三个刚片之间由三对平行链杆相连，在无穷远处的三个虚铰位于同一条无穷远线上，属三铰共线的情况。123（a）平行而不等长（b）平行且等长（同侧相连）（c）平行且等长（异侧相连）（a）若三对平行链杆长度不等，则相对运动后不再平行，原体系为几何瞬变。（b）若三对平行链杆各自等长（图2.18b），则运动后仍保持平行，为几

9、何常变体系。（c）若三对平行链杆各自等长且在异侧相连（图2.18c），则运动后异侧相连的平行链杆不再平行，体系为几何瞬变。图2.18例2-6 解法一 刚片、见图。三个虚铰共线， 几何可变（瞬变）。解法二 刚片、 见图2.16b，三个虚铰是三个不同的无穷远点。射影几何：所有无穷远点共线。 瞬变。顺藤摸瓜(a)( ),( ),( ),(b)( ),( ),( ),图2.16几何不变体系，且有一个多余约束。几何不变体系，且有一个多余约束。例例ABCABCDEABC几何不变体系，且无多余约束。几何不变体系，且无多余约束。例例DEABC解解解解例题与习题例题与习题可变体系，少一个约束可变体系，少一个约束

10、去掉二元体去掉二元体 从从A点开始，依点开始，依次去掉二元体。次去掉二元体。几何不变体系，几何不变体系，且无多余约束。且无多余约束。A例例解解例例解解从地基开始，依次增从地基开始，依次增加二元体加二元体AEF、ADE、FCE、CBF。 按增加二元体顺序，多余按增加二元体顺序，多余约束可以是约束可以是AB、BC、CD、DE、EF中的任意一个。中的任意一个。几何不变体系，几何不变体系，AB为为一个多余约束。一个多余约束。例例FABCDE去掉一个多余约束去掉一个多余约束例例去掉一个必要约束。去掉一个必要约束。 多余约束的个数是一多余约束的个数是一定的，位置不一定，但定的，位置不一定，但也不是任意的。

11、也不是任意的。解解解解去掉与地基的约束。去掉与地基的约束。去掉二元体。去掉二元体。 缺约束的个数是一定的，位缺约束的个数是一定的，位置不一定，但也不是任意的。置不一定，但也不是任意的。几何可变体系，缺几何可变体系，缺2个个约束。约束。例例解解例例几何不变体系，缺一个几何不变体系，缺一个必要约束，多一个多余必要约束，多一个多余约束。约束。去掉二元体去掉二元体解解可变体系，可变体系，少一个约束。少一个约束。去掉二元体。去掉二元体。例例解解去掉二元体。去掉二元体。从从A点开始增加二元体。点开始增加二元体。AA解解例例 几何不变体系几何不变体系,没有多余约束。没有多余约束。从从C、D两点开始增两点开始

12、增加二元体。加二元体。 几何不变几何不变, 有有1个个多余约束。多余约束。BDAC解解例例 几何不变体系几何不变体系, 有有1个多余约束。个多余约束。折杆可以看成连接折杆可以看成连接两个端点的支链杆。两个端点的支链杆。从上面去掉两个二从上面去掉两个二元体。元体。例例解解折杆可以看成连接两折杆可以看成连接两个端点的支链杆。个端点的支链杆。A、B、C依次去掉二依次去掉二元体。元体。几何不变体系几何不变体系, 没有多余没有多余约束。约束。ABC几何可变，少几何可变，少2个约束。个约束。ABC去掉去掉A、C两个两个二元体。二元体。解解例例解解例例 AB、AC看成加到地看成加到地基上的二元体。基上的二元

13、体。 刚片刚片DEF与地基用三与地基用三根支链杆相连。根支链杆相连。 几何不变体系，几何不变体系，且没有多余约束。且没有多余约束。DEFACBDEF解解例例 几何不变体系几何不变体系, 有一个多余约束。有一个多余约束。 几何不变体系几何不变体系, 无多余约束。无多余约束。去掉与地基的连接，去掉与地基的连接，只考虑上部体系只考虑上部体系去掉与地基的连接，去掉与地基的连接，只考虑上部体系只考虑上部体系167891052436789105243解解例例解解例例 几何不变体系，且几何不变体系，且没有多余约束。没有多余约束。 几何不变体系，几何不变体系，且没有多余约束。且没有多余约束。去掉与地基的连接，

14、去掉与地基的连接，只考虑上部体系只考虑上部体系去掉与地基的连接，去掉与地基的连接，只考虑上部体系只考虑上部体系解解例例解解例例去掉与地基的连接，去掉与地基的连接，只考虑上部体系只考虑上部体系. 增加二元体。增加二元体。 几何不变几何不变, 有多一个有多一个与地基相连的约束。与地基相连的约束。 几何不变几何不变, 有有4个多个多余约束。余约束。解解例例解解例例 几何不变体系几何不变体系, 且有一个多余约束。且有一个多余约束。去掉二元体。去掉二元体。解解例例 几何不变体系，有几何不变体系，有1个多余约束。个多余约束。将折杆画成直杆；将折杆画成直杆；将将画成画成 几何不变体系，几何不变体系，没有多余

15、约束。没有多余约束。解解例例解解例例几何不变体系几何不变体系, 有有一个多余约束。一个多余约束。从两边去掉从两边去掉二元体二元体几何不变体系几何不变体系, 没没有多余约束。有多余约束。ABCDGFE从从G点开始依次增点开始依次增加二元体加二元体,最后判断平最后判断平行支链杆只需行支链杆只需1根。根。解解例例解解例例几何可变体系，少几何可变体系，少1个约个约束。束。 几何可变体系，几何可变体系，少少1个约束个约束解解例例解解例例从基础开始增从基础开始增加杆件。加杆件。 几何不变体系几何不变体系, 没有没有多余约束。多余约束。解解例例 几何不变体系，有几何不变体系，有4个多余约束个多余约束解解例例

16、 几何不变体系，几何不变体系，且没有多余约束且没有多余约束瞬变体系瞬变体系, 无多余约束。无多余约束。将折杆画成直杆将折杆画成直杆去掉二元体去掉二元体去掉二元体去掉二元体解解例例解解例例几何不变体系且没几何不变体系且没有多余约束。有多余约束。几何不变体系且几何不变体系且没有多余约束。没有多余约束。(1.2)(1.3)(2.3)三杆延长线交于一点，三杆延长线交于一点，瞬变体系：瞬变体系：习题习题习题习题习题习题 三杆平行且等长，三杆平行且等长，几何可变体系几何可变体系 几何不变体系，几何不变体系，且没有多余约束。且没有多余约束。习题习题习题习题去掉与地基之间的连接。去掉与地基之间的连接。上部结构

17、为上部结构为9根杆，根杆，3根根为为 刚片，刚片，6根为约束。根为约束。 几何不变体系几何不变体系, 没有多余约束。没有多余约束。习题习题习题习题 几何不变体系几何不变体系, 没有多没有多余约束。余约束。去掉与地基之间的连接。去掉与地基之间的连接。上部结构为上部结构为9根杆，根杆，3根根为为 刚片，刚片，6根为约束。根为约束。几何不变体系几何不变体系, 没有多余约束。没有多余约束。习题习题去掉与地基之间的连接。去掉与地基之间的连接。将将1个三角形和个三角形和2根杆件根杆件 看成刚片。看成刚片。习题习题加上地基共有加上地基共有9个刚片个刚片瞬变体系。瞬变体系。 有一个多余约束有一个多余约束的刚片。的刚片。 几何瞬变体系，几何瞬变体系，有有1个多余约束个多余约束习题习题三根支链杆