投资学第七章

1、INVESTMENTS | BODIE, KANE, MARCUSCopyright 2011 by The McGraw-Hill Companies, Inc. All rights reserved.McGraw-Hill/Irwin第七章最优风险资产组合INVESTMENTS | BODIE, KANE, MARCUS7-2投资决策 决策过程可以划分为自上而下的3步: 风险资产与无风险资产之间的资本配置 各类资产间的配置 每类资产内部的证券选择INVESTMENTS | BODIE, KANE, MARCUS7-3分散化与组合风险 市场风险(market risk) 系统性风险(sys

2、tematic risk)或不可分散风险(diversifiable risk) 宏观经济的变动，监管政策的变动(印花税调整)， 公司特有风险(firm-specific risk) 可分散风险或非系统风险 重庆啤酒乙肝疫苗研发结果INVESTMENTS | BODIE, KANE, MARCUS7-4图7.1 组合风险关于股票数量的函数INVESTMENTS | BODIE, KANE, MARCUS7-5风险分散 左图：如果所有风险都是公司特有的，那么我们可以通过完全的分散化投资将组合风险降到0(大数定律)，但是这是不可能的。(反直观) 右图：存在市场风险时，即使完全的分散化也不能消除风险

3、。学术界的实证结果支持了这幅图的观察：纽约证券交易所的数据表明：组合收益的标准差随着证券数量的增多由49.2%最终降到了19.2%INVESTMENTS | BODIE, KANE, MARCUS7-6图 7.2 组合分散化INVESTMENTS | BODIE, KANE, MARCUS7-7协方差和相关性 投资组合的风险取决于投资各组合中资产收益率的相关性。 协方差和相关系数提供了衡量两种资产收益变化的方式。INVESTMENTS | BODIE, KANE, MARCUS7-8两个资产构成的资产组合: 收益()()()pDDEEE rw E rw E r Portfolio Return

4、 Bond Weight Bond Return Equity Weight Equity Return pDEDEPDDEErrwrwrwwrr债券的权重债券的收益率股票的权重股票的收益率资产组合的收益率INVESTMENTS | BODIE, KANE, MARCUS7-9 = 基金D的方差 = 基金E的方差 = 基金D和基金E收益率的协方差两个资产构成的资产组合: 风险EDEDEEDDrrCovwwww,222222p2E2DEDrrCov,INVESTMENTS | BODIE, KANE, MARCUS7-10两个资产构成的资产组合: 风险 组合方差的另一种表达方式: 可以看到，如果

5、协方差为负，那么组合方如果协方差为负，那么组合方差会降低差会降低。所以投资负相关的资产是分散化投资的一个重要原则。比如说中石油和南方航空就可以认为是负相关(受油价的影响不同)。2(,)(,)2(,)PDDDDEEEEDEDEw w Cov rrw w Cov r rw w Cov rrINVESTMENTS | BODIE, KANE, MARCUS7-11 D,E = 收益率的相关系数 Cov(rD,rE) = DE D E D = 基金D收益率的标准差 E = 基金E收益率的标准差协方差INVESTMENTS | BODIE, KANE, MARCUS7-12 值的范围 + 1.0 -1.

6、0如果 = 1.0, 资产间完全正相关如果 = - 1.0, 资产间完全负相关相关系数: 可能的值INVESTMENTS | BODIE, KANE, MARCUS7-13相关系数: 可能的值 的证明： 由于 所以关于 的一元二次函数的最小值应该 ，于是有： 也就是 。| 1222()20XYXYVar XtYtt t02222224404YXYXY 210INVESTMENTS | BODIE, KANE, MARCUS7-14相关系数的影响:其他条件不变时 因为 当 DE = 1, 组合方差最大， 当 DE = -1, 完全对冲，组合方差最小。 进一步，此时若想完全对冲，令组合方差=0，则

7、DDEEPwwDEDDEww122()pDDEEww222222PEEDDEDEDwww w INVESTMENTS | BODIE, KANE, MARCUS7-15最小方差对应的最优权重 将 带入上式，我们有： 显然，组合的最小方差为： 对应的最优权重为： 可以看到，当 =1时，组合方差可以减小到0。 222222PEEDDEDEDwww w 1EDww 2222EEDDDEEDw 222222(2)( 22)PDDEEDDEEDEww 222222(1)2DEPDEED |INVESTMENTS | BODIE, KANE, MARCUS7-16最小方差对应的最优权重 由 及 可以看到：

8、 若 ，则取 可以使得组合方差=0，这个权重可能大于1（如果 或者 ，但是后者一般不会发生），这意味着卖空股票。 若 ，则取 可以使得组合方差=0。 222222(1)2DEPDEED 2222EEDDDEEDw 1|EDEDw1 ED2DEEDEDwINVESTMENTS | BODIE, KANE, MARCUS7-17图7.4 组合标准差关于投资比例的函数INVESTMENTS | BODIE, KANE, MARCUS7-18最小方差组合 最小方差组合由具有最小标准差的风险资产组成，这一组合的风险最低。（求解一个简单的优化问题得到相应的权重在前文中，等价于求解一个一元二次方程。） 当相

9、关系数小于 +1时， 资产组合的标准差可能小于任何单个组合资产。 当相关系数是 -1时， 最小方差组合的标准差是0.INVESTMENTS | BODIE, KANE, MARCUS7-19组合方差与期望收益的关系 由于权重 与组合的期望收益 之间有如下的线性关系： ，我们也能容易地将组合方差 表示成组合收益 的一元二次函数。 具体推导留作课后练习。 DwPE rEPDEDE rE rwE rE r2PPE rINVESTMENTS | BODIE, KANE, MARCUS7-20图 7.5 组合期望收益关于标准差的函数 INVESTMENTS | BODIE, KANE, MARCUS7-

10、21图 7.5 组合期望收益关于标准差的函数 INVESTMENTS | BODIE, KANE, MARCUS7-22 资产相关性越小，分散化就更有效，组合风险也就越低。 随着相关系数接近于-1，降低风险的可能性也在增大。 如果 = +1.0，不会分散任何风险。. 如果 = 0， P 可能低于任何一个资产的标准差。 如果 = -1.0， 可以出现完全对冲的情况。相关效应INVESTMENTS | BODIE, KANE, MARCUS7-23三种资产的组合 第六章研究了无风险资产和一个风险组合之间的最优组合。（需要给定风险组合的期望和方差） 本章前面内容研究了两个风险资产之间的最优组合。 现

11、在考虑两个风险资产和一个无风险资产的最优组合。INVESTMENTS | BODIE, KANE, MARCUS7-24三种资产的组合 步骤：先给出最优的风险资产组合，再基于第六章的效用最大化模型来得到无风险资产和风险资产组合之间的最优比例。 思路：先从图形上得到启发，再来进行计算。INVESTMENTS | BODIE, KANE, MARCUS7-25图 7.6 债券和股权基金的投资可行集和两条资本配置线INVESTMENTS | BODIE, KANE, MARCUS7-26图 7.7 债券和股权基金的投资可行集、最优资本配置线和最优风险资产组合INVESTMENTS | BODIE,

12、KANE, MARCUS7-27夏普比率 使资本组合P的资本配置线的斜率最大化。 斜率的目标方程是: 这个斜率就是夏普比率。()PfPPE rrSINVESTMENTS | BODIE, KANE, MARCUS7-28夏普比率 根据风险组合的期望收益和方差的表达式，我们将这些表达式带入上述夏普比率。 运用标准的微积分函数极值的求解方法，很容易得到风险资产的最优比例： 注意这里的权重只是风险资产内部的比例。222( )DEEDEDDEEDDEDEE rE rwE rE rE rE r 1EDww INVESTMENTS | BODIE, KANE, MARCUS7-29决定最优组合 由上述公式

13、，可以算出风险资产组合的期望收益 及方差 。 再根据第六章的均值-方差效用函数模型得到最优的投资组合。其中投资于风险组合的比例为： ，投资于无风险资产的比例为 。 最后，投资于两个风险资产的比例分别为 与 。 PE r2P2PfPE rryA1yDywEywINVESTMENTS | BODIE, KANE, MARCUS7-30图 7.8 决定最优组合INVESTMENTS | BODIE, KANE, MARCUS7-31马科维茨资产组合选择模型 将前述讨论推广到风险资产组合包含多个风险资产的情形，就是马科维茨模型(The Markowitz Model). 证券选择第一步是决定风险收益机

14、会。最小方差边界最小方差边界上最小方差组合上方的点提供最优的风险和收益。最小方差边界又叫做有效前沿(Efficient Frontier)。INVESTMENTS | BODIE, KANE, MARCUS7-32图7.10 风险资产的最小方差边界INVESTMENTS | BODIE, KANE, MARCUS7-33马克维茨资产组合选择模型 现在，我们寻找报酬-波动性比率（即夏普比率）最高的资本配置线。INVESTMENTS | BODIE, KANE, MARCUS7-34图 7.11 风险资产有效边界和最优资本配置线INVESTMENTS | BODIE, KANE, MARCUS7-

15、35资本配置和分离特性 分离特性（Separation Property）阐明组合决策问题可以分为两个独立的步骤。决定最优风险组合，这是完全技术性的工作。整个投资组合在无风险短期国库券和风险组合之间的配置，取决于个人偏好。 分离特性又称作两基金分离定理两基金分离定理INVESTMENTS | BODIE, KANE, MARCUS7-36图 7.13 有效集组合与资本配置线INVESTMENTS | BODIE, KANE, MARCUS7-37分散化的威力 回忆: 如果我们定义平均方差和平均协方差为: 211( ,)nnPijijijww Cov r r 2211111( ,)(1)niinnijjij inCovCov r rn n INVESTMENTS | BODIE, KANE, MARCUS7-38分散化的威力 假定组合中每个资产是等权重的。我们可以得出组合的方差: 由上式，当平均协方差=0时，即所有的风险都是公司特有的，则n变大时，组合方差将趋于0. 但是经济中的系统性因素将使得平均协方差为正。所以即使n趋于无穷大，组合方差的极限也0。2211PnCovnnINVESTMENTS | BODIE, KANE, MARC