大学物理静电场习题课（课堂PPT）

1、.1一、一、一个实验定律一个实验定律：库仑定律库仑定律 iqSdE01 （ 所有电荷代数和）所有电荷代数和） iq有源场有源场 L0ldE（与（与 等价）等价） BABAldEVV（保守场）（保守场）12212021124erqqF 二、两个物理概念：二、两个物理概念：场强、电势场强、电势；三、两个基本定理：三、两个基本定理：高斯定理、环流定理高斯定理、环流定理.21. 点电荷的电场点电荷的电场的计算的计算四、电场强度的计算四、电场强度的计算02041rrqE 2. 点电荷系的电场点电荷系的电场的计算的计算设真空中有设真空中有n个点电荷个点电荷q1,q2,qn，则，则P点场强点场强02041i

2、iiiiirrqEE 典型例子：典型例子：电偶极子电偶极子3041rpEB 中垂线上中垂线上30241rpEA 延长线上延长线上.33. 连续带电体的电场的计算（积分法）连续带电体的电场的计算（积分法）0204rrdqEd 02041rrdqEdE zzyyxxdEEdEEdEE;kEjEiEEzyx 电荷元电荷元表达式表达式体电荷体电荷dVdq 面电荷面电荷dSdq 线电荷线电荷ldqd 思路思路 .4（1 1）一均匀带电直线在）一均匀带电直线在任任一一点的电场点的电场)sin(sin1204 aEx特例：无限长均匀带电直线的场强特例：无限长均匀带电直线的场强aE02 有用的结论：有用的结论

3、：（2）一均匀带电圆环轴线上任一点）一均匀带电圆环轴线上任一点 x处的电场处的电场i)ax(xqE232204 （3）无限大均匀带电平面的场强）无限大均匀带电平面的场强02 E)cos(cos2104 aEy.5五、高斯定理可能应用的情况：五、高斯定理可能应用的情况：1、球面对称：、球面对称：20r4qE 2、圆柱面对称、圆柱面对称0r2E )0( 204rqESi 内内.63、平面对称：、平面对称：02E )0( .73041rpEB 02041rrqE aE02 02E1.偶极子2.点电荷3.线电荷4.面电荷31rE 11rE 21rE 01rE 已学过的几种电场已学过的几种电场.8场强的

4、计算场强的计算叠加法叠加法高斯定理法高斯定理法梯度法梯度法 iE Ed iSqSdE01 UE .9六、六、电势电势1. 定义定义: : AAAldEqWU02. 静电场力作的静电场力作的功与电势差、电势能之间的关系：功与电势差、电势能之间的关系：)()(ababbabaabWWqUUUql dEqW 3. 电势叠加原理电势叠加原理rqUP04 (1)点电荷点电荷的电势分布的电势分布: :(2)点电荷系点电荷系的电势分布的电势分布: :(3)连续带电体连续带电体的电势分布的电势分布: : iiiirqUU04 VVrdqdUU041 .10七、求解七、求解 和和U的方法比较：的方法比较：E 求

5、求E1、 根据对称性应用高斯定理根据对称性应用高斯定理 连续分布：连续分布：gradUE 求求U 带带电电体体rqU04 0024rrdqE 带带电电体体 先求先求 再求再求 U 。E AAldEU kzUjyUixUgradU2、应用矢量叠加原理应用矢量叠加原理 不连续分布：不连续分布：02041iiiirrqE iiiPrqu04 先求先求 U,再求再求 。E3、应用标量叠加原理应用标量叠加原理.114.电荷为电荷为-510-9 C的试验电荷放在电场中某点的试验电荷放在电场中某点时，受到时，受到 2010-9 N的向下的力，则该点的电的向下的力，则该点的电场强度场强度大小大小为为_，方向，

6、方向_ 3.静电场中某点的电场强度，其大小和方向与静电场中某点的电场强度，其大小和方向与_相同相同 （静电场（静电场 一）一）单位单位正正试验电荷置于该点时所受到的电场力试验电荷置于该点时所受到的电场力 4 N / C 向上向上 .12 5. 如图所示，真空中一长为如图所示，真空中一长为L的均匀带电细直杆，总的均匀带电细直杆，总电荷为电荷为q，试求在直杆延长线上距杆的一端距离为，试求在直杆延长线上距杆的一端距离为d的的P点的电场强度点的电场强度 总场强为总场强为 ： 204ddxdLqE 204dxdLLxq LLqE020)(d4xdLx dLq d04 Lddqx(L+dx)dExO解：设

7、杆的左端为坐标原点解：设杆的左端为坐标原点O，x轴沿轴沿直杆方向带电直杆的电荷线密度为直杆方向带电直杆的电荷线密度为 =q / L，在，在x处取一电荷元处取一电荷元dq = dx = qdx / L，它在，它在P点的场强：点的场强：方向方向沿沿x轴，即杆的延长线方向轴，即杆的延长线方向.13 例例3：有一半径为：有一半径为r 绝缘细环如图，上半段均绝缘细环如图，上半段均 匀带匀带+q,下半段均匀带下半段均匀带-q, 求：细环中心处的电场强度和电势。求：细环中心处的电场强度和电势。 +-Ox+-OxdE+ d y思路：思路：1、上半段电荷在、上半段电荷在O点的点的E+y：20r4rddE cos

8、r4rddE20y dE+dE-.14r4r4dcosrE02020y +-OxdE+ d yO点：点：r2E2E0y 方向方向：y轴反向。轴反向。将将 代入代入r2q41 202rqE 由对称性知由对称性知 Ex=0.15+-Ox2、O点处点处电势电势 上半段上半段rdqU04rq04 根据电势叠加原理根据电势叠加原理: 下下半半段段rdqU04 rq04 0 UUUO讨论讨论 若电荷若电荷非均匀分布非均匀分布，则，则O点点的电势为多少？的电势为多少？.161. 有两个电荷都是有两个电荷都是q的点电荷，相距为的点电荷，相距为2a今以左边今以左边的点电荷所在处为球心，以的点电荷所在处为球心，以

9、a为半径作一球形高斯为半径作一球形高斯面面 在球面上取两块相等的小面积在球面上取两块相等的小面积S1和和S2，其位置如，其位置如图所示图所示 设通过设通过S1和和S2的电场强度通量分别为的电场强度通量分别为F F1和和F F2，通过整个球面的电场强度通量为通过整个球面的电场强度通量为F FS，则，则 (A) F F1F F2，F FSq / 0 (B) F F1F F2，F FS2q / 0 (C) F F1F F2，F FSq / 0 （D) F F1F F2，F FSq / 0 （静电场二）（静电场二）S1S2O q q2ax.17 2.图示为一具有球对称性分布的静电场的图示为一具有球对称

10、性分布的静电场的Er关系曲关系曲线请指出该静电场是由下列哪种带电体产生的线请指出该静电场是由下列哪种带电体产生的 (A) 半径为半径为R的均匀带电球面的均匀带电球面 (B) 半径为半径为R的均匀带电球体的均匀带电球体 (C) 半径为半径为R的、电荷体密度为的、电荷体密度为 Ar (A为常数为常数)的的非均匀带电球体非均匀带电球体 (D) 半径为半径为R的、电荷体密度为的、电荷体密度为 A/r (A为常数为常数)的的非均匀带电球体非均匀带电球体 ( OR rEE1 /r2.183.图示两块图示两块“无限大无限大”均匀带电平行平板，电荷面密均匀带电平行平板，电荷面密度分别为度分别为 和和 ，两板间

11、是真空在两板间取一立，两板间是真空在两板间取一立方体形的高斯面，设每一面面积都是方体形的高斯面，设每一面面积都是S，立方体形的两，立方体形的两个面个面M、N与平板平行则通过与平板平行则通过M面的电场强度通量面的电场强度通量F F1_，通过，通过N面的电场强度通量面的电场强度通量F F2_( S) / 0 ( S) / 0 MN-+ SeSdE 对于闭合曲面，对于闭合曲面， 取外法向为正取外法向为正n.194.半径为半径为R的半球面置于场强为的均匀电场中，的半球面置于场强为的均匀电场中，其对称轴与场强方向一致，如图所示则通过其对称轴与场强方向一致，如图所示则通过该半球面的电场强度通量为该半球面的

12、电场强度通量为_ R E R2E ER2 ER2 作业中出现的答案：作业中出现的答案：.20例例5. 一半径为一半径为R的带电球体，其电荷体密度分布为的带电球体，其电荷体密度分布为 =Ar (rR) ， =0 (rR) ，A为一常量为一常量试求：球体内外的场强分布试求：球体内外的场强分布解：在球内取半径为解：在球内取半径为r (rR) 、厚为、厚为dr的的 薄球壳，该壳内所包含的电荷为薄球壳，该壳内所包含的电荷为 rrArVqd4dd2 在半径为在半径为 r 的球面内包含电荷为的球面内包含电荷为 402d4ArrrArdVqrV 以该球面为高斯面，按高斯定理有以该球面为高斯面，按高斯定理有 0

13、421/4 rArE F F(本题选自静电场练习二)qr高斯面高斯面Rdr.21易错点：易错点：334.1rArVq 、dVq 、22043rdqdE 、搞清各种方法的搞清各种方法的基本解题步骤基本解题步骤drrArdVq 244 、.226.有一带电球壳，内、外半径分别为有一带电球壳，内、外半径分别为a和和b，电荷，电荷体密度体密度 = A / r，在球心处有一点电荷，在球心处有一点电荷Q，证明，证明当当A = Q / ( 2 a2 )时，球壳区域内的场强的大小时，球壳区域内的场强的大小与与r无关无关 a b Q 证：用高斯定理求球壳内场强：证：用高斯定理求球壳内场强： 02/d4d VVQ

14、rESES rravrrArrrAV02d4d4d 其中：其中： 222arA 2220202414arArrQE 202020224rAaArQ 要使要使E的大小与的大小与r无关，则应有无关，则应有 02420220 rAarQ 22 aQA 即：即：.23易错点：易错点： seEdV 、1ErdSEdSEs242 、drrrAqba243 、rrdrAqr 440 、a.24 静电场练习三静电场练习三 2. 如图所示，半径为如图所示，半径为R的均匀带电球面，总电荷为的均匀带电球面，总电荷为Q，设无穷远处的电势为零，则球内距离球心为设无穷远处的电势为零，则球内距离球心为r的的P点处点处的电场

15、强度的大小和电势为：的电场强度的大小和电势为： (A) E=0， (B) E=0， (C) ， (D) ， rQU04 RQU04 204rQE rQU04 204rQE RQU04 O R r P Q .253.把一个均匀带有电荷把一个均匀带有电荷+Q的球形肥皂泡由半径的球形肥皂泡由半径r1吹胀吹胀到到r2，则半径为，则半径为R(r1Rr2)的球面上任一点的场强大的球面上任一点的场强大小小E由由_变为变为_；电势；电势U由由_变为变为_(选无选无穷远处为电势零点穷远处为电势零点) r1r2RQ / (4 0R2) 0 Q / (4 0R) Q / (4 0r2) 提示：提示：根据高斯定理求场

16、强根据高斯定理求场强根据定义法求电势根据定义法求电势.264.一半径为一半径为R的均匀带电圆环，电荷线密度为的均匀带电圆环，电荷线密度为 设无设无穷远处为电势零点，则圆环中心穷远处为电势零点，则圆环中心O点的电势点的电势U_ / (2 0) 标量叠加标量叠加 Rq2思路思路:RqRdqdUU0044 02 U.27 5. 一半径为一半径为R的均匀带电圆盘，电荷面密度为的均匀带电圆盘，电荷面密度为 设设无穷远处为电势零点计算圆盘中心无穷远处为电势零点计算圆盘中心O点电势点电势 O dr R 解：在圆盘上取一半径为解：在圆盘上取一半径为rrdr范范围的同心圆环围的同心圆环dS=2 rdr 其上电荷

17、为其上电荷为 ： dq=2 rdr 其面积为：其面积为：它在它在O点产生的电势为：点产生的电势为： 002d4dd rrqU 总电势：总电势： 0002d2d RrUURS .28 6. 电荷以相同的面密度电荷以相同的面密度 分布在半径为分布在半径为r110 cm和和r220 cm的两个同心球面上设无限远处电势为零，的两个同心球面上设无限远处电势为零，球心处的电势为球心处的电势为U0300 V (1) 求电荷面密度求电荷面密度 (2) 若要使球心处的电势也为零，外球面上应放掉多若要使球心处的电势也为零，外球面上应放掉多少电荷？少电荷？ 08.8510-12 C2 /(Nm2) 解：解：(1)

18、球心处的电势为两个同心带电球面各自在球心处的电势为两个同心带电球面各自在球心处产生的电势的叠加，即球心处产生的电势的叠加，即 22110041rqrqU 22212104441rrrr 210rr 2100rrU 8.8510-9 C / m2 .29(2) 设外球面上放电后电荷面密度为设外球面上放电后电荷面密度为，则应有：，则应有： 21001rrU = 0 即即 ： 21rr 外球面上应变成带负电，共应放掉电荷外球面上应变成带负电，共应放掉电荷: 212222144rrrrq 20021244rUrrr 6.6710-9 C .30例例6：点电荷：点电荷q=10-9C，与它在同一直线上的，

19、与它在同一直线上的A、B、C 三点分别相距为三点分别相距为10、20、30 cm，若选，若选B为电势零点为电势零点 。 CBAq解：解： 选选B为电势零点：为电势零点： BArrBAAdrrql dEU204)(45)11(40VrrqBA )(15)11(40VrrqUBCC 求：求：A、C两点的电势。两点的电势。或者分别算出或者分别算出A、B、C三点三点的电势，然后的电势，然后相减即可。相减即可。.31求单位正电荷沿求单位正电荷沿odc 移至移至c ，电场力所作的功，电场力所作的功 将单位负电荷由将单位负电荷由 O O电场力所作的功电场力所作的功 )434(000RqRquuAcooc R

20、q06 0 oOuuA例例7.如图已知如图已知+q 、-q、Rq q RRR0dabc.32例例8 在真空中在真空中,有一电荷为有一电荷为Q,半径为半径为R的均匀带电的均匀带电球壳球壳,其电其电荷是面分布的荷是面分布的.试求试求 (1) 球壳外两点间的电势差球壳外两点间的电势差; (2) 球壳内两点间的电势差球壳内两点间的电势差; (3) 球壳外任意点的电势球壳外任意点的电势; (4) 球壳内任意点的电势球壳内任意点的电势.OerRABdrrArrBr(a)ORrBA dr(b).33解解 (1) 均匀带电球壳外一点的场强为均匀带电球壳外一点的场强为)1(4120rerQE 若在如图若在如图

21、(a)所示的径所示的径向取向取A,B两点两点,它们与球心它们与球心的距离分别为的距离分别为rA和和rB,那么那么, 可得可得A,B两点之间的电势两点之间的电势差为：差为： BABArrrrbadrErdEUU把把(1)式代入上式式代入上式,得得)2()11(44020BArrbarrQrdrQUUBA 上式表明上式表明,均匀带电球壳外两点的电势差均匀带电球壳外两点的电势差,与球上与球上电荷全部集中于球心时电荷全部集中于球心时, 两点的电势差是一样的两点的电势差是一样的.OerRABdrrArrBr(a).34(2) 球壳内两点间的电势差球壳内两点间的电势差;ORrBA dr(b)均匀带电球壳内

22、部任意两点的电场强度为均匀带电球壳内部任意两点的电场强度为: E=0球壳内部任意两点的电势差为球壳内部任意两点的电势差为:0 BArrbadrEUU这表明这表明, 带电球壳内各点的电势均为一等势体带电球壳内各点的电势均为一等势体.35(3) 球壳外任意点的电势球壳外任意点的电势;若取若取rB= + 时时,U =0)2()11(44020BArrbarrQrdrQUUBA 由式由式(2)可得可得,均匀带电球壳外一点电势为均匀带电球壳外一点电势为)3()(4)(0RrrQrU 上式表明上式表明,均匀均匀 带电球壳外一点的电势与球上电带电球壳外一点的电势与球上电荷集中于球心一点的电势是一样的荷集中于

23、球心一点的电势是一样的.OerRABdrrArrBr.36 (4) 球壳内任意点的电势球壳内任意点的电势. 由于带电球壳为一等势体由于带电球壳为一等势体,故球壳内各处的电势故球壳内各处的电势与球壳表面的电势应相等与球壳表面的电势应相等)3()(4)(0RrrQrU 球壳表面的电势为：球壳表面的电势为：RQRU04)( 所以球壳内各处的电势所以球壳内各处的电势U为为:)4(4)(0RQRUU 由由(3)和和(4)可得均匀带电球壳可得均匀带电球壳内、外电势分布曲线如图所示内、外电势分布曲线如图所示.VOR2 2R3 3RrRQ04rQ04球面处场强不连续，而电势是连续的。球面处场强不连续，而电势是

24、连续的。.37例：求无限长均匀带电直线的电场中的电势例：求无限长均匀带电直线的电场中的电势分布。分布。drr2l dEUBp0Bp Crrr ln2ln2ln20000 当电荷分布扩展到无穷远时，电势零点不能当电荷分布扩展到无穷远时，电势零点不能再选在无穷远处。再选在无穷远处。 解：选取解：选取 点为电势零点，点为电势零点，B点距带电直导点距带电直导线为线为 。BrBBBrpr.382、把这种说法反过来：即假设高斯面内没有包含净、把这种说法反过来：即假设高斯面内没有包含净电荷，则高斯定理是否要求在这面上所有各点处的电荷，则高斯定理是否要求在这面上所有各点处的E都等于零？都等于零？讨论讨论 1、

25、如果高斯面上的如果高斯面上的E处处为零，则高斯定理要处处为零，则高斯定理要求在此表面内部没有净电荷，这是否正确？求在此表面内部没有净电荷，这是否正确？0. 内内SiSqSdE00内内 SiqE00 EqSi内内.39例例1：长为：长为l、线电荷密度为、线电荷密度为 的两根相同的的两根相同的细塑料棒如图放置，相距细塑料棒如图放置，相距l。 求：两棒之间的静电相互作用力。求：两棒之间的静电相互作用力。Oxl2l dxx思路：思路：1、求左棒在右棒处各点的场强：、求左棒在右棒处各点的场强：2、右棒、右棒x处电荷元受的电场力：处电荷元受的电场力：xd )x1lx1(4ExddF02 dxx)11(4)

26、(40020 lxlxxxdxE .40Oxl2l dxx dxx3、右棒受的总电场力：、右棒受的总电场力：344114023202ln)( xdxlxFll方向：方向：x方向。方向。xd )x1lx1(4ExddF02 .41例例2：厚度为：厚度为 d 的均匀带电无限大平板，电荷的均匀带电无限大平板，电荷体密度为体密度为00，求板内、外场强。，求板内、外场强。D DS解：解： 101iiSqSdE 板外一点：板外一点：02 iqSdESdE底侧002/2 dESdSE D D D D板内一点：板内一点：xSSE22 D D D D 0 xE 方向：垂直板面向外。方向：垂直板面向外。dxD D

27、S方向：垂直板面向外。方向：垂直板面向外。.42例例4. 求均匀带电圆柱面的电场求均匀带电圆柱面的电场. 已知圆柱半径为已知圆柱半径为R， 沿轴线方向单位长度带电量为沿轴线方向单位长度带电量为 。解：场具有轴对称，作解：场具有轴对称，作 高斯面：圆柱面高斯面：圆柱面(1) r R Rlqi20 rRE rE02 高高斯斯面面lrE seSdESdESdESdE上底侧面下底F Flq rlE 2 R2 .44课堂练习：课堂练习： 求均匀带电圆柱求均匀带电圆柱体体的场强分布，已知的场强分布，已知R， 202Rr ERr Rr r02 02 lrlE Rr Rr lrhRhlrE2202 在圆柱体内

28、作高斯面，在圆柱体内作高斯面，r，l高斯面内的电荷高斯面内的电荷R hlr.45例例7：一接地的无限大厚导体板的一侧有一半无限长的：一接地的无限大厚导体板的一侧有一半无限长的均匀带电直线如图放置，已知带电线密度为均匀带电直线如图放置，已知带电线密度为00， 求：板面上垂足求：板面上垂足O O处的感应电荷面密度处的感应电荷面密度 o。 doo解：导体板内与解：导体板内与o点相邻点点相邻点o的场强：的场强：0Eo 0)2(r4dxEEE00d20o 感感线线d20 024000 r即即得得 .46例例10 10 将一空气平行板电容器接到电源上充电到一定电将一空气平行板电容器接到电源上充电到一定电压

29、后，断开电源再将一块与极板面积相同的金属板平压后，断开电源再将一块与极板面积相同的金属板平行地插入两极板之间，如图所示行地插入两极板之间，如图所示, , 则由于金属板的插入则由于金属板的插入及其所放位置的不同，对电容器储能的影响为：及其所放位置的不同，对电容器储能的影响为： (A) (A) 储能减少，但与金属板相对极板的位置无关储能减少，但与金属板相对极板的位置无关 (B) (B) 储能减少，且与金属板相对极板的位置有关储能减少，且与金属板相对极板的位置有关 (C) (C) 储能增加，但与金属板相对极板的位置无关储能增加，但与金属板相对极板的位置无关 (D) (D) 储能增加，且与金属板相对极板的位置有关储能增加，且与金属板相对极板的位置有关金属板思思路路断开电源，断开电源，Q Q 不变；插入金属板不变；插入金属板等于两个电容器串联；等于两个电容器串联；金属板有厚度，金属板有厚度，总电容总电容 C C 变大；变大；CQW22 （本题可参考（本题可参考 8-5 8-5 静电场中的导体和电介质中的例题静电场中的导体和电介质中的例题 4 4 ）.471dt2ddABq q 0E0EE设设 q，则有，则有场强分布场强分布0 ESqE