控制工程课件第3章时域法(新)

1、3.1 典型输入信号3.2 一阶系统的时间响应3.3 二阶系统的时间响应3.4 二阶系统的性能指标3.5 误差分析和计算3.6 稳定性分析 本章主要内容重点：重点：二阶系统的时域响应及其性能指标。二阶系统的时域响应及其性能指标。难点：难点：二阶系统时域响应的数学表达式。二阶系统时域响应的数学表达式。 3.1 典型输入信号典型输入信号 在时间域进行分析时，为了比较不同系统的控制在时间域进行分析时，为了比较不同系统的控制性能，需要规定一些具有典型意义的输入信号建立性能，需要规定一些具有典型意义的输入信号建立分析比较的基础。这些信号称为控制系统的分析比较的基础。这些信号称为控制系统的典型输典型输入信

2、号入信号。l 时域分析的目的时域分析的目的 在时间域，研究在一定的输入信号作用下，系在时间域，研究在一定的输入信号作用下，系统输出随时间变化的情况，以分析和研究系统的控统输出随时间变化的情况，以分析和研究系统的控制性能。制性能。l 优点：优点：直观、简便直观、简便 一、典型输入信号一、典型输入信号)(txit01)(txit0A)(txit0)(txit0)(txit03.1 典型输入信号二、对典型输入信号的要求二、对典型输入信号的要求q能够反映系统工作在最不利的情形；能够反映系统工作在最不利的情形；q形式简单，便于解析分析；形式简单，便于解析分析；q实际中可以实现或近似实现。实际中可以实现或

3、近似实现。 常用的常用的典型输入信号的数学表达典型输入信号的数学表达Asint 正弦信号正弦信号 1(t)，t=0 单位脉冲信号单位脉冲信号 单位加速度信号单位加速度信号 t， t0 单位速度单位速度( (斜坡斜坡) )信号信号 1(t)，t0 单位阶跃信号单位阶跃信号 复数域表达式 时域表达式 名 称 s121s31s22sA0,212tt3.1 典型输入信号3.2 一阶系统的时间响应一阶系统的时间响应一阶系统：一阶系统： 一、一阶系统的单位阶跃响应一、一阶系统的单位阶跃响应11111)()()(TsTssTssXsGsXio11)(TssG凡是能够用凡是能够用一阶微分方程描述的系统。一阶微

4、分方程描述的系统。典型形式：典型形式：0,1)(tetxTtoTs11)(sG)(sXi)(0sXssXi1)(输入信号：输入信号：输出：输出：极点（特征根）：极点（特征根）：T1)()()(00txtxtxTi0,1)(tetxTto1斜率=1/T0 xo(t)tTtoetx/1)(1T0.632A63.2%B2T86.5%3T95%4T98.2%5T99.3%99.8%6T3.2 一阶系统的时间响应Ttoetx/1)(1T4T10 xo(t)t63.2%98.2% 一阶系统单位阶跃响应的特点一阶系统单位阶跃响应的特点（1 1）响应分为两部分）响应分为两部分 （2）无稳态误差无稳态误差 0)

5、()()()(eetxtxteTtoi稳态响应稳态响应 瞬态响应瞬态响应Ttoetx/1)( 表示表示t t 时，系统的输出状态。时，系统的输出状态。稳态响应稳态响应表示系统输出量从初态到终态的变化过程（动态表示系统输出量从初态到终态的变化过程（动态/ /过渡过程）过渡过程） 瞬态响应瞬态响应3.2 一阶系统的时间响应（3）xo(0) = 0，xo( ) = 1，且无振荡。且无振荡。 Ttoetx/1)(1T4T10 xo(t)t63.2%98.2% 一阶系统单位阶跃响应的特点一阶系统单位阶跃响应的特点（4 4） xo(T) = 1 - e-1 = 0.632 xo(3T) = 1 - e-3

6、 = 0.95 xo(4T) = 1 - e-4 = 0.982 通常工程中当响应曲线达到并保持在稳态值的通常工程中当响应曲线达到并保持在稳态值的95%98%时，认为系统瞬态（动态）响应过程基本时，认为系统瞬态（动态）响应过程基本结束。从而惯性环节的过渡过程时间为结束。从而惯性环节的过渡过程时间为3T4T。时间常数时间常数T反映了系统响应的快慢。反映了系统响应的快慢。3.2 一阶系统的时间响应二、一阶系统的二、一阶系统的单位速度响应单位速度响应21)(ssXiTsTsTssTssXsGsXio11111)()()(220,)(tTeTttxTto)(0txt0)(txi，11)(TssGttx

7、i)(Tt 稳稳态态响响应应：TtTe瞬瞬态态响响应应：3.2 一阶系统的时间响应)(0txt0)(txiTT 一阶系统单位速度响应的特点一阶系统单位速度响应的特点0,)(tTeTttxTto（1 1） 经过足够长的时间经过足够长的时间(稳态稳态时，如：时，如：t 4T)，输出增长速率，输出增长速率近似与输入相同，此时输出为：近似与输入相同，此时输出为：t T，即，即输出相对于输入滞后输出相对于输入滞后时间时间T； （2 2）系统响应误差为：）系统响应误差为： TeeTtxtxteTtoi)()1 ()()()(Tt43.2 一阶系统的时间响应三、三、 一阶系统的一阶系统的单位脉冲响应单位脉冲

8、响应1)(sXiTsTsGsXo111)()(0,1)(teTtxTto0)(0txT1T1368. 021T斜斜率率：Tt3.2 一阶系统的时间响应 一阶系统单位脉冲响应的特点一阶系统单位脉冲响应的特点q 瞬态响应：(1/T )e t /T ；稳态响应：0；q xo(0)=1/T,随时间的推移，xo(t)指数衰减；q 对于实际系统，通常应用具有较小脉冲宽 度（脉冲宽度小于0.1T）和有限幅值的脉 冲代替理想脉冲信号。 201)(Tdttdxtoq 3.2 一阶系统的时间响应0,1)(tetxTto)(txo1t)(0tx)(txiTTTt4t0,)(tTeTttxTto0,1)(teTtxT

9、toT1)(0txt000一阶系统的时间响一阶系统的时间响应应1.1.单位阶跃响应单位阶跃响应2.2.单位速度响应单位速度响应3.3.单位脉冲响应单位脉冲响应注意观察输入信号及相应输出之间的联系！注意观察输入信号及相应输出之间的联系！3.2 一阶系统的时间响应线性定常系统时间响应的性质线性定常系统时间响应的性质 系统时域响应通常由稳态分量和瞬态分量共同组成，前者系统时域响应通常由稳态分量和瞬态分量共同组成，前者反映系统的稳态特性，后者反映系统的动态特性。反映系统的稳态特性，后者反映系统的动态特性。 注意到：注意到： )(1)(tdtdt )21(2tdtdt TtoeTtx1)()()()()

10、(11txdtdtxtxdtdtxotooo)()(1tdtdt TtotTeTttx)(Ttoetx 1)(1即：系统对输入信号导数的响应等于系统对该输入信号系统对输入信号导数的响应等于系统对该输入信号响应的导数响应的导数。系统对输入信号积分的响应等于系统对该系统对输入信号积分的响应等于系统对该输入信号响应的积分，其积分常数由初始条件确定。输入信号响应的积分，其积分常数由初始条件确定。这种输入输出间的积这种输入输出间的积分、微分性质对任何线分、微分性质对任何线性定常系统均成立。性定常系统均成立。)()(221txdtdtxtoot3.2 一阶系统的时间响应例：例：温度计的传递函数为温度计的传

11、递函数为 , ,现在用该温度计测量一容器现在用该温度计测量一容器内水的温度，发现需要内水的温度，发现需要1min的时间才能指示出实际水温的的时间才能指示出实际水温的98%的数值，求此温度计的时间常数的数值，求此温度计的时间常数T。如果给容器加热，使水温。如果给容器加热，使水温以以100C/min的温度变化，此温度计的稳态指示误差是多少？的温度变化，此温度计的稳态指示误差是多少？11Ts解：解：（1 1）时间常数）时间常数T近似解法：近似解法：sT15 对于一阶系统，当对于一阶系统，当t 4T 时，温度可升高实际温度的时，温度可升高实际温度的98%，即：，即： 4T=1min（2 2）稳态误差）

12、稳态误差此时，此时，min/10)(0CtxisCtxi/)61()(0CTe05 . 26)(解：解：（1 1）时间常数）时间常数T精确解法：精确解法：（2 2）稳态误差）稳态误差此时，此时，min/10)(0CtxisCtxi/)61()(0Ce056. 2634.15)(Ttetx/01)(st60Te/60198. 002. 0/60Te912. 302. 0ln60T)(34.15sT 例：例：已知系统的传递函数为：已知系统的传递函数为：试求系统的的单位阶跃响应和单位脉冲响应。试求系统的的单位阶跃响应和单位脉冲响应。1212)(2ssssG解：（解：（1 1）系统单位阶跃输入时，系统

13、单位阶跃输入时，ssXi1)(，)(1)(ttxisssssXsGsXio11212)()()(211)1(112sss0,1)(tetetxtto（2 2）当单位脉冲输入时，当单位脉冲输入时，)()(ttxi1)(sXi)()(1txdtdtxoo)1 ()(ttoetetxtttee 23.3 二阶系统的时间响应二阶系统的时间响应二阶系统：二阶系统： 222222121)(nnnssTssTsG其中：其中：T T 为时间常数，也称为为时间常数，也称为无阻尼自由振荡周期无阻尼自由振荡周期。 称为称为阻尼比阻尼比； n1/T 为系统的为系统的无阻尼固有频率无阻尼固有频率。一、二阶系统的特征方程

14、：一、二阶系统的特征方程：02)(22nnsssD极点（特征根）：极点（特征根）：122 , 1nnp（凡是能够用（凡是能够用二阶微分方程描述的系统）二阶微分方程描述的系统）1. 欠阻尼二阶系统（振荡环节）欠阻尼二阶系统（振荡环节）： 0 1具有两个不相等的负实数极点：具有两个不相等的负实数极点：122 , 1nnpj0jsnndd3.3 二阶系统的时间响应0222nnss4. 4. 零阻尼二阶系统：零阻尼二阶系统： 0具有一对共轭虚极点：具有一对共轭虚极点：njp2 , 15. 5. 负阻尼二阶系统：负阻尼二阶系统： 0 0极点实部大于零，响应发散，系统不稳定。极点实部大于零，响应发散，系统

15、不稳定。j0jsnn122 , 1nnpnn)sin()(0tAetxdtn3.3 二阶系统的时间响应ssXi1)(1. 1. 欠阻尼（欠阻尼（0 0 1）状态状态 )11 (21223c231212220)2()(sscsscscssssXnnn1221nnpp、11c2211psps、)11 (21222c3.3 二阶系统的时间响应3. 3. 过阻尼过阻尼（ 1）状态状态 ttonneetx)1(22)1(2222)11 (21)11 (211)(q 特点特点 单调上升，无振荡，过单调上升，无振荡，过渡过程时间长。渡过程时间长。 xo( ( )=1)=1，无稳态，无稳态 误差。误差。 t)

16、(0tx01该分量该分量影响大影响大当当 大于大于 1.25时，可忽略。时，可忽略。3.3 二阶系统的时间响应4. 4. 无阻尼（无阻尼（ = 0）状态）状态 0,cos1)(tttxno210txo(t)q 特点 频率为n的等 幅振荡。2222201)()(nnnssssssX3.3 二阶系统的时间响应 几点结论几点结论 1. 1. 二阶系统的阻尼比二阶系统的阻尼比 决定了其振荡特性：决定了其振荡特性： 0 0 时，阶跃响应发散，系统不稳定；时，阶跃响应发散，系统不稳定； 1 1 时，无振荡、无超调，过渡过程长；时，无振荡、无超调，过渡过程长； 0 0 1：2211sscssc)(0sX3.

17、3 二阶系统的时间响应0txo(t) 1 =1 1 = 1：0,)(2ttetxtnon 0 1：四、二阶系统的单位速度响应四、二阶系统的单位速度响应 1：0,1212121212122)(1222122222teettxtntnnonn = 1：0,21122)(tetttxtnnnon 01：1212,10),sin(12)(222arctgttettxnddtdnon = 0：0,sin1)(ttttxnno3.3 二阶系统的时间响应高阶系统的时间响应高阶系统的时间响应l 高阶系统的单位阶跃响应高阶系统的单位阶跃响应 )()()()(11101110mnasasasabsbsbsbsXs

18、XsGnnnnmmmmio考虑系统：考虑系统：0011,)()(abKpszsKnjjmiinrqsspszsKrkkkkqjjmii2,)2()()(12211参考内容参考内容rkkkkqjjmiiosspsszsKsX12211)2()()()(假设系统极点互不相同。假设系统极点互不相同。21kkkkjs复复数数极极点点：其中，其中，a, aj为为Xo(s)在极点在极点s = 0和和s = -pj处的留数；处的留数； bk、ck是是与Xo( )在极点处的留数有关的常数。在极点处的留数有关的常数。rkkkkkkkkkkkqjjjscsbpsasa122221)1()(1)(时，时，当当ssX

19、i1)()0(1sin1cos)(12121ttectebeaatxrkkktkrkkktkqjtpjokkkkj)0( )1sin(12221ttecbeaarkkktkkqjtpjkkj通过拉氏反变换，其输出为：通过拉氏反变换，其输出为：kkcbarctg其中，其中， 高阶系统的单位阶跃响应由一阶和二阶系统的高阶系统的单位阶跃响应由一阶和二阶系统的响应函数叠加而成。响应函数叠加而成。 为了在工程上处理方便，某些高阶系统通过合为了在工程上处理方便，某些高阶系统通过合理简化，可以用低阶系统近似。理简化，可以用低阶系统近似。 （1 1）由于系统极点的负实部离虚轴越远，则该极）由于系统极点的负实部

20、离虚轴越远，则该极点对应的项在瞬态响应中衰减得越快，反之则越慢，点对应的项在瞬态响应中衰减得越快，反之则越慢，离虚轴越近的极点称为主导极点。离虚轴远的极点离虚轴越近的极点称为主导极点。离虚轴远的极点（5 5倍）可忽略。倍）可忽略。（2 2）偶极子可对消。）偶极子可对消。3.4 二阶系统的性能指标二阶系统的性能指标 一、控制系统的时域性能指标一、控制系统的时域性能指标 控制系统的性能指标是评价系统动态品质的定量指标，控制系统的性能指标是评价系统动态品质的定量指标，是定量分析的基础。是定量分析的基础。 系统的时域性能指标通常通过系统的单位阶跃系统的时域性能指标通常通过系统的单位阶跃响应进行定义。响

21、应进行定义。常见的性能指标有：常见的性能指标有： 上升时间上升时间tr 峰值时间峰值时间tp 调整时间调整时间ts 最大超调量最大超调量Mp 振荡次数振荡次数N )(txo1t0rtptpMst1. 上升时间上升时间tr 响应曲线从零时刻出发首次到达响应曲线从零时刻出发首次到达稳态值所需时间。稳态值所需时间。)(txo1t0rt)(txot01rt%10%90二、欠阻尼二阶系统的时域性能指标的计算二、欠阻尼二阶系统的时域性能指标的计算 1sin11)(2rdtrotetxrn根据上升时间的定义有：根据上升时间的定义有：欠阻尼二阶系统的阶跃响应为：欠阻尼二阶系统的阶跃响应为：0),sin(11)

22、(2ttetxdton 对无超调系统，上升时间一般定对无超调系统，上升时间一般定义为响应曲线从稳态值的义为响应曲线从稳态值的10%上升到上升到90%所需的时间。所需的时间。 3.4 二阶系统的性能指标显然显然， 一定时，一定时， n越大，越大，t tr r 越小；越小； n一定时，一定时， 越大，越大，tr 越大。越大。0)sin(rdt即：即：, 2, 1, 0,kktrdtx0(t)tr1drt1k2211nrarctgt21 arctg21nd3.4 二阶系统的性能指标2. 峰值时间峰值时间tp0)cos(1)sin(122pdtdpdtntetepnpntgttgpd21)( 响应曲线

23、从零上升到响应曲线从零上升到第一个峰值所需时间。第一个峰值所需时间。 )(txo1t0pt0)(0txdtd令：令：代入，得：代入，得：将将ptt ，即：即：210kktpd3.4 二阶系统的性能指标2. 峰值时间峰值时间tp1k21ndpt则则：可见可见，峰值时间等于有阻尼振荡周期的一半。，峰值时间等于有阻尼振荡周期的一半。，210kktpd 一定，一定， n越大越大，tp越小；越小； n一定，一定， 越大越大，tp 越大。越大。ddT2)(txo1t3.4 二阶系统的性能指标3. 最大超调量最大超调量 Mp定义：响应曲线的最大定义：响应曲线的最大峰值与稳态值之差。峰值与稳态值之差。)()(

24、00 xtxMpp)(txo1tpM21sin)sin()sin(pdt)sin(11)(2pdtpotetxpn21ndpt21221)1(11)(eetxdnpo21 eMp3.4 二阶系统的性能指标3. 最大超调量最大超调量 Mp%100%100)()()(21exxtxMoopop 显然，显然，Mp仅与阻尼比仅与阻尼比 有关。最大超调量直接有关。最大超调量直接说明了系统的阻尼特性。说明了系统的阻尼特性。 越大，越大， Mp 越小，系统越小，系统的平稳性越好，当的平稳性越好，当 = 0.40.8时，可以求得相应的时，可以求得相应的 Mp = 25.4%1.5%。通常用百分数表示通常用百分

25、数表示: :)(txo1tpM3.4 二阶系统的性能指标00.10.20.30.40.50.60.70.80.910102030405060708090100二阶系统 Mp 图pM%4 .25%5 . 1%10021eMp3.4 二阶系统的性能指标4. 调整时间调整时间ts211tne 对于欠阻尼二阶系统，其单位阶跃响应的包络线为一对对于欠阻尼二阶系统，其单位阶跃响应的包络线为一对对称于响应稳态分量对称于响应稳态分量 1 1 的指数曲线：的指数曲线： 0),sin(11)(2ttetxdton)(txo1t 响应曲线到达并保持在允响应曲线到达并保持在允许误差范围（稳态值的许误差范围（稳态值的

26、2%或或 5%）内所需的时间。）内所需的时间。 st单位阶跃响应：单位阶跃响应： 当包络线进入允许误差范围当包络线进入允许误差范围之内时，阶跃响应曲线必然也之内时，阶跃响应曲线必然也处于允许误差范围内。处于允许误差范围内。211tne211tne3.4 二阶系统的性能指标当当 一定时一定时，n 越大，越大，ts 越小，系统响应越快。越小，系统响应越快。05. 0,302. 0,41lnln2nnnst当当00.7时，时， 34. 01ln0205. 002. 03ln41112tne可得：可得：nst21lnln由上式求得的由上式求得的ts包通常偏保守。包通常偏保守。因此利用：因此利用： 可忽

27、略。可忽略。故：故：21ln3.4 二阶系统的性能指标t5. 振荡次数振荡次数 N N仅与仅与 有关。与有关。与Mp 一样直接说明了系统的一样直接说明了系统的阻尼特性。阻尼特性。 越大，越大，N越小，系统平稳性越好。越小，系统平稳性越好。2122nddT振振荡荡周周期期：02. 0,1205. 0,15 . 122dsTtN则：则：x0(t)ts% 响应曲线到达并保持在允许误响应曲线到达并保持在允许误差范围（稳态值的差范围（稳态值的 2%或或 5%）内）内所需的时间。所需的时间。 实测时，可按响应曲实测时，可按响应曲线穿越稳态值次数的一半计数。线穿越稳态值次数的一半计数。3.4 二阶系统的性能

28、指标 二阶系统的动态性能由二阶系统的动态性能由 n和和 决定。决定。结结 论论 通常根据允许的最大超调量来确定通常根据允许的最大超调量来确定 。 一般选一般选择在择在0.40.8之间，然后再调整之间，然后再调整 n以获得合适的瞬态以获得合适的瞬态响应时间。响应时间。 一定，一定， n 越大，系统响应快速性越好，越大，系统响应快速性越好， tr、tp、ts 越小。越小。 增加增加 可以降低振荡，减小超调量可以降低振荡，减小超调量Mp 和振荡次数和振荡次数N ，但系统快速性降低，但系统快速性降低，tr、tp 、ts 增加；增加； tr、tp、ts 反映系统响应快速性反映系统响应快速性Mp 、N 反

29、映系统响应平稳性反映系统响应平稳性3.4 二阶系统的性能指标一、一、控制系统的偏差与误差控制系统的偏差与误差考虑图示反馈控制系统考虑图示反馈控制系统H(s)Xi(s)Xo(s)B(s) (s)G(s) 偏差信号偏差信号 (s)(s)= Xi(s)B(s) Xi(s)H(s) Xo(s) 偏差信号偏差信号 (s)定义为系统输入定义为系统输入Xi(s)与系统主与系统主反馈信号反馈信号B(s)之差，即：之差，即：3.5 误差分析和计算误差分析和计算 误差信号误差信号E(s) 误差信号误差信号E(s)定义为系统期望输出定义为系统期望输出Xor(s)与系统实与系统实际输出际输出Xo(s)之差，即：之差，

30、即：E(s)= Xor(s) Xo(s) 控制系统的期望输出控制系统的期望输出Xor(s) 为偏差信号为偏差信号 (s)0时的实际输出值，即此时控制系统无控制作用，实时的实际输出值，即此时控制系统无控制作用，实际输出等于期望输出：际输出等于期望输出： Xo(s)Xor(s)H(s)Xi(s)Xo(s)B(s) (s)G(s)3.5 误差分析与计算 偏差信号偏差信号 (s)与误差信号与误差信号E(s)的关系的关系)()()()()()()()()()(0sHsHsXsXsXsHsXsXsXsEioioorXi(s)Xo(s)B(s) (s)G(s)0)()()()(0sXsHsXsi由：由：)(

31、)()(0sHsXsXir可得：可得：)(1)(0sXXSHir ，对于单位反馈系统，对于单位反馈系统，)()(sSE对于单位反馈系统，对于单位反馈系统，)()()(sHssE)()(0)(00sXsXsr即：即：H(s)3.5 误差分析与计算二、稳态误差及其计算二、稳态误差及其计算稳态误差：系统的期望输出与实际输出在稳定状态稳态误差：系统的期望输出与实际输出在稳定状态（t）下的差值，即误差信号下的差值，即误差信号e(t) 的稳态分量：的稳态分量：)(limteetss 当当sE(s)的极点均位于的极点均位于 s 平面左半平面（包括坐平面左半平面（包括坐标原点）时，根据拉氏变换的标原点）时，根

32、据拉氏变换的终值定理终值定理，有：，有：)(lim)(lim0ssEteestss)()()(sHssE由于：由于：sse稳态误差：稳态误差：3.5 误差分析与计算)()()(11)(sXsHsGsi又又：)()()(11)(1)(sXsHsGsHsEi)()()(11)(1lim)(lim)(lim00sXsHsGsHsssEteeisstss 显然，系统稳态误差决定于输入显然，系统稳态误差决定于输入Xi(s)和开环传和开环传递函数递函数G(s)H(s)，即决定于输入信号的性质及系统，即决定于输入信号的性质及系统的结构和参数。的结构和参数。 G(s)H(s)(sXi)(0sX)(sG(s)H

33、(s)(sXi)(s13.5 误差分析与计算)6)(2(5)()(1)(2ssssHsGssH，)6)2(5sss（)(txi)(0txs1解解：321083)(ssssXi)1083()6)(2(51111lim3220ssssssssesss0)1083()6)(2(5lim322220ssssssssesss，2583)(tttxi例例1 1 某系统方框图如图所示，当某系统方框图如图所示，当系统输入的控制信号为：系统输入的控制信号为： 求系统的稳态误差。求系统的稳态误差。 3.5 误差分析与计算三、三、稳态误差系数稳态误差系数1. 稳态误差系数的概念稳态误差系数的概念（1）稳态位置误差系

34、数）稳态位置误差系数)()(11)(1lim)()()(11)(1lim00sHsGsHsXsHsGsHsesisss单位阶跃输入时系统的稳态误差系数单位阶跃输入时系统的稳态误差系数称为稳态位置误差系数。称为稳态位置误差系数。)0()0()()(lim0HGsHsGKsp令：令：)0(,11GKKeppss对于单位反馈系统，对于单位反馈系统，psskHe11)0(1ssXi1)(3.5 误差分析与计算（2） 稳态速度误差系数稳态速度误差系数vsisssKHsHssGssHsXsHsGsHse1)0(1)()(1)(1lim)()()(11)(1lim00单位速度输入时系统的稳态误差单位速度输入

35、时系统的稳态误差称为稳态速度误差系数。称为稳态速度误差系数。)()(lim0sHssGKsv其中其中，)(lim,10ssGKKesvvss对于单位反馈系统，对于单位反馈系统，vssKHe1)0(1易知：易知：3.5 误差分析与计算（3）稳态加速度误差系数）稳态加速度误差系数asisssKHsHsGsssHsXsHsGsHs1)0(1)()(1)(1lim)()()(11)(1lim2200单位加速度输入时系统的稳态误差单位加速度输入时系统的稳态误差称为称为稳态加速度误差系数稳态加速度误差系数。)()(lim20sHsGsKsa其中，其中，q 结论：结论：当输入信号形式一定后，系统是否存在当输

36、入信号形式一定后，系统是否存在稳态误差取决于系统的开环传递函数。稳态误差取决于系统的开环传递函数。 )(lim,120sGsKKesaassss对于单位反馈系统，对于单位反馈系统，assKHe1)0(1易知：易知：3.5 误差分析与计算2. .系统类型系统类型将系统的将系统的开环传递函数开环传递函数写成如下形式：写成如下形式： ) 1() 1)(1() 1() 1)(1()()(2121sTsTsTssssKsHsGvnrm 根据系统开环传递函数中积分环节的多少来定义系统的类根据系统开环传递函数中积分环节的多少来定义系统的类型，当型，当 r = 0, 1, 2, 时，系统分别称为时，系统分别称

37、为0 0型型、I I型型、型型、系统。系统。 0 0型型系统：系统：) 1() 1)(1() 1() 1)(1()()(21210sTsTsTsssKsHsGnmI I型型系统：系统：) 1() 1)(1() 1() 1)(1()()(121211sTsTsTssssKsHsGnm型型系统：系统：) 1() 1)(1() 1() 1)(1()()(2212212sTsTsTssssKsHsGnm3.5 误差分析与计算3. . 不同类型系统的稳态误差系数及稳态误差不同类型系统的稳态误差系数及稳态误差(1) 0 0型系统型系统) 1() 1)(1() 1() 1)(1()()(21210sTsTs

38、TsssKsHsGvnm00)()(limKsHsGKsp01111KKepss0)()(lim0sHssGKsvvssKe10)()(lim20sHsGsKsaassKe1单单位位负负反反馈馈0 0型系统只能跟踪阶跃信号，且有稳态误差。型系统只能跟踪阶跃信号，且有稳态误差。3.5 误差分析与计算(2) I(2) I型系统型系统) 1() 1)(1() 1() 1)(1()()(21211sTsTsTssssKsHsGvnm)()(lim0sHsGKsp011pssKe10)()(limKsHssGKsv111KKevss0)()(lim20sHsGsKsaassKe1单单位位负负反反馈馈 I

39、 I型系统准确地能跟踪阶跃信号，也能跟踪速型系统准确地能跟踪阶跃信号，也能跟踪速度信号，但有稳态误差。不能跟踪加速度信号。度信号，但有稳态误差。不能跟踪加速度信号。3.5 误差分析与计算(3) (3) 型系统型系统) 1() 1)(1() 1() 1)(1()()(212212sTsTsTssssKsHsGvnm)()(lim0sHsGKsp011pssKe)()(lim0sHssGKsv01vssKe220)()(limKsHsGsKsa211KKeass单单位位负负反反馈馈 型系统准确地能跟踪阶跃信号、速度信号，型系统准确地能跟踪阶跃信号、速度信号， 也能跟踪加速度信号，但有稳态误差。也能

40、跟踪加速度信号，但有稳态误差。3.5 误差分析与计算表表1 1、系统的稳态误差系数及稳态误差、系统的稳态误差系数及稳态误差00K2II型型00K1I型型00K00型型单位加速度单位加速度输入输入单位速度单位速度输入输入单位阶跃单位阶跃输入输入KaKvKp稳态误差稳态误差稳态误差系数稳态误差系数系统系统类型类型011K11K21K注意注意k0、k1、k2为系统的开环增益。为系统的开环增益。3.5 误差分析与计算q 几点结论几点结论 不同类型的输入信号作用于同一控制系统，其稳态误不同类型的输入信号作用于同一控制系统，其稳态误差不同；相同的输入信号作用于不同类型的控制系统，差不同；相同的输入信号作用

41、于不同类型的控制系统，其稳态误差也不同。其稳态误差也不同。 系统的稳态误差与其开环增益有关，开环增益越大，系统的稳态误差与其开环增益有关，开环增益越大，稳态误差越小。稳态误差越小。 在阶跃输入作用下，在阶跃输入作用下， 0 0型系统的稳态误差为定值，型系统的稳态误差为定值，常称为有差系统；常称为有差系统； I型系统的稳态误差为型系统的稳态误差为0 0，常称为一，常称为一阶无差系统；阶无差系统； 在速度输入作用下，在速度输入作用下，II 型系统的稳态误差为型系统的稳态误差为 0 0，常，常称为二阶无差系统。称为二阶无差系统。 3.5 误差分析与计算 习惯上，称输出量为习惯上，称输出量为“位置位置

42、”，输出量的变化率为，输出量的变化率为“速速度度”。在此位置和速度是广义的概念。尽管将阶跃输入、。在此位置和速度是广义的概念。尽管将阶跃输入、速度输入及加速度输入下系统的误差分别称之为位置误差、速度输入及加速度输入下系统的误差分别称之为位置误差、速度误差和加速度误差，但对速度误差、加速度误差而言速度误差和加速度误差，但对速度误差、加速度误差而言并不是指输出与输入的速度、并不是指输出与输入的速度、 加速度不同，而是指输出与加速度不同，而是指输出与输入之间存在一确定的稳态位置偏差。输入之间存在一确定的稳态位置偏差。 系统在多个信号共同作用下总的稳态偏差（误差）等于多系统在多个信号共同作用下总的稳态

43、偏差（误差）等于多个信号单独作用下的稳态偏差（误差）之和。如果输入量非个信号单独作用下的稳态偏差（误差）之和。如果输入量非单位量时，其稳态偏差（误差）按比例增加。单位量时，其稳态偏差（误差）按比例增加。221)(CtBtAtxi如：如：avpssKCKBKAe1总的稳态偏差：总的稳态偏差：3.5 误差分析与计算，分分别别求求稳稳态态误误差差。示示，当当系系统统输输入入：例例：已已知知两两系系统统如如图图所所2364)(tttxi)4(10ss)(txi)(0tx)4() 1(102sss)(txi)(0tx(a)(b) 解：如果系统的输入是阶跃函数、解：如果系统的输入是阶跃函数、速度函数、加速

44、度函数三种输入的组速度函数、加速度函数三种输入的组合，即：合，即： 可根据线性叠加原理，系统的稳态误差为：可根据线性叠加原理，系统的稳态误差为：avpsskCkBkAe21(1)(1)系统系统(a)的开环传递函的开环传递函数的时间常数表达式为：数的时间常数表达式为：)125.0(5 .2)(sssGk为为常常数数。、CBACtBtAtxi,)(23.5 误差分析与计算0325 .261421avpsskCkBkAe5 .2)(1ka型型系系统统，其其开开环环增增益益为为为为系系统统I总总误误差差：，可可得得系系统统，则则：)(01akkkkavp) 125. 0() 1(5 . 2)(2sss

45、sGk(2)(2)系统系统(b)(b)的开环传递函数的时间常数表达式为：的开环传递函数的时间常数表达式为：5 .2)(2kb型型系系统统，其其开开环环增增益益为为为为系系统统II总总误误差差：，可可得得系系统统，则则：)(5 . 22bkkkkavp4 . 25 . 23261421avpsskCkBkAe3.5 误差分析与计算。时时，求求系系统统的的稳稳态态误误差差号号为为：的的控控制制信信如如图图所所示示，当当系系统统输输入入例例：已已知知某某系系统统方方框框图图2583)(tttxi)6)2(5sss（)(txi)(0txs1sssssHsG1)6)(2(5)()(解解：开开环环传传递递

46、函函数数：01250)0(1CKCHeass，型系统，但非单位反馈型系统，但非单位反馈II1251)6)(2(5lim)()(lim2020ssssssHsGsKssa3.5 误差分析与计算表表1 1、系统的稳态误差系数及稳态误差、系统的稳态误差系数及稳态误差00K2II型型00K1I型型00K00型型单位加速度单位加速度输入输入单位速度单位速度输入输入单位阶跃单位阶跃输入输入KaKvKp稳态误差稳态误差稳态误差系数稳态误差系数系统系统类型类型011K11K21K注意注意k0、k1、k2为系统的开环增益。为系统的开环增益。3.5 误差分析与计算四、扰动引起的稳态误差和系统总误差四、扰动引起的稳

47、态误差和系统总误差)()()(sNsEsGNNe)()(sNGsENeN)(lim)(lim0ssEteeisitssi)(lim)(lim0ssEteeNsNtssNssNssisseee3.5 误差分析与计算1. 稳定性定义稳定性定义一、一、稳定性的概念稳定性的概念 自动控制系统在实际运行中，总会受到外界或自动控制系统在实际运行中，总会受到外界或内部扰动内部扰动（例如负载的变化、电压的波动、参数的（例如负载的变化、电压的波动、参数的变化等）变化等），系统就会偏离原有的平衡工作状态，其，系统就会偏离原有的平衡工作状态，其输出量也会偏离原稳态值。输出量也会偏离原稳态值。 稳定性稳定性就是指系统

48、在扰动消失后，能否在有限的就是指系统在扰动消失后，能否在有限的时间内以足够的精度由扰动产生的偏差状态恢复到原时间内以足够的精度由扰动产生的偏差状态恢复到原来的平衡状态或达到一个新的平衡状态的能力。来的平衡状态或达到一个新的平衡状态的能力。3.6 稳定性分析稳定性分析 例如：例如：小球系统如图小球系统如图 a)、b)、c)a)b) c（2） 当扰动消失后，随着时间的推移，系统偏离当扰动消失后，随着时间的推移，系统偏离工作状态越来越远，不能够恢复到平衡状态，则称工作状态越来越远，不能够恢复到平衡状态，则称系统为不稳定系统。系统为不稳定系统。 不稳定系统无法正常工作，是不可取的系统。不稳定系统无法正

49、常工作，是不可取的系统。（1）当扰动消失后，随着时间的推移，系统能够当扰动消失后，随着时间的推移，系统能够以足够的精度恢复到原来的平衡状态或达到一个新以足够的精度恢复到原来的平衡状态或达到一个新的平衡状态，则称系统为稳定系统。的平衡状态，则称系统为稳定系统。3.6 稳定性分析（3 3）临界稳定）临界稳定临界稳定：临界稳定：若系统在扰动消失后，输出与原始的平若系统在扰动消失后，输出与原始的平衡状态间存在恒定的偏差或输出维持等幅振荡，则衡状态间存在恒定的偏差或输出维持等幅振荡，则系统处于临界稳定状态。系统处于临界稳定状态。 处于临界稳定或接近临界稳定状态的稳定系统，处于临界稳定或接近临界稳定状态的

50、稳定系统，由于分析时依赖的模型通常是简化或线性化的，或者由于分析时依赖的模型通常是简化或线性化的，或者由于实际系统参数的时变特性等因素的影响，在实际由于实际系统参数的时变特性等因素的影响，在实际中可能成为不稳定的系统，因此，系统必须具备一定中可能成为不稳定的系统，因此，系统必须具备一定的的稳定裕量稳定裕量，以保证其在实际工作时处于稳定状态。，以保证其在实际工作时处于稳定状态。 经典控制论中，临界稳定也视为不稳定。经典控制论中，临界稳定也视为不稳定。)(0txnt03.6 稳定性分析二、二、 系统稳定的条件系统稳定的条件 设线性系统具有一个平衡点。对该平衡点，当：设线性系统具有一个平衡点。对该平

51、衡点，当：xi(t)=0时，系统的输出信号时，系统的输出信号x0(t)=0。 当干扰信号当干扰信号n(t)作用于系统时，其输出信号将偏离工作用于系统时，其输出信号将偏离工作点作点。如果取干扰信号消失瞬间为。如果取干扰信号消失瞬间为t =0，因此，系统的，因此，系统的输出输出x0(t)即为控制系统在初始偏差影响下的过渡过程。即为控制系统在初始偏差影响下的过渡过程。 若若系统稳定系统稳定，则输出信号，则输出信号x0(t)就会随着时间的推移，就会随着时间的推移，x0(t)0，即：系统恢复到原来平衡工作点；若，即：系统恢复到原来平衡工作点；若系统不系统不稳稳定定，则输出信号，则输出信号x0(t)0，系

52、统不能恢复到原来平衡点。，系统不能恢复到原来平衡点。 稳定性可由实验确定，也可用描述系统的数学模型稳定性可由实验确定，也可用描述系统的数学模型如如微分方程或传递函数进行分析。微分方程或传递函数进行分析。3.6 稳定性分析l 思路 根据系统稳定性的定义，可用脉冲信号作为干扰根据系统稳定性的定义，可用脉冲信号作为干扰输入信号，考察系统的脉冲响应。输入信号，考察系统的脉冲响应。)()(ttxi即：即：1)(sXi)()()()(0sGsXsGsXi 显然，系统的响应决定于系统闭环传递函数的极显然，系统的响应决定于系统闭环传递函数的极点点系统稳定性决定于系统的固有特性。系统稳定性决定于系统的固有特性。

53、的的稳稳定定情情况况。的的情情况况，就就可可分分析析系系统统根根据据)(0tx3.6 稳定性分析l 稳定的条件 )()()()(11101110mnasasasabsbsbsbsXsXsGnnnnmmmmio考虑系统考虑系统01110nnnnasasasa其特征方程为：其特征方程为：1. . 对于特征方程的对于特征方程的单实根单实根-pi ，niiinnpscpscpscpscsG122111)(nitpitpntptpinecececectx121021)(相应瞬态输出为：相应瞬态输出为：3.6 稳定性分析当当-pi 0时，该输出分量指数单调递增。时，该输出分量指数单调递增。当当-pi= 0

54、时，该输出分量为常数。时，该输出分量为常数。1. 对于特征方程的对于特征方程的单实根单实根-pi ，00)(0iptx，则则：结结论论：如如果果要要)sin()sincos(22tCBetCtBettCarctgB/其中，其中，当当- 0时，该分量为指数发散的振荡过程。时，该分量为指数发散的振荡过程。当当- = 0时，该分量为等幅振荡。时，该分量为等幅振荡。00)(0，则则：结结论论：如如果果要要tx2. 对于特征方程有对于特征方程有复根复根 ，相应瞬态输出为：，相应瞬态输出为： j3.6 稳定性分析)(121rrtptataaer3. 对于对于r 重实根重实根-pr，相应的时域分量为：相应的

55、时域分量为：当当 -pr 0时，该输出分量指数单调递增。时，该输出分量指数单调递增。当当 -pr = 0时时，该输出分量多项式递增。，该输出分量多项式递增。00)(0rptx，则则：结结论论：如如果果要要 综上所述，不论系统特征方程的特征根为何种综上所述，不论系统特征方程的特征根为何种形式，线性系统稳定的充要条件为：形式，线性系统稳定的充要条件为：所有特征根均所有特征根均为负数或具有负的实数部分；即：所有特征根均在为负数或具有负的实数部分；即：所有特征根均在复数平面复数平面s平面的左半平面。平面的左半平面。 稳定性稳定性与零点无关。与零点无关。j0js3.6 稳定性分析三、劳斯（Routh）稳

56、定性判据 1. .系统稳定的必要条件系统稳定的必要条件 0)()()(2101110nnnnnpspspsaasasasasD系统的特征方程为：系统的特征方程为： 显然，要判断系统是否稳定，如果根据上述定义及分显然，要判断系统是否稳定，如果根据上述定义及分析方法，则需把系统的特征方程的根求解出来，再根据根析方法，则需把系统的特征方程的根求解出来，再根据根的情况来进行判断。的情况来进行判断。 如果不直接求解特征方程，就能判定系统的稳定性，如果不直接求解特征方程，就能判定系统的稳定性，那么在工程上就有现实意义。为此形成了一系列稳定性判那么在工程上就有现实意义。为此形成了一系列稳定性判据，其中最重要

57、的是（据，其中最重要的是（18841884年）劳斯年）劳斯( (Routh) )判据。判据。3.6 稳定性分析由根与系数的关系可知：由根与系数的关系可知： 若使全部特征根若使全部特征根 - -pi i均具有负实部，系统必均具有负实部，系统必须满足以下条件：须满足以下条件：),3 ,2, 1 ,0( ,01niai）（0)3210(20iiaania为为正正数数，所所以以，工工程程中中一一般般。由由于于在在控控制制，的的符符号号相相同同）（ 需指出的是需指出的是：若特征方程不满足上述条件，系统：若特征方程不满足上述条件，系统一定不稳定一定不稳定; ;若特征方程满足上述条件时，系统仍然若特征方程满

58、足上述条件时，系统仍然可能是不稳定的，即：满足上述条件是系统稳定的可能是不稳定的，即：满足上述条件是系统稳定的必必要条件要条件。0)(1110nnnnasasasasD3.6 稳定性分析2. 2. 系统稳定的充要条件系统稳定的充要条件劳斯稳定判据劳斯稳定判据 其中，其中，ai 0 (i= 0, 1, 2, , n)，且特征方程也不且特征方程也不缺项，即满足系统稳定的必要条件。缺项，即满足系统稳定的必要条件。 0)(1110nnnnasasasasD考虑系统的特征方程：考虑系统的特征方程：劳斯稳定判据劳斯稳定判据：劳斯阵列中第一列所有元素的符号均为正号。 如果如果第一列中各数第一列中各数a0 0

59、、a1 1、b1 1、c1 1、的符号的符号相同，则表示系统具有正实部特征根的个数等于零，相同，则表示系统具有正实部特征根的个数等于零，系统稳定系统稳定；如果符号不同，系统不稳定，且符号改变；如果符号不同，系统不稳定，且符号改变的次数等于系统具有的正实部特征根的个数的次数等于系统具有的正实部特征根的个数。 3.6 稳定性分析劳斯阵列劳斯阵列: : 0)(122110nnnnnasasasasasDsna0 a2 a4 a6 sn-1a1 a3 a5 a7 sn-2b1b2b3b4 sn-3c1c2c3c4 sn-4d1d2d3d4 s2e1e2s1f1s0g1劳斯阵列第1列元素 如果如果第一列

60、中各数第一列中各数a0 0、a1 1、b1 1、c1 1、的符号相同，则表示系统具有正实部特征的符号相同，则表示系统具有正实部特征根的个数等于零，系统稳定根的个数等于零，系统稳定；如果符号不；如果符号不同，系统不稳定，且符号改变的次数等于同，系统不稳定，且符号改变的次数等于系统具有的正实部特征根的个数系统具有的正实部特征根的个数。 3.6 稳定性分析sna0 a2 a4 a6 sn-1a1 a3 a5 a7 sn-2b1b2b3b4 sn-3c1c2c3c4 sn-4d1d2d3d4 s2e1e2s1f1s0g1312011,1aaaaab514012,1aaaaab716013,1aaaaa