课堂导学（1.3.4导数的实际应用）

1、.课堂导学三点剖析一、利润最值【例1】 某工厂消费某种产品，该产品的月产量x吨与每吨产品的价格p元/吨之间的关系式为p=24 200-x2，且消费x吨的本钱为R=50 000+200x元.问该厂每月消费多少吨产品才能使利润到达最大？解：每月消费x吨时的利润为fx=24 200-x2x-50 000+200x=-x3+24 000x-50 000x0，由fx=x2+24 000=0，解得x1=200,x2=-200舍去.因fx在0,+内只有一个点x=200使fx=0，故它就是最大值点，且最大值为f200=-2003+24 000×200-50 000=3 150 000.答：每月消费2

2、00吨产品时利润到达最大，最大利润为315万元.温馨提示 用导数解应用题，求最值一般方法是求导，使导数等于0，求y=0的根，求出最值点，最后写出解答.二、生活中的优化问题【例2】 某厂消费x件产品的本钱为c=25 000+200x+x2元.1要使平均本钱最低，应消费多少件产品？2假设产品以每件500元售出，要使利润最大，应消费多少件产品？解：此题已经直接给出了函数关系式，可用导数求最值的方法直接求解.1设平均本钱为y元，那么y=x0，y=.令y=0,得x1=1 000,x2=-1 000舍去.当在x=1 000附近左侧时，y0；在x=1 000附近右侧时，y0；故当x=1 000时，y获得极小

3、值.由于函数只有一个点使y=0，且函数在该点有极小值，那么函数在该点获得最小值，因此要使平均本钱最低，应消费1 000件产品.2利润函数为L=500x-25 000+200x+=300x-25 000-.L=300x-25 000-=300-.令L=0，得x=6 000，当x在6 000附近左侧时，L0；当x在6 000附近右侧时L0，故当x=6 000时，L获得极大值.由于函数只有一个使L=0的点，且函数在该点有极大值，那么函数在该点获得最大值.因此，要使利润最大，应消费6 000件产品.三、导数在生活中优化问题的应用【例3】 如下图，水渠横断面为等腰梯形.1假设渠中流水的横断面积为S，水面

4、的高为h，当水渠侧边的倾斜角为多大时，才能使横断面被水浸湿的周长为最小？2假设被水浸湿的水渠侧边和水渠底面边长都等于a，当水渠侧边倾斜角多大时，水流的横断面积为最大？解：1依题意，侧边BC=h·sin-1，设下底AB=x，那么上底CD=x+2hcot，又S=2x+2hcoth=x+hcoth，下底x=Sh-hcot,横断面被水浸湿周长l=0.l=.令l=0，解得cos=,=.根据实际问题的意义，当=时，水渠横断面被水浸湿的周长最小.2设水渠高为h，水流横断面积为S，那么S=a+a+2acos·h=2a+2acos·asin=a21+cos·sin02.S

5、=a2-sin2+1+coscos=a22cos-1cos+1.令S=0，得cos=或cos=-1舍，故在0，内，当=时，水流横断面积最大，最大值为S=a21+cossin=.各个击破类题演练 1 A、B两地相距200千米，一只船从A地逆水到B地，水速为8千米/时，船在静水中的速度为v千米/时8vv0.假设船每小时的燃料费与其在静水中的速度的平方成正比，当v=12千米/时时，每小时的燃料费为720元，为了使全程燃料费最省，船的实际速度为多少？解：设每小时的燃料费为y1，比例系数为kk0，那么y1=kv2，当v=12时，y1=720.720=k,122,得k=5.设全程燃料费为y,由题意y=令y

6、=0,v=16.当v016时，v=16时全程燃料费最省；当v016时，即v8,v0时y0，即y在8,v0上为减函数，当v=v0时，ymin=.综上，当v016时， v=16千米/时全程燃料费最省，为32 000元；当v016时，那么v=v0时全程燃料费最省，为.变式提升 1 某种型号的电器降价x成1成为10%，那么销售数量就增加mx成mR+.1某商店此种电器的定价为每台a元，那么可以出售b台.假设经降价x成后，此种电器营业额为y元，试建立y与x的函数关系，并求m=时，每台降价多少成其营业额最大？解：由条件知降价后的营业额为y=a1-xb1+mx=ab-mx2+m-1x+1.当m=时，y=abx

7、2+x+1.y=abx+.令y=0,x=，即x=时，ymax=ab，即降价0.1成时，营业额最大.类题演练 2 用边长为120 cm的正方形铁皮做一个无盖水箱，先在四角分别截去一个小正方形，然后把四边翻转90°角，再焊接成水箱.问：水箱底边的长取多少时，水箱容积最大？最大容积是多少？解：设水箱底边长为x cm，那么水箱高为h=60-cm.水箱容积V=Vx=x2h=60x2-0x120cm3.Vx=120x-x2.令Vx=0，得x=0舍或x=80.当x在0，120内变化时，导数Vx的正负如下表：x0,808080,120Vx+0- 因此在x=80处，函数Vx获得极大值，并且这个极大值就

8、是函数Vx的最大值.将x=80代入Vx，得最大容积V=802×60-=128 000 cm3.答：水箱底边长取80 cm时，容积最大.其最大容积为128 000 cm3.变式提升2 圆柱形金属饮料罐的容积一定时，它的高与底半径应怎样选取，才能使所用材料最省？解：设圆柱的高为h，底面半径为R，那么外表积S=2Rh+2R2,由V=R2h，得h=，那么SR=2R·+2R2=+2R2.令SR=+4R=0，得R=，从而h=2,即h=2R,所以当罐的高与底直径相等时，所用材料最省.类题演练3 如以下图，为处理含有某种杂质的污水，要制造一底宽为2米的无盖长方体沉淀箱，污水从A孔流入，经沉

9、淀后从B孔流出，设箱体的长度为a米，高度为b米.流出的水中该杂质的质量分数与a、b的乘积成反比.现有制箱材料60平方米，问当a、b各为多少米时，经沉淀后流出的水中该杂质的质量分数最小A、B孔的面积忽略不计？解：设y为流出的水中杂质的质量分数，那么y=，其中k0为比例系数.依题意，即所求的a、b值使y值最小.根据题设，有4b+2ab+2a=60a0,b0得b=0a30,于是y=,y=0时，a=6或a=-10舍去.由于此题只有一个极值点，故a=6，b=3为所求.变式提升3 有甲、乙两个工厂，甲厂位于一直线河岸的岸边A处，乙厂与甲厂在河的两侧，乙厂位于离河岸40 km的B处，乙厂到河岸的垂足D与A相距50 km，两厂要在此岸边合建一个供水站C，从供水站到甲厂和乙厂的水管费用分别为每千米3a元和5a元，问供水站C建在岸边何处才能使水管费用最省？解：设BCD=,那么BC=,CD=40·cot0，AC=50-40cot.设总的水管费用为f.依题意，有f=3