刘兴坤毕业论文

1、非周期函数的Fourier展开方法及其应用 刘兴坤(陕西理工学院数学与计算机科学学院数学与应用数学092班,陕西 汉中723000)指导教师:王树勋 摘要主要讨论如何将定义在a,b满足Dirichlet条件的非周期函数展成的Fourier级数.在不同的方法中加以利用. 关键词函数;Fourier级数;Dirichlet条件；延拓引言 通过对周期函数的Fourier展开的学习,对周期函数的Fourier展开进行研究,发现对于非周期函数并没有展开式,所以,运用周期延拓,变换等手段给出在任意区间上的函数的Fourier展开方法与公式.1引 理若在整个数轴上=且等式的右边级数一致收敛，则有如下关系式：

2、2定理1设的周期为,在区间上作变换,则 所以定义在上的周期为的函数.就有 ,代回变量,即 相应的Fourier系数为 =(n=0,1,2,)， =，(n=1,2，).例1 将= 展开为Fourier级数.解 令，计算的Fourier系数： = =对n=1,2,，利用分部积分法 = =，于是得到的Fourier级数 +.3定 理13.1设,且满足Dirichlet条件，则可以展成Fourier级数： 其中为常数 (n=0,1,2,)， (n=1,2,).当为的连续点时，该级数收敛于；当为的间断点时， 该级数收敛于;当时， 该级数收敛于.证明 作变换,则,当时, ,且： 其中: = = = = =

3、 (n=0,1,2,)，同理可得： = (n=1,2,).由于当为的连续点时，=, 故当为的连续点时该级数收敛于; 当为的间断点时，该级数收敛于; 当时，由于, ,故此时该级数收敛于. 该定理把定义在上的非周期函数展成了Fourier级数，且给出了它的展开公式。 公式中的为任何一个常数，当取不同的值时，可以得到的无穷多个展开式，从而说明：定义在上的函数的Fourier展开式不是唯一的。 特别的,取的一些特殊值,可得的一些常见的展开式: 令=得的Fourier展开式为: 其中: = (n=0,1,2,)， = (n=1,2,).令=得的Fourier展开式为： 其中: = (n=0,1,2,)，

4、 = (n=1,2,). 令,得的Fourier展开式为： 其中: = (n=0,1,2,)， = (n=1,2,). 令=，得的Fourier展开式为： 其中: = (n=0,1,2,)， = (n=1,2,). 定理中的区间还可以为开区间或半开区间，也可以为无穷区间。当区间为无穷区间时要求在该区间上绝对可积。4 定理24.1 设非周期函数在上有定义，则函数 =， ，k=0称为非周期函数的周期延拓，延拓后的函数在上是周期为2的周期函数，并且在上有=端点处收敛例2 将函数 展开为Fourier级数.解 所给函数满足Dirichlet条件.拓展周期的函数的Fourier级数展开式在收敛于. =

5、= = = = = (n=1,2，)所求Fourier级数为: 推广:利用Fourier展开式求出几个特殊级数的和因为 当时， 4.2 非周期函数的奇偶延拓 设定义在上,延拓为为周期的函数 令 且, 则有如下两种情况 . 奇延拓 则 的Fourier正弦级数 4.2.2 偶延拓 则 的Fourier余弦级数 例3 将函数分别展开成正弦级数和余弦级数. 解 (1)求正弦级数. 对进行奇延拓, = = = (0<x<)(2) 求余弦级数 对进行偶延拓, = 例4 把 (0<x<2)展成（1） 正弦级数； （2）余弦级数 解 （1）将作奇周期延拓,则有 (0<x<

6、2)(2) 将作偶周期延拓,则有 =2 = (k=1,2,)所以 = (0<x<2)说明: 此式对也成立，据此有 由此还可以导出 = 所以 4.3 任意区间上非周期函数的Fourier展开方法方法1 令 即 周期延拓在上展成Fourier级数将带入展开式在a,b上的Fourier级数方法2 令,即 奇偶式周期延拓在上展成正弦或余弦级数 将代入展开式 在上的正弦或余弦级数例5 将函数展开成Fourier级数.解 作变量代换 ， = 补充函数 的定义，令 然后将作周期延拓其拓展的周期函数满足收敛定理的条件，且展开式在内收敛于. 所以 一般的，奇延拓的收敛域不包括端点，偶延拓的收敛域包括

7、端点 参考文献1 陈纪修、于崇华、金路数学分析下册，M北京:高等教育出版社;2 沈满昌 数学分析M 北京:高等教育出版社;3 高尚华 数学分析M(第三版). 北京:高等教育出版社;4 王树勋 非周期函数展成Fourier级数的方法J陕西:陕西理工学院学报第4期.5 华东师范大学数学系.数学分析上册M.高等教育出版社.6 梁昆淼.数学物理方法M.北京:人民教育出版社.7 楼建华,李晓波,毕成良.关于周期函数的傅里叶级数的一个注记J. 数学的实践与认识. 8 赵世安.函数的周期性J. 广西右江民族师专学报. 9 史颐庆.有关周期函数一个定理的改进J. 安徽教育学院学报(自然科学版). 10 熊元新

8、,刘涤尘.傅里叶级数的收敛性与吉伯斯现象J. 武汉大学学报(工学版). 11 James S Walker.Fourier series. "Encyclopedia of PhysicalScience and Technology" . The method of Fourier expansion for apeiriodic function and applicationLiuXingkun（Grade09,Class02,Major Mathematics and Applied Mathematics,School of Mathematics and Computer Science,Shaanxi University of Technology，Hanzhong 723001，Shaanxi）Tutor: Wang ShuxunAbstract: The article mainly discusses how to expand aperiodic function that defined in a, b Diri