控制工程基础

1、 控制工程基础控制工程基础 质量质量弹簧弹簧阻尼系统阻尼系统抽象后的力学模型抽象后的力学模型)()()(22txdtdmtvdtdmtfm1212( )( )( )( )( )( )( )kttf tk x tx tkx tkv tv tdtkv t dt1212( )( )( )( )( )( )( )DftD v tv tDv tdx tdx tDdtdtdx tDdtq 机械平移系统机械平移系统22( )( )( )( )( )( )( )( )iDkokoDodf tftf tmx tdtf tkx tdftDx tdtmmfi(t)kDxo(t)fi(t)xo(t)00fm(t)fk

2、(t) 机械平移系统机械平移系统 及其力学模型及其力学模型fD(t)静止（平衡）工作点作为静止（平衡）工作点作为零点，以消除重力的影响零点，以消除重力的影响22( )( )( )( )oooiddmy tDy tky tf tdtdtq 弹簧阻尼系统（质量弹簧阻尼系统（质量m=0）xo(t)0fi(t)kD弹簧弹簧-阻尼系统阻尼系统系统运动方程为一阶常系数系统运动方程为一阶常系数微分方程。微分方程。 ( )( )( )ooidDx tkx tf tdt( )( )( )iDkf tftft( )if t( )Df t( )kf tq 机械旋转系统机械旋转系统k i(t) o(t)00Tk(t)

3、TD(t)D粘性液体粘性液体齿轮齿轮J J 旋转体转动惯量；旋转体转动惯量； k 扭转刚度系数；扭转刚度系数； D 粘性阻尼系数粘性阻尼系数柔性轴柔性轴22( )( )( )( )( )( )( )( )kioDookDTtkttdTtDtdtdJtTtTtdt22( )( )( )( )oooiddJtDtktktdtdt( )( )u tR i t 电容电容dttiCtu)(1)(Ci(t)u(t) 电感电感dttdiLtu)()(Li(t)u(t)( )( )dCu ti tdt01( )( )( )( )1( )( ),( )=( )iodu tRi tLi ti t dtdtCdu

4、ti t dti tCu tCdtq R-L-C无源电路网络无源电路网络LRCui(t)uo(t)i(t)R-L-C无源电路网络无源电路网络一般一般R、L、C均为常数，上式为二阶常系数微均为常数，上式为二阶常系数微分方程。分方程。 )()()()(22tututudtdRCtudtdLCiooo若若L=0=0，则系统简化为：，则系统简化为：)()()(tututudtdRCioo01( )( )( )( )1( )( ),( )=( )iodu tRi tLi ti t dtdtCdu ti t dti tCu tCdt)()(0)(21titituaq 有源电路网络有源电路网络+ CRi1(

5、t)ui(t)uo(t)i2(t)adttduCRtuoi)()()()(tudttduRCio即：即： tedttdiLtiRtemaaaai tiKtTaT dttdKteoem 22dttdJdttdDtToo3200032( )( )( )( )aaaaTeT idtdtdtL JL D R JR D K KdtdtdtK e t2002( )( )( )aaTeT idtdtR JRD K KK e tdtdt)()()(2121xfxfxxf)()(xfxf)()()(2121xfxfxxf1122()()xf xxf x； 111110111( )( )( )( )( )( )(

6、 )( )nnoonononnmmiimimimmdddx tax tax ta x tdtdtdtdddbx tbx tbx tb x tdtdtdtLL在某平衡工作点连续可微在某平衡工作点连续可微3003320022000)()(! 31)()(! 21 )()()()(xxxxdxxfdxxxxdxxfdxxxxdxxdfxfxfy000( )()()df xyf xxxdxxx0)(xxdxxdfK000( )( )()df xyf xx xdxxx000( )- ( )=()df xy f xx xdxxx0yyyK x )()(),(202210112010202101202101

7、xxxfxxxfxxfyxxxxxxxx22110 xKxKyyy),(20100 xxfy 2021012021012211,xxxxxxxxxfKxfK(t)0o.2( )sin( )( )iooT tmgltmltsin( )ot.2( )( )( )ooimltmgltT tsin,0yyy )(0L0L0,xpfQLppxxLLppxxL0L0Lpp,xpfxx,xpf,xpfQL0L0L0L0)(LcqLpKxKQL0L0L0L0ppxxLLcppxxLqp,xpfKx,xpfK,dtydAQ)(dtydDdtydMAp22L)()()()()(xKdtydAADKdtydAMKq

8、c22c)()()(txKtyAADKtyAMKqcc 0)(limtfett0)()()(dtetftfLsFst0dtest0,)(21)()(1tdsesFjsFLtfjjst傅氏变换有明确的物理意义，而拉氏变换傅氏变换有明确的物理意义，而拉氏变换没有。没有。0100)( 1ttt01( )1( ) stLtt edt11 0stess atetf)(0()0 atatsts a tL eeedtedt1 sa0sinsindtettLst0coscosdtettLsttjtjtjtjeeteejt21cos21sincossincossinj tj tetjtetjt欧拉公式欧拉公式0

9、01sin2j tstj tstLteedteedtj22cossstL221112 jsjsjs)0(1lim)0(0)(0tttt且00001( )lim1=limststLtedtedt)()1 (lim)1 (1lim00seesss0( )lim1ss eLts01lim(1)ses000)(ttttf0( )stL f ttedt0021ststeetdtsss分部积分法分部积分法0011( )()0stststF stedtteedtss 利用分步积分法利用分步积分法000udvuvvdutu1()ststedtdedvsdtdu1stevs02100)(2ttttf201( )

10、2stL f tt edt31s ttn110( ),(1)( )!axaxedxnnnn令令 ， 则则ust11001,1!1( )nnstnunnutdtdussnL ttt edtu e duss利用利用函数的性质得出如下结果：函数的性质得出如下结果：0)()(dtetftfLst000)()()()(dtetftfLdtetftfLstst0)()0(),0()()(ttfffssFdttdfL)0()0()0()()()0()0()()()1(21222nnnnnnffsfssFsdttfdLfsfsFsdttfdL)()()()()()(222sFsdttfdLsFsdttfdLs

11、sFdttdfLnnn), 3, 2, 1()() 1()()()()()(222ntftLsFdsdtftLsFdsdttfLsFdsdnnnn0)()0(,)0()()()1()1(tdttffsfssFdttfL)(1)(sFsdttfLsfssFdttfLsfssFdttfL)0()()()0()()()1()1()(1)(sFsdttfLnn)0(1)0(1)(1)()1()1(1nnnnfsfssFsdttfL 1asL f tataeF s)()(asFtfeLat2222cossinsstLstL2222)()(cos)(sinasasteLasteLatat)(lim)0()

12、(lim0ssFftfst)(lim)()(lim0ssFftfst注意这里的注意这里的极限存在极限存在与高等数学中略有不同与高等数学中略有不同( )sin(cos)f ttt或由于极限不存在，不能使用终止定理由于极限不存在，不能使用终止定理)()()()(sGsFtgtfL00( )( )() ( )( ) ()ttf tg tf tgdfg td ()0tL faF asaa常数11)(ssFeLt1)(/asaasaFeLattfa另外，课本另外，课本26页页-27页的三个性质简单了解页的三个性质简单了解0,)(21)()(1tdsesFjsFLtfjjst)()()()(1110111

13、0mnasasasabsbsbsbsAsBsFnnnnmmmm)()()()()(2101110nmmmpspspscscscscsAsBsF12,npppniiinnpsApsApsApsAsAsBsF12211)()()(ipsiipssFA)()(1111f(t) = ( )innp tiiiiiALF sLAesp)6(2)(22ssssssF23)2)(3(2)6(2)(321222sAsAsAsssssssssssF31)2)(3(2)(0201ssssssssFA158)2(2)()3(3232sssssssFsA54)3(2)()2(2223sssssssFsA)0(54158

14、31)()(231teesFLtftt215431158131)(ssssFniiinnpsApsApsApsAsAsBsF12211)()()(ipsiipssFA)()(21326Aj sssssX231 31232113132222AAAsX ssssssjsj1321322113132226sjsAsjjsss 332011ssAssss)()()()()()(101110nrrmmmmpspspsbsbsbsbsAsBsF)()()()()(11001002001nnrrrrrpsApsApsApsApsA0)(001pspssFAr0)(002pspssFdsdAr0)(! 210

15、2203pspssFdsdAr0)()!1(10110pspssFdsdrArrrr对应重极点部分各项系数可用下式求得对应重极点部分各项系数可用下式求得tpnnentpsL0)!1()(1101)0( )!2()!1()()(10102021011teAeAeAtrAtrAsFLtftpntprtprrrnr01020110001( )()()()()()rnrrrrnAAAAAF sspspspspsp) 1()2(3)(2ssssF12)2()(302201sAsAsAsF12132)2)(201ssssssFA2 2) 1() 1)(3() 1()3( 2132)2)(2202sssss

16、ssssdsdsssFdsdA21) 1)(3sssFA1222)2(1)(2ssssF)0(2)2()()(21teetsFLtfttl用拉氏变换解常系数线性微分方程用拉氏变换解常系数线性微分方程 求解步骤求解步骤q 将微分方程通过拉氏变换变为将微分方程通过拉氏变换变为 s 的代数方的代数方 程；程； q 解代数方程，得到有关变量的拉氏变换表解代数方程，得到有关变量的拉氏变换表 达式；达式；q 应用拉氏反变换，得到微分方程的时域解。应用拉氏反变换，得到微分方程的时域解。 例例1 1)()(6)(5)(22txtxdttdxdttxdiooo设系统微分方程为：设系统微分方程为：若若xi (t)

17、 =1(t)，初始条件分别为，初始条件分别为xo(0)、xo(0)，试求试求xo(t)。解：对微分方程左边进行拉氏变换解：对微分方程左边进行拉氏变换)0()0()()(222ooooxsxsXsdttxdL)0()0()5()()65()(6)(5)(222ooooooxxssXsstxdttdxdttxdL)0(5)(5)(5oooxssXdttdxL)(6)(6sXtxLoo)0()0()()(222ooooxsxsXsdttxdLstLsXtxLii1)( 1)()(323265)0()0()5()65(1)(2132122sBsBsAsAsAssxxsssssXooosxxssXsso

18、oo1)0()0()5()()65(261065121sssA212) 3(12sssA313)2(13sssA)0()0(323)0()0()5(1ooooxxssxxsB)0()0(232)0()0()5(2ooooxxssxxsB) 0( ) 0() 0(2) 0() 0(3 312161)(3232texxexxeetxtootootto)0312161)(32teetxtto3)0()0(22)0()0(333122161)(sxxsxxssssXoooooq 应用拉氏变换法求解微分方程时，由于初始应用拉氏变换法求解微分方程时，由于初始 条件已自动地包含在微分方程的拉氏变换式条件已自

19、动地包含在微分方程的拉氏变换式 中，因此，不需要根据初始条件求积分常数中，因此，不需要根据初始条件求积分常数 的值就可得到微分方程的全解。的值就可得到微分方程的全解。 q 如果所有的初始条件为零，微分方程的如果所有的初始条件为零，微分方程的拉氏变换可以简单地用拉氏变换可以简单地用sn代替代替 得到。得到。 由上述实例可见：由上述实例可见：nnddt2.4 传递函数传递函数以及典型环节的传递函数以及典型环节的传递函数l 传递函数的概念和定义传递函数的概念和定义 传递函数传递函数 在在零初始条件零初始条件下，下，线性定常系统线性定常系统输出量的拉输出量的拉氏变换与引起该输出的输入量的拉氏变换之氏变

20、换与引起该输出的输入量的拉氏变换之比。比。 零初始条件：零初始条件：q t0时，时，输入量输入量及其各阶导数均为及其各阶导数均为0 0；q 输入量施加于系统之前，系统处于稳定输入量施加于系统之前，系统处于稳定的工作状态，即的工作状态，即t 0 时，时，输出量输出量及其各阶及其各阶导数也均为导数也均为0 0；)()()(sXsXsGio)()()()()()()()(111)(00111)(0txatxbtxbtxbtxatxatxatxaimimmiminonnononnnnmmmmioasasasabsbsbsbsXsXsG11101110)()()(22( )( )( )( )oooidd

21、mx tDx tkx tf tdtdt2( )( )( )( )oooims XsDsXskXsF s2( )1( )( )oiXsG sF smsDsk？q 几点结论几点结论 传递函数是复数传递函数是复数s域中的系统数学模型，域中的系统数学模型， 其参数仅取决于系统本身的结构及参数，其参数仅取决于系统本身的结构及参数， 与系统的输入形式无关。与系统的输入形式无关。 若输入给定，则系统输出特性完全由传递若输入给定，则系统输出特性完全由传递函数函数G(s) 决定，即传递函数表征了系统内在决定，即传递函数表征了系统内在的固有动态特性。的固有动态特性。 传递函数通过系统输入量与输出量之间的传递函数通

22、过系统输入量与输出量之间的关系来描述系统的固有特性。即以系统外部关系来描述系统的固有特性。即以系统外部的输入输出特性来描述系统的内部特性。的输入输出特性来描述系统的内部特性。 1011( )mmmmN sb sbsbsb1011( )nnnnD sa sa sasa令：令：( )( )( )( )( )oiXsN sG sX sD s则：则：D(s)=0称为系统的称为系统的特征方程特征方程，其根称为系统，其根称为系统的的特征根特征根。特征方程决定着系统的动态特性。特征方程决定着系统的动态特性。D(s)中中s的最高阶次等于系统的阶次。的最高阶次等于系统的阶次。l 特征方程、零点和极点特征方程、零

23、点和极点 特征方程特征方程式中，式中，K称为系统的称为系统的静态静态放大系数放大系数或或静态静态增益增益。当当s=0时：时： G(0)= =K从微分方程的角度看，此时相当于所有的从微分方程的角度看，此时相当于所有的导数项都为零。因此导数项都为零。因此K 反应了系统处于静反应了系统处于静态时，输出与输入的比值。态时，输出与输入的比值。 )()()()(11101110mnasasasabsbsbsbsXsXsGnnnnmmmmiomnba 零点和极点零点和极点 012012( )()()()( )( )( )( )()()()ominXsb szszszN sG sX sD sa spspsp将

24、将G(s)写成下面的形式写成下面的形式 D(s)=a0(s-p1)(s-p2)(s-pn)=0的根的根s=pj (j=1, 2, , n)，称为传递函数的，称为传递函数的极点极点；式中，式中，N(s)=b0(s-z1)(s-z2)(s-zm)=0的根的根s=zi (i=1, 2, , m)，称为传递函数的，称为传递函数的零点零点；系统传递函数的极点就是系统的特征根。系统传递函数的极点就是系统的特征根。零点零点和极点的数值完全取决于系统的结构参数。和极点的数值完全取决于系统的结构参数。 零、极点分布图零、极点分布图 将传递函数的零、将传递函数的零、极点表示在复平面极点表示在复平面上的图形称为传递

25、上的图形称为传递函数的零、极点分函数的零、极点分布图。图中，零点布图。图中，零点用用“O”表示，极表示，极点用点用“”表示。表示。 G(s)=S+2(s+3)(s2+2s+2)的零极点分布图的零极点分布图0 12312-1-2-3-1-2 j sl 传递函数的几点说明传递函数的几点说明 传递函数是一种以系统参数表示的线性定常传递函数是一种以系统参数表示的线性定常 系统输入量与输出量之间的关系式；传递函系统输入量与输出量之间的关系式；传递函 数的概念通常只数的概念通常只适用于线性定常系统适用于线性定常系统； 传递函数是传递函数是 s 的复变函数。传递函数中的各的复变函数。传递函数中的各 项系数和

26、相应微分方程中的各项系数对应相项系数和相应微分方程中的各项系数对应相 等，完全等，完全取决于系统结构参数取决于系统结构参数； 传递函数是在零初始条件下定义的，即在零传递函数是在零初始条件下定义的，即在零 时刻之前，系统对所给定的平衡工作点处于时刻之前，系统对所给定的平衡工作点处于 相对静止状态。因此，传递函数相对静止状态。因此，传递函数不反映系统不反映系统 在非零初始条件下的全部运动规律在非零初始条件下的全部运动规律； 传递函数只能表示系统输入与输出的关系，传递函数只能表示系统输入与输出的关系， 无法描述系统内部无法描述系统内部中间变量的变化情况。中间变量的变化情况。 一个传递函数只能表示一个

27、输入对一个输一个传递函数只能表示一个输入对一个输出的关系，出的关系，适合于单输入单输出适合于单输入单输出系统的描述。系统的描述。 q 比例环节比例环节输出量不失真、无惯性地跟随输入量，两者成比输出量不失真、无惯性地跟随输入量，两者成比例关系。例关系。其运动方程为：其运动方程为：xo(t)=Kxi(t)xo(t)、xi(t)分别为环节的输出和输入量；分别为环节的输出和输入量；K比例系数，等于输出量与输入量之比。比例系数，等于输出量与输入量之比。l 典型环节及其传递函数典型环节及其传递函数 KsXsXsGio)()()(比例环节的传递函数为：比例环节的传递函数为：z1z2ni(t)no(t)齿轮传

28、动副齿轮传动副R2R1ui(t)uo(t)比例运算放大器比例运算放大器KzzsNsNsGio21)()()(KRRsUsUsGio12)()()(q 一阶惯性环节一阶惯性环节)()()(tKxtxtxdtdTioo1)()()(TsKsXsXsGio凡运动方程为下面一阶微分方程凡运动方程为下面一阶微分方程形式的环节称为一阶惯性环节。其传递函数为：形式的环节称为一阶惯性环节。其传递函数为： T时间常数，表征环节的惯性，和时间常数，表征环节的惯性，和 环节结构参数有关环节结构参数有关式中，式中，K环节增益（比例系数）；环节增益（比例系数）；( )( )( )ooidx tDKx tKx tdt1(

29、 ),1KDG sTDsKTsK如：弹簧如：弹簧-阻尼器环节阻尼器环节xi(t)xo(t)弹簧弹簧-阻尼器组成的环节阻尼器组成的环节KDA0()ik xxoDxA又如又如R-C电路（见教材）电路（见教材）q 微分环节微分环节输出量正比于输入量的微分。输出量正比于输入量的微分。dttdxtxio)()(运动方程为：运动方程为：ssXsXsGio)()()(传递函数为：传递函数为：式中，式中， 微分环节的时间常数微分环节的时间常数dttdKtuito)()(sKssUsGtio)()()(如：直流测速机如：直流测速机uo(t) i (t)测测 速速 机机式中，式中， Kt为电机为电机常数。常数。

30、无负载时无负载时在物理系统中理想的微分环节很难独立存在，经常和其它在物理系统中理想的微分环节很难独立存在，经常和其它环节一起出现。环节一起出现。RCui(t)uo(t)i(t)无源微分网络无源微分网络无源微分网络（近似无源微分网络（近似 微分环节）微分环节）RtituRtidttiCtuoi)()()()(1)(RCTTsTsRCsRCssG,11)(显然，无源微分网络包括有惯性环节和微分环节，显然，无源微分网络包括有惯性环节和微分环节，称之为称之为惯性微分环节惯性微分环节，只有当，只有当| |TsTs|1|1时，才近时，才近似为微分环节。似为微分环节。 ) 1()()()(sKsXsXsGi

31、o除了上述微分环节外，还有一类一阶微分环节，除了上述微分环节外，还有一类一阶微分环节，其传递函数为：其传递函数为：微分环节的输出是输入的导数，即输出反映了微分环节的输出是输入的导数，即输出反映了输入信号的变化趋势，从而给系统以有关输入输入信号的变化趋势，从而给系统以有关输入变化趋势的预告。因此，变化趋势的预告。因此，微分环节常用来改善微分环节常用来改善控制系统的动态性能。控制系统的动态性能。q 积分环节积分环节输出量正比于输入量对时间的积分。输出量正比于输入量对时间的积分。 tiodttxTtx0)(1)(运动方程为：运动方程为：TssXsXsGio1)()()(传递函数为：传递函数为：AtT

32、AdtTtxto11)(0积分环节特点：积分环节特点： 输出量取决于输入量对时间的积累过程。输出量取决于输入量对时间的积累过程。 具有明显的滞后作用。具有明显的滞后作用。积分环节常用来改善系统的稳态精度。积分环节常用来改善系统的稳态精度。如当输入量为常值如当输入量为常值 A 时，时，由于由于输出量须经过时间输出量须经过时间T才能达到输入量在才能达到输入量在t = 0时的时的值值A。tAT( )ox t0如：有源积分网络如：有源积分网络 + CRi1(t)ui(t)uo(t)i2(t)a)()(tudttduRCioRCTTsRCssG,11)( )( )oidu tu tCdtRq 二阶振荡环

33、节二阶振荡环节含有两个独立的储能元件，且所存储的能量含有两个独立的储能元件，且所存储的能量能够相互转换，从而导致输出带有振荡的性能够相互转换，从而导致输出带有振荡的性质，运动方程为：质，运动方程为： 222( )2( )( )( ),01oooiddTx tTx tx tKx tdtdt22( )1( )( )21oiXsG sKX sT sTs传递函数：传递函数：式中，式中，T振荡环节的时间常数振荡环节的时间常数 阻尼比，对于振荡环节，阻尼比，对于振荡环节，0 p=1 -12 0 25 126p = 1 -12 0 25 126在在MATLAB中，用中，用num和和den分别表示分别表示F(

34、s)的分子的分子和分母多项式，即：和分母多项式，即：num = b0 b1 bm den = a0 a1 an然后利用下面的语句就可以表示这个系统然后利用下面的语句就可以表示这个系统 sys=tf(num,den)sys=tf(num,den)其中其中tf()tf()代表传递函数的形式描述系统，代表传递函数的形式描述系统，还可以用零极点形式来描述，语句为还可以用零极点形式来描述，语句为 z=1 2; z=1 2; p=-1 -2 -3;p=-1 -2 -3;k=4;k=4;sys=sys=zpkzpk( (z,p,kz,p,k) )4 (s-1) (s-2)-(s+1) (s+2) (s+3)

35、而且传递函数形式和零极点形式之间可以相互转化，而且传递函数形式和零极点形式之间可以相互转化，语句为语句为 z,p,k = tf2zp(num,den) num,den = zp2tf(z,p,k)den1 = 1 2 2den2 = 2 3 3 2den = 2 7 13 14 10 4z=1; 2; z=1; 2; p=-1; -2; -3;p=-1; -2; -3;k=4;k=4;num,den = zp2tf(z,p,k)当传递函数复杂时，应用多项式乘法函数当传递函数复杂时，应用多项式乘法函数conv()conv()等等实现。例如实现。例如 den1=1,2,2den1=1,2,2 de

36、n2=2,3,3,2 den2=2,3,3,2 den=conv(den1,den2) den=conv(den1,den2)计算闭环传递函数计算闭环传递函数系统的基本连接方式有三种：系统的基本连接方式有三种： 串连、并联和反馈串连、并联和反馈串连串连：sys=series(sys1,sys2)并联并联：sys=parallel(sys1,sys2)反馈反馈：sys=feedback(sys1,sys2,-1)如果是单位反馈系统，则可使用如果是单位反馈系统，则可使用cloop()函函数，数，sys=cloop(sys1,-1) 用用MATLAB展开部分分式展开部分分式设：设：nnnnmmmmasasasabsbsbsbsAsBsF11101110)()()(l应用举例应用举例用用num和和den分别表示分别表示F(s)的分子和分母多项式，的分子和分母多项式，即：即：num = b0 b1 bm den = a0 a1 anMATLAB提供函数提供函数residue用于实现部分分式用于实现部分分式展开，其句法为：展开，其句法为：r, p, k = residue(num, den)其中，其中，r, p分别为展开后的留数及极点构成的分别为展开后的留数及极点构成的列向量、列向量、k为余项多项式行向量。为余项多项式行向量。若无重极点，若无重极点，MATLAB展开后的一般形式为：展开后的一