全国硕士研究生入学统一考试数学一试题及精析

1、2010年全国硕士研究生入学统一考试数学（一）试题及精析一、选择题（本题共8小题，每小题4分，满分32分，每个小题所给四个选项中只有一个符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内）（1）极限等于 （ ）1； ； ； 。解答 ，选。（2）设函数由方程确定，其中为可微函数，且，则等于 （ ）解答 两边对求偏导，得，解得；两边对求偏导，得，解得，于是，选。（3）设为正整数，则反常积分的收敛性（）仅与有关；仅于有关；与都有关；与都无关。解答显然广义积分有两个瑕点与，显然收敛性与有关，当时收敛，当时发散；的收敛性与有关，选。（4）等于（）；。解答，因为，所以，选。（5）设是矩阵，是矩阵，且，其中为阶

2、单位矩阵，则（）；。解答，因为且，所以，又显然，故，选。（6）设是阶实对称矩阵，且，若，则相似于（）；。解答令，则，因为，即，所以，从而，注意到是非零向量，所以的特征值为和，又因为可对角化的矩阵，所以的秩与的非零特征值个数一致，所以的特征值为，于是，选。（7）设随机变量的分布函数为，则等于（）；。解答，选。（8）设为标准正态分布的概率密度函数，为上均匀分布的概率密度函数，若（），则满足（）；。解答，因为为概率密度函数，所以，而，所以，即，选。二、填空题（9）设，则。解答，于是。（10）。解答。（11）已知曲线的方程为，起点为，终点为，则。解答方法一：补充（起点，终点），由格林公式，而，所以原式

3、。方法二：。（12）设，则的形心坐标。解答，而， ，所以。（13）设，若由形成的向量组的秩为，则。解答，因为由组成的向量组的秩为2，所以。（14）设随机变量的分布为，则。解答由归一性得，即，所以。即随机变量服从参数为1的泊松分布，于是，故。三、解答题（15）求微分方程的通解。解答微分方程的特征方程为 ，特征值为，则方程的通解为；令原方程的特解为，代入原方程得，于是原方程的通解为（其中为任意常数）。（16）求的单调区间与极值。解答，令，得。，因为，所以为的极小点，极小值为，为的极大点，极大值为。在及上单调减少，在及上单调增加。（17）（）比较与（）。（）记（），求。解答（）因为当时，所以，于是。

4、（）因为，而，因为，所以，故，由夹逼定理得。（18）求幂级数的收敛域与和函数。解答 由，得幂级数的收敛半径为。当时，由交错级数审敛法得收敛，故幂级数的收敛域为。令，则，其中。而，所以，故。（19）设为椭球面上的动点，若在点处的切平面与平面垂直，求点的轨迹，并计算曲线积分，其中是椭球面位于曲线上方的部分。解答令的坐标为，由得在点处且平面的法向量为 。因为在点处的切平面与平面垂直，所以有，注意到，所以点的轨迹方程为。，将向平面投影，则，两边对求导得，解得，两边对求导得，解得，于是。（20）设，已知线性方程组存在两个不同解。（）求；（）求的通解。解答（）因为线性方程组存在两个不同解，所以，即，解得或

5、。当时，因为，所以；当时，显然，所以，故，。（）由，得方程组的通解为 （其中为任意常数）。（21）设二次型在正交变换下的标准型为，且的第三列为。（）求；（）证明为正定矩阵。解答因为二次型在正交变换下的标准型为，所以的特征值为，的第三列为，所以对应的线性无关的特征向量为。因为为实对称矩阵，所以的不同特征值对应的特征向量正交，令对应的特征向量为，由的对应的线性无关的特征向量为。令，则，由，得。（）因为是实对称矩阵，且的特征值为，所以的特征值为，因为其特征值都大于零，所以为正定矩阵。（22）设二维随机变量的联合密度函数为，。求及。解答 由归一性得 ，而又，所以，于是。，而，所以，。 （23）设总体的分布律为，其中为未知参数，以表示来自总体的简单随机样本（样